专题18.5 正方形的性质与判定【十大题型】（解析版）

专题185 正方形的性质与判定【十大题型】 【人版】 【题型1 正方形的性质（求角的度数）】............................................................................................................. 1 【题型2 正方形的性质（求线段的长度）】.........................................................................................................6 【题型3 正方形的性质（求面积、周长）】.......................................................................................................11 【题型4 正方形的性质（探究数量关系）】.......................................................................................................16 【题型5 判定正方形成立的条件】.......................................................................................................................25 【题型6 正方形判定的证明】...............................................................................................................................30 【题型7 正方形的判定与性质综合】...................................................................................................................36 【题型8 探究正方形中的最值问题】...................................................................................................................41 【题型9 正方形在坐标系中的运用】...................................................................................................................46 【题型10 正方形中的多结论问题】.....................................................................................................................51 【知识点1 正方形的定义】 有一组邻边相等并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形． 【知识点2 正方形的性质】 ①正方形的四条边都相等，四个角都是直角；②正方形的两条对角线相等，互相垂直平分， 并且每条对角线平分一组对角； ③正方形具有四边形、平行四边形、矩形、菱形的一切性 质．④两条对角线将正方形分成四个全等的等腰直角三角形，同时，正方形又是轴对称图 形，有四条对称轴． 【题型1 正方形的性质（求角的度数）】 【例1】（2022 春•建阳区期中）如图，在正方形BD 中有一个点E，使三角形BE 是正三角 形， 求：（1）∠BE 的大小 （2）∠ED 的大小． 【分析】（1）根据正方形的性质和正三角形的性质、以及角的和差关系可求∠BE 的度 数，再根据等腰三角形的性质可求∠BE 的大小； 1 （2）根据正方形的性质得到∠ED＝15°，同理，∠DE＝15°，再根据三角形内角和定理 可求∠ED 的大小． 【解答】解：（1）因为四边形BD 为正方形， 所以B＝B，∠B＝∠BD＝90°， 因为△EB 是正三角形， 所以∠EB＝60°，BE＝B＝E， 所以∠BE＝30°，B＝BE， 所以∠BE＝∠EB＝（180°﹣∠BE）÷2＝150°÷2＝75°． （2）因为∠BE＝75°， 所以∠ED＝90°﹣∠EB＝15°， 同理，∠DE＝15°， 所以∠ED＝180°﹣∠ED﹣∠DE＝180° 15° 15° ﹣ ﹣ ＝150°． 【变式1-1】如图，已知正方形BD 在直线M 的上方，B 在直线M 上，E 是B 上一点，以E 为边在直线M 上方作正方形EFG． （1）连接GD，求证：△DG≌△BE； （2）连接F，观察并猜测∠F 的度数，并说明理由． 【分析】（1）利用正方形的性质及SS 定理求出△DG≌△BE，再利用全等三角形的性质 即可解答； （2）过F 作F⊥M 于，根据正方形及直角三角形的性质可求出△BE≌△EF，根据三角形 全等可求出BE＝F，B＝E，通过等量代换可得＝F，利用等腰直角三角形的性质即可解 答． 【解答】（1）证明： ∵四边形BD、EFG 都是正方形， ∴B＝D，E＝G，∠BD＝∠EG＝90°， 1+ 3 ∴∠ ∠＝90°，∠2+ 3 ∠＝90°， 即∠1＝∠2，∴△DG≌△BE； （2）解：∠F＝45°， 1 理由如下： 过F 作F⊥M 于，则∠EF＝90°， ∵四边形BD、EFG 都是正方形， ∴B＝B，E＝EF，∠BE＝∠EF＝90°， 1+ 4 ∴∠ ∠＝90°，∠4+ 5 ∠＝90°， 1 ∴∠＝∠5， 又∵∠BE＝∠EF＝90°， ∴△BE≌△EF， ∴BE＝F，B＝E， ∴B＝E， ∴＝BE， ∴在Rt△F 中，＝F， ∴∠F＝∠F＝45°． 【变式1-2】（2022•武威模拟）如图，在正方形BD 中，点E 是对角线上的一点，点F 在B 的延长线上，且BE＝EF，EF 交D 于点G． （1）求证：DE＝EF； （2）求∠DEF 的度数． 【分析】（1）证明△BE≌△DE，可得结论； （2）结合（1）根据正方形的性质即可解决问题． 【解答】（1）证明：∵四边形BD 是正方形， ∴B＝D，∠BE＝∠DE， 在△BE 和△DE 中， 1 { BC=DC ∠BCE=∠DCE CE=CE ， ∴△BE≌△DE（SS）， ∴BE＝ED， ∵BE＝EF， ∴DE＝EF； （2）解：∵四边形BD 是正方形， ∴∠DB＝∠DF＝90°， ∴∠F+∠FG＝90°， ∵△BE≌△DE， ∴∠BE＝∠DE， ∵BE＝EF， ∴∠BE＝∠F， ∴∠F＝∠DE， ∵∠FG＝∠DGE， ∴∠DE+∠DGE＝90°， ∴∠DEF＝90°． 【变式1-3】（2022 春•新市区校级期末）如图，在给定的正方形BD 中，点E 从点B 出发， 沿边B 方向向终点运动，DF⊥E 交B 于点F，以FD，FE 为邻边构造平行四边形 DFEP，连接P，则∠DFE+∠EP 的度数的变化情况是（ ） ．一直减小 B．一直减小后增大 ．一直不变 D．先增大后减小 【分析】根据题意∠DFE+∠EP＝∠DP，作P⊥B 交B 的延长线于，证明P 是∠D 的角平 分线即可解决问题． 【解答】解：作P⊥B 交B 的延长线于， 1 ∵四边形BD 是正方形， ∴D＝B＝B， ∠DF＝∠BE＝∠DB＝∠D＝90°， ∵DF⊥E， ∴∠BE+∠DE＝90°，∠DF+∠DE＝90°， ∴∠BE＝∠DF， ∴△DF≌△BE（S）， ∴DF＝E， ∵四边形DFEP 是平行四边形， ∴DF＝PE，∠DFE＝∠DPE， ∵∠BE+∠EB＝90°，∠EB+∠PE＝90°， ∴∠BE＝∠PE， ∵∠BE＝∠＝90°，E＝EP． ∴△BE≌△EP（S）， ∴P＝BE，B＝E＝B， ∴BE＝＝P， ∴∠P＝45°， ∵∠D＝90°， ∴∠DP＝∠P， ∴P 是∠D 的角平分线， ∴点P 的运动轨迹是∠D 的角平分线， ∵∠DFE+∠EP＝∠DPE+∠EP＝∠DP， 观察图象可得，∠DP 一直减小， 故选：． 【题型2 正方形的性质（求线段的长度）】 【例2】（2022 春•牡丹江期末）如图，正方形BD 的边长为10，点E，F 在正方形内部，E ＝F＝8，BE＝DF＝6，则线段EF 的长为（ ） 1 ．2❑ √2 B．4 ．4−❑ √2 D．4+❑ √2 【分析】延长DF 交E 于G，，再根据全等三角形的判定得出△GD 与△BE 全等，得出G ＝BE＝6，由E＝8，得出EG＝2，同理得出GF＝2，再根据勾股定理得出EF 的长． 【解答】解：延长DF 交E 于G，如图： ∵B＝10，E＝8，BE＝6， ∴E2+BE2＝B2， ∴△BE 是直角三角形， ∴同理可得，△DF 是直角三角形， ∵四边形BD 是正方形， ∴∠BD＝∠B＝∠BD＝∠D＝90°，B＝B＝D＝D， ∴∠BE+∠DG＝90°， 在△BE 和△DF 中， { AB=CD AE=CF BE=DF ， ∴△BE≌△DF（SSS）， ∴∠BE＝∠DF， 又∵∠DF+∠DF＝∠DF+∠DF＝90°， ∴∠DF＝∠DG， ∴∠BE＝∠DG， ∵∠BE+∠DG＝90°， ∴∠DG+∠DG＝90°， ∴∠DG＝90°，即△GD 是直角三角形， 1 在△GD 和△BE 中， { ∠AGD=∠BEA ∠ADG=∠BAE AD=BA ， ∴△GD≌△BE（S）， ∴G＝BE＝6，DG＝E＝8， ∴EG＝8 6 ﹣＝2， 同理可得：GF＝2， Rt ∴ △EFG 中，EF¿ ❑ √2 2+2 2=¿2❑ √2， 故选：． 【变式2-1】（2022 春•巴南区期末）如图，四边形BD 是边长为4 的正方形，点E 在边D 上，且DE＝1，作EF∥B 分别交、B 于点G、F，P、分别是G，BE 的中点，则P 的长是 （ ） ．2 B．25 ．3 D．4 【分析】连接F，PF．证明FP⊥，则△PF 是直角三角形，利用P 是Rt△PF 斜边上的中 线，可得P¿ 1 2F，因为F＝BE，再利用勾股定理求出BE 的长即可． 【解答】解：连接F，PF．如图所示， ∵四边形BD 是边长为4 的正方形． ∴B＝D＝4，且平分∠BD． ∴∠B＝45°． ∵EF∥B． ∴∠FE＝∠B＝90°． ∴△FG 是等腰直角三角形． ∵P 为G 中点． 1 ∴PF⊥G． ∴△PF 是直角三角形． ∵DE＝1． ∴E＝D﹣DE＝3． ∵EF∥B． ∴四边形BEF 是矩形． ∵点为BE 的中点． ∴F 过点．即点为F 的中点． 在Rt△PF 中，P¿ 1 2 CF． ∵EF＝B＝4． ∴在Rt△EF 中，F¿ ❑ √CE 2+EF 2= ❑ √3 2+4 2=5． ∴PH=5 2=¿25． 故选：B． 【变式2-2】（2022•越秀区一模）将正方形BD 与正方形BEFG 按如图方式放置，点F、 B、在同一直线上，已知BG¿ ❑ √2，B＝3，连接DF，M 是DF 的中点，连接M，则M 的 长是（ ） ． ❑ √10 2 B．❑ √3 ． ❑ √13 2 D．3 2 【分析】根据正方形的性质和全等三角形的判定和性质得出B，进而利用勾股定理解答 即可． 【解答】解：延长M 交B 于点， ∵四边形BD 和四边形BEFG 都是正方形，BG¿ ❑ √2，B＝3， ∴BF¿ ❑ √2BG＝2，B＝D＝D＝B＝3， 1 ∵点F，B，在同一直线上， ∴D∥F， ∴∠DM＝∠FM，∠DM＝∠FM， ∵M 是DF 中点， ∴DM＝FM， 在△DM 和△FM 中， { ∠DAM=∠FHM ∠ADM=∠HFM DM=FM ， ∴△DM≌△FM（S）， ∴D＝F＝3，M＝M¿ 1 2， ∴B＝F﹣BF＝1， 在Rt△B 中，¿ ❑ √A B 2+B H 2= ❑ √3 2+1 2=❑ √10， ∴M¿ 1 2¿ ❑ √10 2 ， 故选：． 【变式2-3】（2022 春•吴中区校级期末）如图，在正方形BD 中，B＝4❑ √5．E、F 分别为 边B、B 的中点，连接F、DE，点、M 分别为F、DE 的中点，连接M，则M 的长度为 ❑ √10 ． 【分析】先通过证明△BF≌DE 得到角相等后，证明∠MG＝90°，利用已知条件在Rt△DG 与Rt△EG 中求出G，EG 的长，进而求出G，GM 的长，利用勾股定理求出M 的长． 【解答】解：如图所示， ∵四边形BD 是正方形， ∴D＝B＝B＝4❑ √5，∠B＝∠DE＝90°． 1 ∵E、F 分别为边B、B 的中点， ∴E＝BF＝2❑ √5． ∴DE¿ ❑ √AD 2+ AE 2= ❑ √(4 ❑ √5) 2+(2❑ √5) 2=¿10． 在△DE 和△BF 中， { AD=AB ∠DAE=∠B AE=BF ． ∴△DE≌△BF（SS）． ∴∠ED＝∠BF．F＝DE＝10． ∵∠BF+∠BF＝90°． ∴∠ED+∠BF＝90°． ∴∠GE＝90°． ∴∠MG＝90°． 设EG 的长为x，则GD＝10﹣x， 在Rt△GE 中， G2＝E2﹣EG2＝20﹣x2． 在Rt△DG 中， G2＝D2﹣DG2＝80﹣（10﹣x）2． 20 ∴ ﹣x2＝80﹣（10﹣x）2． 解得x＝2．即EG＝2． ∴G¿ ❑ √20−x 2=¿4． ∵点、M 分别为F、DE 的中点， ∴¿ 1 2F＝5，EM¿ 1 2DE＝5． ∴GM＝EM﹣EG＝3，G＝﹣G＝1． 在Rt△MG 中， M¿ ❑ √GM 2+GN 2= ❑ √3 2+1 2=❑ √10． 故答为：❑ √10． 【题型3 正方形的性质（求面积、周长）】 【例3】（2022 春•鄞州区期末）有两个正方形，B．现将B 放在的内部得图甲，将，B 构 造新的正方形得图乙．若图甲和图乙中阴影部分的面积分别为1 和12，若三个正方形和 两个正方形 B 得图丙，则阴影部分的面积为（ ） 1 ．28 B．29 ．30 D．31 【分析】设正方形的边长为，正方形B 的边长为b，观察图甲和图乙可得关于，b 的方 程组，整理可得：﹣b＝1，+b＝5，b＝6，观察图丙可得S 阴影＝（2+b）2 3 ﹣ 2 2 ﹣b2，再 利用乘法公式整体代入计算即可． 【解答】解：设正方形的边长为，正方形B 的边长为b，且＞b＞0， 根据图甲和图乙，得：{ a 2−b 2−2b(a−b)=1 (a+b) 2−a 2−b 2=12 ， 整理，得：{ a 2−2ab+b 2=1 ① 2ab=12② ， 由①得：（﹣b）2＝1， ∵＞b， ∴﹣b＝1， 由②得：b＝6， + ×2 ①② ，得：（+b）2＝25， + ∴b＝5， 观察图丙，得：S 阴影＝（2+b）2 3 ﹣ 2 2 ﹣b2 ＝（+b）（﹣b）+4b ＝5×1+4×6 ＝29． 故选：B． 【变式3-1】（2022 春•工业区校级期中）如图，四边形BD 为正方形，为、BD 的交点， △DE 为Rt△，∠ED＝90°，E＝2❑ √2，若E•DE＝3，则正方形BD 的面积为（ ） 1 ．5 B．6 ．8 D．10 【分析】过点作M⊥E 于M，作⊥DE 交ED 的延长线于，判断出四边形ME 是矩形，根 据矩形的性质可得∠M＝90°，再求出∠M＝∠D，根据正方形的性质可得＝D，然后利用 “角角边”证明△M 和△D 全等，根据全等三角形对应边相等可得M＝，M＝D，然后判 断出四边形ME 是正方形，可得E＝＝2，得DE+E＝4，设DE＝，E＝b，可得+b＝4， 根据E•DE＝3，D2＝2+b2＝（+b）2 2 ﹣b＝42 2×3 ﹣ ＝10，即可解决问题． 【解答】解：如图，过点作M⊥E 于M，作⊥DE 交ED 的延长线于， ∵∠ED＝90°， ∴四边形ME 是矩形， ∴∠M＝90°， ∵∠M+∠DM＝∠D+∠DM， ∴∠M＝∠D， ∵四边形BD 是正方形， ∴＝D， 在△M 和△D 中， { ∠COM=∠DON ∠CMO=∠N OC=OD ， ∴△M≌△D（S）， ∴M＝，M＝D， ∴四边形ME 是正方形， 在Rt△E 中， ∵E＝2❑ √2， 2 ∴E2＝E2＝（2❑ √2）2＝8， ∴E＝＝2， ∵DE+E＝DE+EM+M＝DE+EM+D＝E+EM＝2E＝4， 设DE＝，E＝b， + ∴b＝4， ∵E•DE＝3， ∴D2＝2+b2＝（+b）2 2 ﹣b＝42 2×3 ﹣ ＝10， ∴S 正方形BD＝10， 故选：D． 1 【变式3-2】（2022•台州）如图，在正方形BD 中，B＝3，点E，F 分别在D，D 上，E＝ DF，BE，F 相交于点G．若图中阴影部分的面积与正方形BD 的面积之比为2：3，则 △BG 的周长为 ❑ √15+¿3 ． 【分析】根据阴影部分的面积与正方形BD 的面积之比为2：3，得出阴影部分的面积为 6，空白部分的面积为3，进而依据△BG 的面积以及勾股定理，得出BG+G 的长，进而 得出其周长． 【解答】解：∵阴影部分的面积与正方形BD 的面积之比为2：3， ∴阴影部分的面积为2 3 ×9＝6， ∴空白部分的面积为9 6 ﹣＝3， 由E＝DF，B＝D，∠BE＝∠DF＝90°，可得△BE≌△DF， ∴△BG 的面积与四边形DEGF 的面积相等，均为1 2 ×3¿ 3 2， ∠BE＝∠DF， ∵∠DF+∠BG＝90°， ∴∠BG+∠BG＝90°，即∠BG＝90°， 设BG＝，G＝b，则1 2b¿ 3 2， 又∵2+b2＝32， ∴2+2b+b2＝9+6＝15， 即（+b）2＝15， + ∴b¿ ❑ √15，即BG+G¿ ❑ √15， ∴△BG 的周长¿ ❑ √15+¿3， 故答为：❑ √15+¿3． 1 【变式3-3】（2022•江北区一模）如图，以Rt△B 的各边为边分别向外作正方形，∠B＝ 90°，连结DG，点为DG 的中点，连结B，，若要求出△B 的面积，只需知道（ ） ．△B 的面积 B．正方形DEB 的面积 ．正方形FG 的面积 D．正方形BM 的面积 【分析】连接并延长交B 于点P，交M 于点Q，连接E，E，，证明△B≌△DG， △B≌△EB，进而可以解决问题． 【解答】解：如图，连接并延长交B 于点P，交M 于点Q，连接E，E，， ∵四边形BED，四边形FG，四边形BM 是正方形， ∴B＝D，＝G，∠B＝∠DG＝90°， 在△B 和△DG 中， { AB=AD ∠BAC=∠DAG=90° AC=AG