专题24.3 垂径定理【十大题型】（原卷版）

专题243 垂径定理【十大题型】 【人版】 【题型1 利用垂径定理求线段长度】.....................................................................................................................1 【题型2 利用垂径定理求角度】.............................................................................................................................5 【题型3 利用垂径定理求最值】.............................................................................................................................9 【题型4 利用垂径定理求取值范围】................................................................................................................... 13 【题型5 利用垂径定理求整点】...........................................................................................................................18 【题型6 利用垂径定理求面积】...........................................................................................................................22 【题型7 垂径定理在格点中的运用】................................................................................................................... 26 【题型9 垂径定理与分类讨论中的综合运用】....................................................................................................33 【题型10 垂径定理的应用】..................................................................................................................................37 【知识点1 垂径定理及其推论】 （1）垂径定理 垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧． （2）垂径定理的推论 推论1：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧． 推论2：弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧． 推论3：平分弦所对一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧． 【题型1 利用垂径定理求线段长度】 【例1】（2022•雨花区校级开学）如图，⊙的半径D⊥弦B 交B 于点，连接并延长交⊙于 点E，连接E．若B＝8，E＝2❑ √13，则D 的长为（ ） ．1 B．3 ．2 D．4 【变式1-1】（2022•宁津县二模）如图，已知圆的半径为10，B⊥D，垂足为P，且B＝D ＝16，则P 的长为（ ） 1 ．6 B．6 ❑ √2 ．8 D．8 ❑ √2 【变式1-2】（2022•建华区二模）如图，⊙的直径B 与弦D 相交于点E，若E＝5，EB＝ 1，∠E＝30°，则D 的长为（ ） ．5 B．2❑ √3 ．4❑ √2 D．2❑ √2+❑ √3+1 【变式1-3】（2022 春•徐汇区校级期中）如图，B 是⊙的弦，D 为半径的中点，过D 作 D⊥交弦B 于点E，且E＝B，若BE＝2E，D＝5，那么⊙的半径为 ． 【题型2 利用垂径定理求角度】 【例2】（2022•泰安模拟）如图，⊙的半径，B，且⊥B，连接B．现在⊙上找一点，使 2+B2＝B2，则∠的度数为（ ） ．15°或75° B．20°或70° ．20° D．30° 【变式2-1】（2022 秋•天心区期中）如图，已知⊙半径＝4，点B 为圆上的一点，点为劣 弧^ AB上的一动点，D⊥，E⊥B，连接DE，要使DE 取得最大值，则∠B 等于（ ） 1 ．60° B．90° ．120° D．135° 【变式2-2】（2022 秋•青田县期末）如图，在⊙中，半径过弦B 的中点E，＝2，E¿ ❑ √2． （1）求弦B 的长； （2）求∠B 的度数． 【变式2-3】（2022 秋•开州区期末）如图，在⊙中，弦B 与半径垂直于点D，连接B、． 点E 为的中点，连接DE． （1）若B＝6，求DE 的长； （2）若∠B＝100°，求∠DE 的度数． 【题型3 利用垂径定理求最值】 【例3】（2022•威海模拟）⊙中，点为弦B 上一点，B＝1，D⊥交⊙于点D，则线段D 的 最大值是（ ） ．1 2 B．1 ．3 2 D．2 【变式3-1】（2022•河北模拟）如图所示，在⊙中，B 为弦，⊥B 交B 于点D．且D＝D． P 为⊙上任意一点，连接P，PB，若⊙的半径为1，则 S△PB的最大值为（ ） 1 ．1 B．2❑ √3 3 ．3 ❑ √3 4 D．3 ❑ √3 2 【变式3-2】（2022 秋•龙凤区校级期末）如图，矩形BD 中，B＝20，D＝15，P，Q 分别 是B，D 边上的动点，PQ＝16，以PQ 为直径的⊙与BD 交于点M，，则M 的最大值为 ． 【变式3-3】（2022 秋•延平区校级期末）在Rt△B 中，∠＝90°，B＝3，＝4，D、E 分别是、 B 上的一点，且DE＝3，若以DE 为直径的圆与斜边B 相交于M、，则M 的最大值为（ ） ．9 10 B．6 5 ．8 5 D．12 5 【题型4 利用垂径定理求取值范围】 【例4】（2022•包河区校级二模）如图，在⊙中，直径B＝10，D⊥B 于点E，D＝8．点F 是弧B 上动点，且与点B、不重合，P 是直径B 上的动点，设m＝P+PF，则m 的取值范 围是（ ） 1 ．8＜m≤4❑ √5 B．4❑ √5＜m≤10 ．8＜m≤10 D．6＜m＜10 【变式4-1】（2022•佛山）如图，⊙的直径为10m，弦B＝8m，P 是弦B 上的一个动点， 求P 的长度范围． 【变式4-2】（2022 秋•盐都区校级月考）如图，点P 是⊙内一定点． （1）过点P 作弦B，使点P 是B 的中点（不写作法，保留作图痕迹）； （2）若⊙的半径为13，P＝5， ①求过点P 的弦的长度m 范围； ②过点P 的弦中，长度为整数的弦有 条． 【变式4-3】（2022 秋•天河区校级期中）已知⊙的半径为5，点到弦B 的距离＝3，点P 是 圆上一动点，设过点P 且与B 平行的直线为l，记直线B 到直线l 的距离为d． （1）求B 的长； （2）如果点P 只有两个时，求d 的取值范围； （3）如果点P 有且只有三个时，求连接这三个点所得到的三角形的面积． 【题型5 利用垂径定理求整点】 【例5】（2022•山海关区一模）已知⊙的直径D＝10，D 与⊙的弦B 垂直，垂足为M，且 1 M＝48，则直径D 上的点（包含端点）与点的距离为整数的点有（ ） ．1 个 B．3 个 ．6 个 D．7 个 【变式5-1】（2022 秋•新昌县期末）如图，B 是⊙的弦，⊥B 于点，连接B，点P 是半径B 上任意一点，连接P，若B＝5，＝3，则P 的长不可能是（ ） ．6 B．7 ．8 D．9 【变式5-2】（2022•桥西区校级模拟）如图，B 是⊙的弦，直径M⊥B 于点，M＝10，B＝ 8，如图以为原点建立坐标系．我们把横纵坐标都是整数的点叫做整数点，则线段长是 3 ，⊙上的整数点有 个． 【变式5-3】（2022 秋•肇东市期末）已知⊙的半径为5，点到弦B 的距离为3，则⊙上到 弦B 所在直线的距离为2 的点有（ ） ．4 个 B．3 个 ．2 个 D．1 个 【题型6 利用垂径定理求面积】 【例6】（2022•武汉模拟）如图，在半径为1 的⊙中有三条弦，它们所对的圆心角分别为 60°，90°，120°，那么以这三条弦长为边长的三角形的面积是（ ） 1 ．❑ √2 B．1 ． ❑ √3 2 D． ❑ √2 2 【变式6-1】（2022 秋•黄州区校级月考）如图，矩形MG 的四个顶点都在⊙上，顺次连接 矩形各边的中点，得到菱形BD，若BD＝12，DF＝4，则菱形BD 的面积为 ． 【变式6-2】（2022 秋•西城区校级期中）如图，B 为⊙直径，过点作D⊥B 于点E，交⊙于 点D，D∥B． （1）求证：E 为D 的中点； （2）若B＝6，求四边形D 的面积． 【变式6-3】（2022•新洲区模拟）如图，点，，D 均在⊙上，点B 在⊙内，且B⊥B 于点 B，B⊥D 于点，若B＝4，B＝8，D＝2，则⊙的面积为（ ） ．125 π 4 B．275 π 4 ．125 π 9 D．275 π 9 【题型7 垂径定理在格点中的运用】 【例7】（2022 秋•襄都区校级期末）如图所示，一圆弧过方格的格点B，试在方格中建立 平面直角坐标系，使点的坐标为（0，4），则该圆弧所在圆的圆心坐标是（ ） 1 ．（﹣1，2） B．（1，﹣1） ．（﹣1，1） D．（2，1） 【变式7-1】（2022 春•海门市期中）如图所示，⊙P 过B、两点，写出⊙P 上的格点坐标． 【变式7-2】（2022•商城县三模）如图所示的格中，每个小正方形的边长均为1，点、B、 均在小正方形的顶点上，点同时也在^ AB上，若点P 是^ BC的一个动点，则△BP 面积的最 大值是 ． 【变式7-3】（2017 秋•靖江市校级月考）如图，在单位长度为1 的正方形格中建立一直角 坐标系，一条圆弧经过格点、B、，请在格图中进行下列操作（以下结果保留根号）： （1）利用格作出该圆弧所在圆的圆心D 点的位置，并写出D 点的坐标为 ； （2）连接D、D，则⊙D 的半径为 ，∠D 的度数 ． 【题型8 垂径定理在坐标系中的运用】 【例8】（2022•博山区一模）如图，在平面直角坐标系中，半径为5 的⊙E 与y 轴交于点 1 （0，﹣2），B（0，4），与x 轴交于，D，则点D 的坐标为（ ） ．(4−2❑ √6，0) B．(−4+2❑ √6，0) ．(−4+❑ √26，0) D．(4−❑ √26，0) 【变式8-1】（2022 秋•西林县期末）如图，⊙P 与y 轴交于点M（0，﹣4），（0，﹣ 10），圆心P 的横坐标为﹣4．则⊙P 的半径为（ ） ．3 B．4 ．5 D．6 【变式8-2】（2022•印江县三模）如图，直线l 为y＝x，过点1（1，0）作1B1⊥x 轴，与直 线l 交于点B1，以原点为圆心，B1长为半径画圆弧交x 轴于点2；再作2B2⊥x 轴，交直线 l 于点B2，以原点为圆心，B2长为半径画圆弧交x 轴于点3；…，按此作法进行下去，则 点2022的坐标为 ． 【变式8-3】（2015•宜春模拟）如图，半径为5 的⊙P 与y 轴交于点M（0，﹣4），（0， ﹣10），函数y＝﹣2x+m 图象过点P，则m＝ ． 1 【题型9 垂径定理与分类讨论中的综合运用】 【例9】（2022 秋•化德县校级期末）⊙的半径为10m，弦B∥D，且B＝12m，D＝16m，则 B 和D 的距离为（ ） ．2m B．14m ．2m 或14m D．10m 或20m 【变式9-1】（2022•包河区二模）已知圆的半径为5，弦B＝8，D 为弦B 上一点，且D＝ 1，过点D 作D⊥B，交圆于，则D 长为（ ） ．1 B．7 ．8 或1 D．7 或1 【变式9-2】（2022 秋•方正县期末）如图，⊙的弦B 与半径垂直，点D 为垂足，D＝D，B ＝2❑ √3，点E 在⊙上，∠E＝30°，则△E 的面积为 ． 【变式9-3】（2022 秋•淮南月考）如图，已知⊙的半径为2．弦B 的长度为2，点是⊙上 一动点，若△B 为等腰三角形，则B2的长为 ． 【题型10 垂径定理的应用】 【例10】（2022 秋•武昌区校级期末）某地有一座圆弧形拱桥，它的跨度（弧所对的弦的 长）24m，拱高（弧的中点到弦的距离）4 米，则求拱桥的半径为（ ） 1 ．16m B．20m ．24m D．28m 【变式10-1】（2022•望城区模拟）《九章算术》是我国古代著名数学经典，其中对勾股定 理的论述比西方早一千多年，其中有这样一个问题：“今有圆材埋在壁中，不知大小． 以锯锯之，深一寸，锯道长一尺．问径几何？”其意为：今有一圆柱形木材，埋在墙壁 中，不知其大小，用锯去锯该材料，锯口深1 寸，锯道长1 尺．如图，已知弦B＝1 尺， 弓形高D＝1 寸，（注：1 尺＝10 寸）问这块圆柱形木材的直径是（ ） ．13 寸 B．65 寸 ．26 寸 D．20 寸 【变式10-2】（2022 秋•西城区校级期中）京西某游乐的摩天轮采用了国内首创的横梁结 构，风格更加简约．如图，摩天轮直径88 米，最高点距离地面100 米，匀速运行一圈 的时间是18 分钟．由于受到周边建筑物的影响，乘客与地面的距离超过34 米时，可视 为最佳观赏位置，在运行的一圈里最佳观赏时长为 分钟． 【变式10-3】（2022•浙江）如图，公内有一个半径为20 米的圆形草坪，，B 是圆上的点， 为圆心，∠B＝120°，从到B 只有路^ AB，一部分市民为走“捷径”，踩坏了花草，走出 了一条小路B．通过计算可知，这些市民其实仅仅少走了 步（假设1 步为05 米， 结果保留整数）．（参考数据：❑ √3≈1732，π 取3142） 1 1