专题18.4 矩形的性质与判定【九大题型】（原卷版）

专题184 矩形的性质与判定【九大题型】 【人版】 【题型1 由矩形的性质求线段的长度】................................................................................................................. 1 【题型2 由矩形的性质求角的度数】.....................................................................................................................2 【题型3 由矩形的性质求面积】.............................................................................................................................3 【题型4 矩形的性质与坐标轴的综合运用】.........................................................................................................4 【题型5 矩形判定的条件】.....................................................................................................................................6 【题型6 证明四边形是矩形】.................................................................................................................................7 【题型7 矩形中多结论问题】...............................................................................................................................10 【题型8 矩形的判定与性质综合】.......................................................................................................................12 【题型9 直角三角形斜边的中线】........................................................................................................................14 【知识点1 矩形的定义】 有一个角是直角的平行四边形是矩形． 【知识点2 矩形的性质】 ①平行四边形的性质矩形都具有；②角：矩形的四个角都是直角；③边：邻边垂直；④对 角线：矩形的对角线相等；⑤矩形是轴对称图形，又是中心对称图形．它有2 条对称轴， 分别是每组对边中点连线所在的直线；对称中心是两条对角线的交点． 【题型1 由矩形的性质求线段的长度】 【例1】（2022 春•新泰市期末）如图，在矩形BD 中，AD=4 ❑ √2，对角线与BD 相交于 点，DE⊥，垂足为点E，E＝E，则DE 的长为（ ） ．4 B．3 ❑ √2 ．2❑ √2 D．2 【变式1-1】（2022 春•开州区期末）如图，在矩形BD 中，对角线、BD 相交于点，DF 垂 直平分，交于点E，交B 于点F，连接F，若BD＝2❑ √3，DF＝2，则F 的长为（ ） 1 ．❑ √6 B．2❑ √2 ．❑ √7 D．3 【变式1-2】（2022•碑林区校级模拟）如图，在矩形BD 中，是BD 的中点，E 为D 边上一 点，且有E＝B＝2．连接E，若∠E＝75°，则DE 的长为（ ） ．3 2 B．❑ √3 ．2 D．2❑ √3−¿2 【变式1-3】（2022•南岗区期末）如图，矩形BD 中，点E，F 分别在D，D 上，且F＝ 2DF＝2，连接BE，EF，BF，且BF 平分∠EB，∠EFB＝45°，连接E 交BF 于点G，则线 段EG 的长为 ． 【题型2 由矩形的性质求角的度数】 【例2】（2022 春•溧水区期中）如图，在矩形BD 中，、BD 交于点，DE⊥于点E，∠D＝ 110°，则∠DE 大小是（ ） ．55° B．40° ．35° D．20° 【变式2-1】（2022•武昌区期末）如图，把一张矩形纸片沿对角线折叠，如果量得∠EDF＝ 22°，则∠FDB 的大小是（ ） 1 ．22° B．34° ．24° D．68° 【变式2-2】（2022 春•江夏区期中）如图，矩形BD 中，B＝2，D＝1，点M 在边D 上， 若M 平分∠DMB，则∠MD 的大小是（ ） ．45° B．60° ．75° D．30° 【变式2-3】（2022 春•莫旗期末）如图，若将四根木条钉成的矩形木框变形为平行四边形 BD 的形状，并使其面积为矩形面积的一半，则平行四边形BD 的最大内角的大小是 ． 【题型3 由矩形的性质求面积】 【例3】（2022 春•浦东新区期末）我们把两条对角线所成两个角的大小之比是1：2 的矩 形叫做“和谐矩形”，如果一个“和谐矩形”的对角线长为10m，则矩形的面积为 m2． 【变式3-1】（2022•成都）如图，过矩形BD 的对角线BD 上一点K 分别作矩形两边的平行 线M 与PQ，那么图中矩形MKP 的面积S1与矩形QK 的面积S2的大小关系是S1 S2； （填“＞”或“＜”或“＝”） 1 【变式3-2】（2022 春•成都期末）如图，点E 是矩形BD 边D 上一动点，连接BE，以BE 边作矩形BEFG，使得FG 始终经过点．若矩形BD 的面积为s1，矩形BEFG 的面积为 s2，则s1与s2的大小关系是（ ） ．s1＜s2 B．s1＝s2 ．s1＞s2 D．不确定 【变式3-3】（2022 春•九龙坡区校级期中）已知：矩形BD 中，延长B 至E，使BE＝BD， F 为DE 的中点，连接F、F． （1）求证：F⊥F； （2）若B＝10m，B＝16m，求△DF 的面积． 【题型4 矩形的性质与坐标轴的综合运用】 【例4】（2022 春•潮南区期中）如图，在矩形ED 中，点D 的坐标是（1，3），则E 的长 是（ ） ．3 B．❑ √3 ．❑ √5 D．❑ √10 【变式4-1】（2022 春•任城区期末）定义：如果一个三角形有一边上的中线等于这条边的 1 一半，那么称三角形为“智慧三角形”．如图，在平面直角坐标系xy 中，矩形B 的边 ＝3，＝4，点M（2，0），在边B 存在点P，使得△MP 为“智慧三角形”，则点P 的坐 标为（ ） ．（3，1）或（3，3） B．（3，1 2）或（3，3） ．（3，1 2）或（3，1） D．（3，1 2）或（3，1）或（3，3） 【变式4-2】（2022•西平县模拟）已知在矩形BD 中，B＝4，B¿ 25 2 ，为B 上一点，B¿ 7 2， 如图所示，以B 所在直线为x 轴，为坐标原点建立平面直角坐标系，M 为线段上的一点． （1）若点M 的坐标为（1，0），如图1，以M 为一边作等腰△MP，使点P 在矩形BD 的一边上，则符合条件的等腰三角形有几个？请直接写出所有符合条件的点P 的坐标； （2）若将（1）中的点M 的坐标改为（4，0），其他条件不变，如图2，那么符合条件 的等腰三角形有几个？求出所有符合条件的点P 的坐标． 【变式4-3】（2022 春•浦江县期中）如图，长方形B 中，为平面直角坐标系的原点，点的 坐标为（4，0），点的坐标为（0，6），点B 在第一象限内，点P 从原点出发，以每秒 1 2 个单位长度的速度沿着→→B→→的路线移动（移动一周）． （1）写出点B 的坐标； （2）当点P 移动了4 秒时，求出点P 的坐标； （3）在移动过程中，当△BP 的面积是10 时，直接写出点P 的坐标． 【知识点3 矩形的判定方法】 ①矩形的定义：有一个角是直角的平行四边形是矩形；②有三个角是直角的四边形是矩形； ③对角线相等的平行四边形是矩形（或“对角线互相平分且相等的四边形是矩形”） 【题型5 矩形判定的条件】 【例5】（2022 春•夏邑县期中）如图，四边形BD 为平行四边形，延长D 到E，使DE＝ D，连接EB，E，DB，添加一个条件，不能使四边形DBE 成为矩形的是（ ） ．B＝BE B．BE⊥D ．∠DB＝90° D．E⊥DE 【变式5-1】（2022 春•江油市期末）在四边形BD 中，、BD 交于点，在下列条件中，不能 判定四边形BD 为矩形的是（ ） ．＝，B＝D，∠BD＝90° B．B＝D，D＝B，＝BD ．∠BD＝∠BD，∠B+∠BD＝180°，⊥BD D．∠BD＝∠B＝90°，＝BD 【变式5-2】（2022 春•仙居县期末）如图，四边形BD 为平行四边形，延长D 到E，使DE 1 ＝D，连接EB，E，DB，添加一个条件，不能使四边形DBE 成为矩形的是（ ） ．B＝BE B．E⊥DE ．∠DB＝90° D．BE⊥D 【变式5-3】（2022•西城区一模）如图，在△B 中，D，E 分别是B，的中点，点F，G 在边 B 上，且DG＝EF．只需添加一个条件即可证明四边形DFGE 是矩形，这个条件可以是 ．（写出一个即可） 【题型6 证明四边形是矩形】 【例6】（2022 春•南谯区期末）如图，在平行四边形BD 中，对角线，BD 相交于点，若 E，F 是线段上两动点，同时分别从，两点出发以1m/s 的速度向点，运动． （1）求证：△DE≌△BF； （2）若BD＝8m，＝14m，当运动时间t 为多少秒时，四边形DEBF 是矩形？ 【变式6-1】（2022 春•海陵区期末）如图，在△B 中，是边上的一个动点，过点作直线 M，交∠B 的平分线于点E，交△B 的外角∠D 的平分线于点F．给出下列信息：①M∥B； ②E＝；③F＝． （1）请在上述3 条信息中选择其中一条作为条件，证明：E＝F； （2）在（1）的条件下，连接E、F，当点在边上运动到什么位置时，四边形EF 是矩形？ 1 请说明理由． 【变式6-2】（2022 春•津南区期末）已知▱BD，对角线，BD 相交于点（＞BD），点E， F 分别是，上的动点． （Ⅰ）如图①，若E＝F，求证：四边形EBFD 是平行四边形； （Ⅱ）如图②，若E＝B，F＝D，求证：四边形EBFD 是矩形． 1 【变式6-3】（2022 春•洪泽区期末）在矩形BD 中，B＝6，B＝8，E、F 是对角线上的两个 动点，分别从、同时出发相向而行，速度均为每秒1 个单位长度，运动时间为t 秒，其 中0≤t≤10． （1）若G、分别是D、B 的中点，则下列关于四边形EGF（E、F 相遇时除外）的判断： ①一定是平行四边形；②一定是矩形；③一定是菱形，正确的是 ；（直接填序号， 不用说理） （2）在（1）的条件下，若四边形EGF 为矩形，求t 的值． 1 【题型7 矩形中多结论问题】 【例7】（2022•绥化一模）如图，在一张矩形纸片BD 中B＝4，B＝8，点E，F 分别在 D，B 上，将纸片BD 沿直线EF 折叠，点落在D 上的点处，点D 落在点G 处，连接 E，．有以下四个结论：①四边形FE 是菱形；②E 平分∠D；③线段BF 的取值范围为 3≤BF≤4；④当点与点重合时，EF＝5．以上结论中，其中正确结论的个数有（ ） ．1 个 B．2 个 ．3 个 D．4 个 【变式7-1】（2022 春•南充期末）如图，矩形BD 中，M，分别是边B，D 的中点，BP⊥ 于P，P 的延长线交D 于Q．下列结论：①PM＝；②PM⊥Q；③PQ＝Q；④DQ＜ 2P．其中结论正确的有（ ） ．1 个 B．2 个 ．3 个 D．4 个 【变式7-2】（2022 春•泉州期末）如图，点P 是矩形BD 内一点，连结P、PB、P、PD， 设△PB、△PB、△PD、△PD 的面积分别为S1、S2、S3、S4，以下四个判断： ①当∠PB＝∠PD 时，B、P、D 三点共线 ②存在唯一一点P，使P＝PB＝P＝PD ③不存在到矩形BD 四条边距离都相等的点P ④若S1＝S2，则S3＝S4 其中正确的是 ．（写出所有正确结论的序号） 【变式7-3】（2022 春•兴文县期中）如图，矩形BD 中，，BD 相交于点，过点B 作BF⊥ 交D 于点F，交于点M，过点D 作DE∥BF 交B 于点E，交于点，连接F，EM．则下列 1 结论：①D＝BM；②EM∥F；③DF＝F；④当＝D 时，四边形DEBF 是菱形．其中正确 的结论是 ． 【题型8 矩形的判定与性质综合】 【例8】（2022 春•海淀区期末）如图，在△B 中，D 是B 上一点，D＝D，DE 平分∠D 交于 点E，DF 平分∠BD 交B 于点F，∠DF＝90°． （1）求证：四边形EDF 是矩形； （2）若∠B＝30°，D＝2，连接BE，求BE 的长． 【变式8-1】（2022•息烽县二模）如图，菱形BD 的对角线、BD 交于点，过点B 作BE∥， 且BE=1 2 AC，连接E、ED． （1）求证：四边形BE 是矩形； （2）若＝2，∠B＝60°，求DE 的长． 1 【变式8-2】（2022•开福区校级二模）如图，平行四边形BD 的对角线、BD 相交于点，过 点作F⊥D，垂足为F，延长D 到点E，使E＝DF，连接BE． （1）求证：四边形BEF 是矩形； （2）若B＝5，F＝2，⊥BD，连接E，求E 的长． 【变式8-3】（2022•崇左）如图，是矩形BD 的对角线的交点，E、F、G、分别是、B、、 D 上的点，且E＝BF＝G＝D． （1）求证：四边形EFG 是矩形； （2）若E、F、G、分别是、B、、D 的中点，且DG⊥，F＝2m，求矩形BD 的面积． 1 【知识点4 直角三角形斜边中线】 在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半． 【题型9 直角三角形斜边的中线】 【例9】（2022•青县二模）如图，直角△B 中，∠B＝90°，∠B＝78°，过作F∥B，连接F 与 B 相交于G，若GF＝2，则∠BG 的大小是 度． 【变式9-1】（2022 春•河南期末）如图，在△B 中，点D 在边上，DB＝B，E 是D 的中点， F 是B 的中点． （1）直接写出B 与EF 的数量关系： ； （2）若D＝3，BD＝2，∠＝60°，求EF 的长． 1 【变式9-2】（2022•浦东新区期末）如图（1），已知锐角△B 中，D、BE 分别是B、边上 的高，M、分别是线段B、DE 的中点． （1）求证：M⊥DE． （2）连接DM，ME，猜想∠与∠DME 之间的关系，并证明猜想． （3）当∠变为钝角时，如图（2），上述（1）（2）中的结论是否都成立，若结论成立， 直接回答，不需证明；若结论不成立，说明理由． 1 【变式9-3】（2022 秋•启东市校级月考）引理：如图1 所示已知Rt△B 中，D 是斜边B 上 的中线，则D＝D＝DB¿ 1 2B 应用格式为：∵D 是斜边B 上的中线，∴D＝D＝DB¿ 1 2B 如图2 所示已知，△B 中，＝B，∠B＝90°，D 为B 的中点，若E 在直线上任意一点， DF⊥DE，交直线B 于F 点．G 为EF 的中点，延长G 交B 直线于点． （1）若E 在边上．①试说明DE＝DF；②试说明G＝G；（本题需要用引理） （2）若E＝3，＝5．求边的长． 1