专题23.1 旋转【十大题型】（解析版）

专题231 旋转【十大题型】 【人版】 【题型1 关于原点对称的点的坐标】.....................................................................................................................1 【题型2 利用旋转的性质求角度】.........................................................................................................................3 【题型3 利用旋转的性质求线段长度】................................................................................................................. 6 【题型4 旋转中的坐标与图形变换】...................................................................................................................10 【题型5 作图-旋转变换】......................................................................................................................................14 【题型6 中心对称图形及旋转对称图形】........................................................................................................... 18 【题型7 旋转中的周期性问题】...........................................................................................................................20 【题型8 旋转中的多结论问题】...........................................................................................................................24 【题型9 旋转中的最值问题】...............................................................................................................................30 【题型10 旋转的综合】.......................................................................................................................................... 34 【知识点1 关于原点对称的点的坐标】 在平面直角坐标系中，如果两个点关于原点对称，它们的坐标符号相反，即点p（x,y）关 于原点对称点为（-x,-y）。 【题型1 关于原点对称的点的坐标】 【例1】（2022 春•平阴县期末）点（﹣2，3）与点B（，b）关于坐标原点对称，则+b 的 值为 ﹣ 1 ． 【分析】根据两个点关于原点对称时，它们的坐标符号相反可直接得到答． 【解答】解：∵点（﹣2，3）与点B（，b）关于坐标原点对称， ∴＝2，b＝﹣3， + ∴b＝﹣1， 故答为：﹣1． 【变式1-1】（2022 秋•雨花区期末）若点（m，5）与点B（2，）关于原点对称，则3m+2 的值为 ﹣ 16 ． 【分析】平面直角坐标系中任意一点P（x，y），关于原点的对称点是（﹣x，﹣y）， 记忆方法是结合平面直角坐标系的图形记忆． 【解答】解：∵点（m，5）与点B（2，）关于原点对称， ∴m＝﹣2，＝﹣5， 3 ∴m+2＝﹣6 10 ﹣ ＝﹣16． 故答为：﹣16． 1 【变式1-2】（2022 秋•常熟市期末）已知点P（2m 1 ﹣，﹣m+3）关于原点的对称点在第三 象限，则m 的取值范围是 1 2 ＜m ＜ 3 ． 【分析】根据关于原点对称点的性质可得P 在第一象限，进而可得{ 2m−1＞0 −m+3＞0，再解 不等式组即可． 【解答】解：∵点P（2m 1 ﹣，﹣m+3）关于原点的对称点在第三象限， ∴点P（2m 1 ﹣，﹣m+3）在第一象限， ∴{ 2m−1＞0 −m+3＞0， 解得：1 2 ＜m＜3， 故答为：1 2 ＜m＜3． 【变式1-3】（2022 春•永新县期末）已知点P（3+2，2+1）与点P′关于原点成中心对称， 若点P′在第二象限，且为整数，则关于x 的分式方程2 x−a x+1 =¿3 的解是 x ＝﹣ 2 ． 【分析】根据P 关于原点对称点在第一象限，得到P 横纵坐标都小于0，求出的范围， 确定出的值，代入方程计算即可求出解． 【解答】解：∵P（3+2，2+1）与点P′关于原点成中心对称，若点P′在第二象限，且为 整数， ∴{ 3+2a＞0 2a+1＜0， 解得：−3 2 ＜＜−1 2，即＝﹣1， 当＝﹣1 时，所求方程化为2 x+1 x+1 =3， 解得：x＝﹣2， 经检验x＝﹣2 是分式方程的解， 则方程的解为﹣2． 故答为x＝﹣2 【知识点2 旋转的定义】 在平面内，把一个平面图形绕着平面内某一点转动一个角度，就叫做图形的旋转，点叫做 旋转中心，转动的角叫做旋转角。 我们把旋转中心、旋转角度、旋转方向称为旋转的三要素。 1 【知识点3 旋转的性质】 旋转的特征： （1）对应点到旋转中心的距离相等； （2）对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角； （3）旋转前后的图形全等。 理解以下几点： （1）图形中的每一个点都绕旋转中心旋转了同样大小的角度。 （2）对应点到旋转中心的距离相等，对应线段相等，对应角相等。 （3）图形的大小与形状都没有发生改变，只改变了图形的位置。 【题型2 利用旋转的性质求角度】 【例2】（2022 春•梅州校级期末）如图，点是等边△B 内一点，∠B＝110°，将△B 绕点按顺 时针方向旋转60°得△D，连接D，若D＝D，则∠B 的度数为 140° ． 【分析】设∠B＝α，根据旋转前后图形不发生变化，易证△D 是等边△D，从而利用α 分 别表示出∠D 与∠D，再根据等腰△D 的性质求出α． 【解答】解：设∠B＝α，根据旋转的性质知，△B≌△D，则＝D，∠B＝∠D＝α． 又∵△B 绕点按顺时针方向旋转60°得到△D， ∴∠D＝60°， ∴△D 是等边三角形， ∴∠D＝∠D＝60°， ∵D＝D， ∴∠D＝∠D． ∵∠D＝360° 110° 60° α ﹣ ﹣ ﹣＝190° α ﹣，∠D＝α 60° ﹣ ， 2× ∴ （190° α ﹣）+α 60° ﹣ ＝180°， 解得α＝140°． 故答是：140°． 1 【变式2-1】（2022•南充）如图，将直角三角板B 绕顶点顺时针旋转到△B′′，点B′恰好落 在的延长线上，∠B＝30°，∠＝90°，则∠B′为（ ） ．90° B．60° ．45° D．30° 【分析】利用旋转不变性，三角形内角和定理和平角的意义解答即可． 【解答】解：∵∠B＝30°，∠＝90°， ∴∠B＝180°﹣∠B﹣∠＝60°， ∵将直角三角板B 绕顶点顺时针旋转到△B′′， ′ ∴∠B′＝∠B＝60°． ∵点B′恰好落在的延长线上， ∴∠B′＝180°﹣∠B ′ ﹣∠B′＝60°． 故选：B． 【变式2-2】（2022•天津一模）如图，在△B 中，B＝，∠B＝40°，点D 在边B 上，将△D 绕 点逆时针旋转40°，得到△D'B，且D'，D，三点在同一条直线上，则∠D 的大小为（ ） ．20° B．30° ．40° D．45° 【分析】由旋转的性质可得∠B＝∠BD'＝40°，D＝D'，由等腰三角形的性质可得∠D'D＝ 70°，∠D'＝80°，即可求∠D 的度数． 【解答】解：∵将△D 绕点逆时针旋转40°得到△D′B， ∴∠B＝∠BD'＝40°，D＝D' 1 ∴∠D'D¿ 1 2 ×（180° 40° ﹣ ）＝70°，∠D'＝∠B+∠BD'＝80°， ∴∠D＝180°﹣∠D'D﹣∠D'＝30°； 故选：B． 【变式2-3】（2022•城步县模拟）如图，P 为等边三角形B 内一点，∠PB：∠P：∠PB＝5： 6：7，则以P，PB，P 为三边构成的三角形的三个内角从小到大的度数之比为（ ） ．1：2：3 B．2：3：4 ．3：4：5 D．5：6：7 【分析】将△PB 绕点逆时针旋转60°得△D，显然有△D≌△PB，连PD，则D＝P，∠DP＝ 60°，得到△DP 是等边三角形，PD＝P，所以△DP 的三边长分别为P，PB，P；再由 ∠PB+∠BP+∠P＝360°，∠PB：∠P：∠PB＝5：6：7，得到∠PB＝100°，∠BP＝140°，∠P ＝120°，这样可分别求出∠PD＝∠D﹣∠DP＝∠PB﹣∠DP＝100° 60° ﹣ ＝40°，∠DP＝∠P ﹣∠PD＝120° 60° ﹣ ＝60°，∠PD＝180°﹣（40°+60°）＝80°，即可得到答． 【解答】解：如图，将△PB 绕点逆时针旋转60°得△D， 显然有△D≌△PB，连PD， ∵D＝P，∠DP＝60°， ∴△DP 是等边三角形， ∴PD＝P， ∵D＝PB， ∴△DP 的三边长分别为P，PB，P， ∵∠PB+∠BP+∠P＝360°，∠PB：∠P：∠PB＝5：6：7， ∴∠PB＝100°，∠BP＝140°，∠P＝120°， ∴∠PD＝∠D﹣∠DP＝∠PB﹣∠DP＝100° 60° ﹣ ＝40°， ∠DP＝∠P﹣∠PD＝120° 60° ﹣ ＝60°， ∠PD＝180°﹣（40°+60°）＝80°， 1 ∴以P，PB，P 为三边构成的三角形的三个内角从小到大的度数之比为2：3：4． 故选：B． 【题型3 利用旋转的性质求线段长度】 【例3】（2022 春•仪征市期末）如图，边长为1 的正方形BD 绕点逆时针旋转60°得到正 方形EFG，连接F，则F 的长是（ ） ．1 B．❑ √2 ．❑ √3 D．3 ❑ √2−3 【分析】连接、F，证明△F 为等边三角形，求得便可得出结果． 【解答】解：连接、F， 由旋转性质得，＝F，∠F＝60°， ∴△F 为等边三角形， ∴＝F， ∵¿ ❑ √2 AB=❑ √2， ∴F¿ ❑ √2， 故选：B． 【变式3-1】（2022 春•如皋市期末）如图，在Rt△B 中，∠＝90°，＝3，B＝4．将△B 绕点 逆时针旋转得到△B′′，使点′落在B 边上，连接BB′，则B′B 的长为（ ） 1 ．2❑ √3 B．5 ．2❑ √5 D．6 【分析】根据旋转的性质并利用勾股定理进行求解即可． 【解答】解：∵∠＝90°，＝3，B＝4， ∴根据勾股定理得：B¿ ❑ √A C 2+BC 2= ❑ √3 2+4 2=¿5， 由旋转的性质可知，＝'＝3，B＝B''＝4， ∴B'＝B ' ﹣＝5 3 ﹣＝2， ∴BB'¿ ❑ √B' C 2+BC ' 2= ❑ √4 2+2 2=¿2❑ √5， 故选：． 【变式3-2】（2022•东莞市校级一模）如图，△B 中，∠B＝90°，＝4，B＝8，△B 绕点逆时 针旋转到△′B′处，此时线段′B′与B 的交点E 为B 的中点，则线段B′E 的长度为（ ） ．3❑ √5 B．12❑ √5 5 ．9 ❑ √5 5 D．16 ❑ √5 5 【分析】由勾股定理求出B，由旋转的性质可得＝′，′B′＝B，再求出E，从而得到E ＝′，过点作F ′ ⊥B′于F，由三角形的面积求出F，由勾股定理列式求出EF，再由等腰三 角形三线合一的性质可得′E＝2EF，然后由B′E＝′B′ ′ ﹣E 代入数据计算即可得解． 【解答】解：∵∠B＝90°，＝4，B＝8， ∴B¿ ❑ √A O 2+BO 2= ❑ √4 2+8 2=4 ❑ √5， ∵△B 绕顶点逆时针旋转到△′B′处， ∴＝′＝4，′B′＝B＝4❑ √5， 1 ∵点E 为B 的中点， ∴E¿ 1 2B¿ 1 2 ×8＝4， ∴E＝′＝4， 过点作F ′ ⊥B′于F，如图， S ′ △B′¿ 1 2 ×4❑ √5•F¿ 1 2 ×4×8， 解得：F¿ 8 ❑ √5 5 ， 在Rt△EF 中，EF¿ ❑ √O E 2−O F 2=❑ √4 2−( 8 ❑ √5 5 ) 2= 4 ❑ √5 5 ， ∵E＝′，F ′ ⊥B′， ′ ∴E＝2EF＝2× 4 ❑ √5 5 =8 ❑ √5 5 ， ∴B′E＝′B′ ′ ﹣E¿4 ❑ √5−8 ❑ √5 5 =12❑ √5 5 ． 故选：B． 【变式3-3】（2022 春•和平区期末）如图，△B 与△DE 都是等边三角形，连接D，BE，D ＝4，B＝2，若将△DE 绕点顺时针旋转，当点、、E 在同一条直线上时，线段BE 的长为 （ ） ．2❑ √3 B．2❑ √7 ．❑ √3或❑ √7 D．2❑ √3或2❑ √7 【分析】分两种情况：①当E 在延长线上时，过作M⊥BE 于M，根据△B 与△DE 都是等 边三角形，D＝4，B＝2，可得E＝B，∠EB＝∠BE＝30°，在Rt△BM 中，可得BM¿ ❑ √3， 从而BE＝2BM＝2❑ √3；②当E 在的延长线上时，过B 作B⊥于，在Rt△B 中，¿ 1 2B＝1， 1 B¿ ❑ √3¿ ❑ √3，在Rt△BE 中，BE¿ ❑ √B N 2+N E 2=¿2❑ √7． 【解答】解：①当E 在延长线上时，过作M⊥BE 于M，如图： ∵△B 与△DE 都是等边三角形，D＝4，B＝2， ∴E＝E﹣＝4 2 ﹣＝2，∠B＝60°， ∴E＝B， ∴∠EB＝∠BE＝30°， 在Rt△BM 中， M¿ 1 2B＝1，BM¿ ❑ √3M¿ ❑ √3， ∴BE＝2BM＝2❑ √3； ②当E 在的延长线上时，过B 作B⊥于，如图： 在Rt△B 中， ¿ 1 2B＝1，B¿ ❑ √3¿ ❑ √3， ∴E＝E+＝4+1＝5， 在Rt△BE 中， BE¿ ❑ √B N 2+N E 2= ❑ √(❑ √3) 2+5 2=¿2❑ √7； 综上所述，线段BE 的长为2❑ √3或2❑ √7， 故选：D． 1 【题型4 旋转中的坐标与图形变换】 【例4】（2022 秋•黄石期末）如图，线段B 与线段D 关于点P 对称，若点（，b）、B （5，1）、D（﹣3，﹣1），则点的坐标为（ ） ．（﹣，﹣b） B．（﹣+2，﹣b） ．（﹣﹣1，﹣b+1） D．（﹣+1，﹣b 1 ﹣） 【分析】运用中点坐标公式求答． 【解答】解：设（m，）， ∵线段B 与线段D 关于点P 对称， 点P 为线段、BD 的中点． ∴a+m 2 =5−3 2 ，b+n 2 =1−1 2 ， ∴m＝2﹣，＝﹣b， ∴（2﹣，﹣b）， 故选：B． 【变式4-1】（2022 秋•本溪期末）如图，在△B 中，＝4，B＝6，B＝2❑ √7，将△B 绕原点逆 时针旋转90°，则旋转后点的对应点′的坐标是（ ） ．（﹣4，2） B．（﹣2❑ √3，4） ．（﹣2❑ √3，2） D．（﹣2，2❑ √3） 【分析】如图，过点作⊥B 于，设＝m，则B＝6﹣m，利用勾股定理构建方程求出m， 可得结论． 【解答】解：如图，过点作⊥B 于，设＝m，则B＝6﹣m， 1 ∵2＝2﹣2＝B2﹣B2， 4 ∴ 2﹣m2＝（2❑ √7）2﹣（6﹣m）2， ∴m＝2， ∴¿ ❑ √4 2−2 2=¿2❑ √3， ∴（2，2❑ √3）， ∴将△B 绕原点逆时针旋转90°，则旋转后点的对应点′（﹣2❑ √3，2）， 【变式4-2】（2022 秋•西湖区期末）如图，在平面直角坐标系中，△MP 绕原点逆时针旋转 90°得到△M11P1，若M（1，﹣2），则点M1的坐标为（ ） ．（﹣2，﹣1） B．（1，2） ．（2，1） D．（﹣1，﹣2） 【分析】如图，连接M，M1，过点M 作M⊥y 轴于点，过点M1作M1T⊥x 轴于点T．利 用全等三角形的性质解决问题即可． 【解答】解：如图，连接M，M1，过点M 作M⊥y 轴于点，过点M1 作M1T⊥x 轴于点 T． 1 ∵M（1，﹣2）， ∴M＝1，＝2， ∵∠MM1＝∠PT， ∴∠M＝∠M1T， ∵∠M＝∠M1T＝90°，M＝M1， ∴△M≌△M1T（S）， ∴M＝M1T＝1，＝T＝2， ∴M1（2，1）， 故选：． 【变式4-3】（2022•新抚区模拟）如图，Rt△B 的斜边在y 轴上，B¿ ❑ √3，∠B＝30°，直角顶 点B 在第二象限，将Rt△B 绕原点顺时针旋转120°后得到△′B'，则点的对应点′的坐标是 （ ） ．（❑ √3，﹣1） B．（1，−❑ √3） ．（2，0） D．（❑ √3，0） 【分析】如图，利用含30 度的直角三角形三边的关系得到B＝1，再利用旋转的性质得 到B′＝B¿ ❑ √3，B′′＝B＝1，∠′B′＝∠B＝90°，然后利用第四象限点的坐标特征写出点′的 坐标． 【解答】解：如图， 在Rt△B 中，∵∠B＝30°， ∴B¿ ❑ √3 3 B¿ ❑ √3 3 ×❑ √3=¿1， Rt ∵ △B 绕原点顺时针旋转120°后得到△′B'， ∴B′＝B¿ ❑ √3，B′′＝B＝1，∠′B′＝∠B＝90°， ∴点′的坐标为（❑ √3，﹣1）． 故选：． 1 【知识点4 利用旋转性质作图】 旋转有两条重要性质： （1）任意一对对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角； （2）对应点到旋转中心的距离相等，它就是利用旋转的性质作图的关键。 步骤可分为： ①连：即连接图形中每一个关键点与旋转中心； ②转：即把直线按要求绕旋转中心转过一定角度（作旋转角） ③截：即在角的另一边上截取关键点到旋转中心的距离，的到各点的对应点； ④接：即连接到所连接的各点。 【知识点5 中心对称图形的定义】 把一个图形绕着某一个点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个 图形叫做中心对称图形，这个点就就是它的对称中心。 【知识点6 中心对称的性质】 有以下几点： （1）关于中心对称的两个图形上的对应点的连线都经过对称中心，并且都被对称中心平分；