专题27.3 相似三角形的判定【十大题型】（原卷版）

专题273 相似三角形的判定【十大题型】 【人版】 【题型1 相似三角形的判定条件】.........................................................................................................................2 【题型2 格点中的相似三角形】.............................................................................................................................3 【题型3 相似三角形的证明】.................................................................................................................................4 【题型4 利用相似三角形的判定探究线段之间的关系】......................................................................................5 【题型5 相似三角形在坐标系中的运用】............................................................................................................. 6 【题型6 确定相似三角形的对数】.........................................................................................................................7 【题型7 相似三角形中的多结论问题】................................................................................................................. 8 【题型8 相似三角形与动点的综合】...................................................................................................................10 【题型9 相似与最值】........................................................................................................................................... 11 【题型10 旋转型相似】.......................................................................................................................................... 12 【知识点1 相似三角形的判定】 判定定理 判定定理1： 如果一个三角形的两个角与另一个三角形的 两个角对应相等，那么这两个三角形相似． 简称为两角对应相等，两个三角形相 似． 如图，如果 ， ，则 ． 判定定理2： 如果两个三角形的三组对应边成比例，那么 这两个三角形相似． 简称为三边对应成比例，两个三角形相 似． 如图，如果 ，则 ． 判定定理3： 如果两个三角形的两组对应边成比例，并且 对应的夹角相等，那么这两个三角形相似． 简称为两边对应成比例且夹角相等，两 个三角形相似．如图，如果 ， ， 则 ． 【题型1 相似三角形的判定条件】 【例1】（2022 秋•汉寿县期末）如图，若点P 为△B 的边B 上一点（B＞），下列条件不能 1 判定△B∽△P 的是（ ） ．∠B＝∠P B．∠B＝∠P ．AC AB = AP AC D．PC CB = AC AB 【变式1-1】（2022 春•泰安期末）如图，△B，B＝12，＝15，D 为B 上一点，且D＝8，在 上取一点E，使以、D、E 为顶点的三角形与B 相似，则E 等于（ ） ．32 5 或15 2 B．10 或15 2 ．32 5 或10 D．以上答都不对 【变式1-2】（2022 秋•合肥期末）如图，D 是Rt△B 斜边B 上的中线，过点作E⊥D 交B 的 延长线于点E，添加下列条件仍不能判断△EB 与△D 相似的是（ ） ．∠B＝2∠ B．点B 是DE 的中点 ．E•D＝•B D．CE CA = BE AD 【变式1-3】（2022 秋•通州区期末）王华在学习相似三角形时，在北京市义务育科书九年 级上册第31 页遇到这样一道题，如图1，在△B 中，P 是边B 上的一点，连接P，要使 △P∽△B，还需要补充的一个条件是 ，或 ． 请回答： （1）王华补充的条件是 ，或 【题型2 格点中的相似三角形】 【例2】（2022 春•文登区期末）如图，在正方形格中有5 个格点三角形，分别是：①△B， ②△D，③△DE，④△EF，⑤△G，其中与⑤相似的三角形是（ ） 1 ．①③ B．①④ ．②④ D．①③④ 【变式2-1】（2022 秋•雄县期末）如图，小正方形的边长均为1，则下列图中的三角形 （阴影部分）与△B 相似的是（ ） ． B． ． D． 【变式2-2】（2022 秋•青田县期末）如图，四个三角形的顶点都在方格子的格点上，下列 两个三角形中相似的是（ ） ．①④ B．①③ ．②③ D．②④ 【变式2-3】（2022 秋•法库县期末）如图，在5×6 的方格纸中，画有格点△EFG，下列选 项中的格点，与E，G 两点构成的三角形中和△EFG 相似的是（ ） ．点 B．点B ．点 D．点D 【题型3 相似三角形的证明】 【例3】（2022•淳安县一模）如图，在△B 中，D、E 分别是边、B 的中点，F 是B 延长线 上一点，∠F＝∠B． （1）若B＝10，求FD 的长； （2）若＝B，求证：△DE∽△DFE． 1 【变式3-1】（2022 秋•临安区期末）如图，点B、D、E 在一条直线上，BE 交于点F， AB AD = AC AE ，且∠BD＝∠E． （1）求证：△B∽△DE； （2）求证：△EF∽△BF． 【变式3-2】（2022 秋•下城区期末）已知：如图，为△B 内一点，'，B'，'分别是，B，上的 点，且'：'＝B'：BB'＝1：2，'：'＝2：1，且B＝6． （1）求证：△'B'∽△B； （2）以，B'，'为顶点的三角形是否可能与△B 相似？如果可能，求的长；如果不可能， 请说明理由． 【变式3-3】（2022 春•仪征市校级期末）如图，△B、△DEP 是两个全等的等腰直角三角形， ∠B＝∠PDE＝90°． （1）若将△DEP 的顶点P 放在B 上（如图1），PD、PE 分别与、B 相交于点F、G．求 证：△PBG∽△FP； （2）若使△DEP 的顶点P 与顶点重合（如图2），PD、PE 与B 相交于点F、G．试问 △PBG 与△FP 还相似吗？为什么？ 1 【题型4 利用相似三角形的判定探究线段之间的关系】 【例4】（2022 秋•上城区期末）四边形BD 中，点E 在边B 上，连接DE，E． （1）若∠＝∠B＝∠DE＝50°，找出图中的相似三角形，并说明理由； （2）若四边形BD 为矩形，B＝5，B＝2，且图中的三个三角形都相似，求E 的长． （3）若∠＝∠B＝90°，D＜B，图中的三个三角形都相似，请判断E 和BE 的数量关系并 说明理由． 【变式4-1】（2022 秋•德清县期末）如图，将矩形BD 沿M 折叠，使点D 落在B 边上的点 E 处，若△EM 与△EM 相似，则B 和B 的数量关系为 ． 【变式4-2】（2022 秋•淮安期末）（1）填空：如图1，在正△B 中，M、分别在B、上，且 BM＝，连M、B 交于点，则∠＝ ° （2）填空：如图2，在正方形PQRS 中，已知点M、分别在边QR、RS 上，且QM＝ R，连接P、SM 相交于点，则∠PM＝ °． （3）如图3，在等腰梯形BD 中，已知B∥D，B＝D，∠B＝60°．以此为部分条件，构造 一个与上述命题类似的正确命题并加以证明． （4）在（1）的条件下，把直线M 平移到图4 的直线EF 位置， ①写出所有与△BF 相似的三角形： ②若点是中点，（其它条件不变）试探索线段E 与F 的数量关系，并说明理由． 1 【变式4-3】（2022 秋•城关区期末）如图，B⊥B，D⊥B，E 是B 上一点，使得E⊥DE； （1）求证：△BE∽△ED； （2）若B＝4，E＝B＝5，求D 的长； （3）当△ED∽△ED 时，请写出线段D、B、D 之间数量关系，并说明理由． 【题型5 相似三角形在坐标系中的运用】 【例5】（2022 秋•上城区期末）已知：Rt△B 在直角坐标系中的位置如图所示，点B 的坐 标为（4，2），P 为B 的中点，点为折线B 上的动点，线段P 把Rt△B 分割成两部分， 问：点在什么位置时，分割得到的三角形与Rt△B 相似？要求在图上画出所有符合要求 的线段P，并求出相应的点的坐标． 【变式5-1】（2022 秋•汝南县期末）如图，在直角坐标系中，已知点（2，0），B（0， 4），在x 轴上找到点（1，0）和y 轴的正半轴上找到点D，使△B 与△D 相似，则D 点的 坐标是 ． 1 【变式5-2】（2022•盘锦）如图，在平面直角坐标系中，（0，4），B（2，0），点在第一 象限，若以、B、为顶点的三角形与△B 相似（不包括全等），则点的个数是（ ） ．1 B．2 ．3 D．4 【变式5-3】（2022•淮安）如（）图，在平面直角坐标系中，点坐标为（12，0），点B 坐 标为（6，8），点为B 的中点，点D 从点出发，沿△B 的三边按逆时针方向以2 个单位 长度/秒的速度运动一周． （1）点坐标是 ，当点D 运动85 秒时所在位置的坐标是 ； （2）设点D 运动的时间为t 秒，试用含t 的代数式表示△D 的面积S，并指出t 为何值时 S 最大； （3）点E 在线段B 上以同样速度由点向点B 运动，如（b）图，若点E 与点D 同时出发， 问在运动5 秒钟内，以点D，，E 为顶点的三角形何时与△D 相似？（只考虑以点、为对 应顶点的情况） 【题型6 确定相似三角形的对数】 【例6】（2022 秋•余姚市期末）如图，在△B 中，D、E 分别是B、上的点，E＝4，B＝6， D：＝2：3，△B 的角平分线F 交DE 于点G，交B 于点F． （1）请你直接写出图中所有的相似三角形； （2）求G 与GF 的比． 【变式6-1】（2022 秋•金山区期末）如图，M 是平行四边形BD 的对角线BD 上一点，M 的延长线交B 于点E，交D 的延长线于点F，图中相似三角形有（ ） 1 ．6 对 B．5 对 ．4 对 D．3 对 【变式6-2】（2007 春•常州期末）如图，已知△B、△DEF 均为正三角形，D、E 分别在B、 B 上． （1）图中有几组相似三角形并把它们表示出来； （2）请找一个与△DBE 相似的三角形并说明理由． 【变式6-3】（2022 春•宁波校级期末）如图，四边形BD 和ED 都是平行四边形，B，，E 在一条直线上，点R 为DE 的中点，BR 分别交，D 于点P，Q． （1）则图中相似三角形（相似比为1 除外）共有 对； （2）求线段BP：PQ：QR，并说明理由． 【题型7 相似三角形中的多结论问题】 【例7】（2022 秋•常宁市期末）如图，△B 中，∠＝60°，BM⊥于点M，⊥B 于点，BM，交 于点，连接M．下列结论：①∠M＝∠B；②图中共有8 对相似三角形；③B＝2M．其中 正确的个数是（ ） ．1 个 B．2 个 ．3 个 D．0 个 【变式7-1】（2022•越秀区校级二模）如图，F 是△B 的B 边上一点，下列结论正确的个数 是（ ） 1 ①若∠F＝∠B，则△F∽△B ②若∠F＝∠B，则△F∽△B ③若2＝F•B，则△F∽△B ④若：F＝B：B，则△F∽△B． ．4 个 B．3 个 ．2 个 D．1 个 【变式7-2】（2022 秋•浦东新区校级月考）如图，在△B 中，D⊥B 于点D，BE⊥于点E， D 与BE 交于点F，连接F，DE，交点为G．以下结论正确的个数是（ ） ①∠D＝∠BE， ②F•FD＝BF•FE， ③△DE∽△B， ④△FGE∽△DG． ．1 个 B．2 个 ．3 个 D．4 个 【变式7-3】（2022 秋•商河县校级期中）如图，在正方形BD 中，点E、F 分别在边B、D 上，E、F 分别交BD 于点M、，连接、E，且＝E．下列结论：①＝E，⊥E；②BE+DF ＝EF；③MN EF = ❑ √2 2 ；④图中只有4 对相似三角形，其中正确结论的个数是（ ） ．4 B．3 ．2 D．1 【题型8 相似三角形与动点的综合】 【例8】（2022 春•成华区期末）如图，正方形BD 的边长为4，E＝EB，M＝2，线段M 的 1 两端在B、D 上滑动，当M＝ 时，△DE 与△M 相似． 【变式8-1】（2022 秋•金台区期末）如图，在△B 中，B＝10m，B＝20m，点P 从点开始沿 边B 向点B 以2m/s 的速度移动，点Q 从B 点开始沿边B 以2m/s 的速度移动．如果点 P，Q 分别从点，B 同时出发，经过几秒钟后，以点P、B、Q 三点为顶点的三角形与△B 相似？ 【变式8-2】（2022 秋•砀山县期末）如图所示，已知B⊥B 于B，D⊥B 于，B＝4，D＝6， B＝14，P 为B 上一点，试问BP 为何值时，△BP 与△PD 相似？ 【变式8-3】（2022 秋•正定县期末）在矩形BD 中，B＝12m，B＝6m，点P 沿B 边从点开 始向点B 以2m/秒的速度移动，点Q 沿D 边从点D 开始向点以1m/秒的速度移动，如果 P、Q 同时出发，用t（秒）表示运动时间（0≤t≤6），那么当t 为何值时，△PQ 与△BD 相似？说明理由． 【题型9 相似与最值】 【例9】（2022 秋•余姚市校级月考）如图，等腰△B 中，B＝B，＝3＝6．动点F 在B 上以 每分钟5 个单位长度的速度从B 点出发向点移动，过F 作FE∥B 交边于E 点，连接F、 E． （1）求、B 两点的坐标； （2）证明：当△EF 面积最大时，△EF∽△B． 1 【变式9-1】（2022•扬州）如图，在直角梯形BD 中，∠B＝90°，D∥B，D＝4，B＝5，B＝ 6，点P 是B 上一个动点，当P+PD 的和最小时，PB 的长为 ． 【变式9-2】（2022•兖州区一模）如图，正方形BD 的对角线上的两个动点M、，满足B ¿ ❑ √2M，点P 是B 的中点，连接、PM，若B＝6，则当+PM 的值最小时，线段的长度为 ． 【变式9-3】（2022•锦江区模拟）如图，在Rt△B 中，∠B＝90°，B＝3，B＝5，点D 是线 段B 上一动点，连接D，以D 为边作△DE，使△DE∽△B，则△DE 的最小面积与最大面 积之比等于 ． 【题型10 旋转型相似】 【例10】（2022 秋•襄汾县期末）△B 中，B＝，∠B＝90°，P 为B 上的动点，小慧拿含45° 角的透明三角板，使45°角的顶点落在点P，三角板可绕P 点旋转． （1）如图，当三角板的两边分别交B、于点E、F 时．求证：△BPE∽△FP； （2）将三角板绕点P 旋转到图b 情形时，三角板的两边分别交B 的延长线、边于点E、 F．△BPE 与△FP 还相似吗？（只需写出结论） 1 （3）在（2）的条件下，连接EF，△BPE 与△PFE 是否相似？若不相似，则动点P 运动 到什么位置时，△BPE 与△PFE 相似？说明理由． 【变式10-1】（2022•炎陵县一模）如图，在△B 中，∠D＝∠B，将△D 绕点旋转，点D 落在 点E 处，点落在点F 处，D，EF 交于点，连接DE，F，找出其中相似三角形． 【变式10-2】（2022 春•龙泉驿区期末）如图，Rt△B 中，∠＝90°，B＝15，B＝9，点P，Q 分别在B，上，P＝3x，Q＝4x（0＜x＜3），把△PQ 绕点P 旋转，得到△PDE，点D 落 在线段PQ 上． （1）求证：PQ∥B； （2）若点D 在∠B 的平分线上，求P 的长； （3）在（2）的情况下，求△PDE 与△B 重叠部分图形的面积． 【变式10-3】（2022•大庆模拟）已知，如图①所示，在△B 和△DE 中，B＝，D＝E，∠B＝ ∠DE，且点B、、D 在一条直线上，连接BE、D． （1）求证：BE＝D； （2）若M、分别是BE 和D 的中点，将△DE 绕点按顺时针旋转，如图②所示，试证明 在旋转过程中，△M 是等腰三角形； 1 （3）试证明△M 与△B 和△DE 都相似． 1