专题15.3 分式方程【十大题型】（原卷版）

专题153 分式方程【十大题型】 【人版】 【题型1 解分式方程的一般方法】.........................................................................................................................1 【题型2 换元法解分式方程】.................................................................................................................................2 【题型3 裂项法解分式方程】.................................................................................................................................3 【题型4 根据分式方程的解求值】.........................................................................................................................4 【题型5 已知分式方程有解或无解求参数】.........................................................................................................4 【题型6 已知分式方程有增根求参数】................................................................................................................. 5 【题型7 已知分式方程有整数解求参数】............................................................................................................. 5 【题型8 根据分式方程解的取值范围求参数的范围】..........................................................................................6 【题型9 解分式方程的运用（规律问题）】.........................................................................................................6 【题型10 解分式方程的运用（新定义问题）】....................................................................................................8 【知识点1 分式方程】 （1）分式方程：分母中含有未知数的方程 （2）分式方程的解法思路：去分母（乘分母最小公倍数）将分式方程先转化为整式方程， 再按照整式方程的技巧求解方程。 （3）分式方程解方程的步骤： ①利用等式的性质去分母，将分式方程转换为整式方程 ②解整式方程 ③验根--检验整式方程解得的根是否符合分式方程 ④作答 【题型1 解分式方程的一般方法】 【例1】（2022·广东·平洲一中八年级阶段练习）分式方程：1 x -2 +3=4 x -2的解是________ _ 【变式1-1】（2022·广西贵港·八年级期中）解下列分式方程： (1) 2 x x+2− x x−1=1； (2) 1 x+3− 2 3−x = 12 x 2−9 ． 1 【变式1-2】（2022·山东省泰安第十五中学八年级阶段练习）当x =________时，分式x -8 x -7 与分式1 7- x 互为相反数． 【变式1-3】（2022·上海·上外附中七年级期末）解方程：x+5 x+4 + x+2 x+1= x+3 x+2 + x+4 x+3 【知识点2 换元法解分式方程】 换元法：引进新的变量，把一个较复杂的关系转化为简单数量关系 例解方程： 另（x－y）=u，则原方程转换为： 方程转换为了一个比较简洁的形式，再按照二元一次方程组的求法进行求解，以简化计 算。 注：当熟练应用换算法后，可以直接将某个整体式子看成一个未知数，在计算中，不必将 这个整体换元为某个字母，而是直接整体求解。 【题型2 换元法解分式方程】 【例2】（2022·河南·南阳市第十三中学校八年级阶段练习）阅读下面材料，解答后面的问 题： 解方程：x−1 x −4 x x−1=¿0． 解：设y¿ x−1 x ，则原方程化为：y−4 y =¿0，方程两边同时乘以y 得：y2 4 ﹣＝0，解得：y ＝±2，经检验：y＝±2 都是方程y−4 y =¿0 的解， ∴当y＝2 时，x−1 x =¿2，解得x＝﹣1；当y＝﹣2 时，x−1 x =−¿2，解得：x¿ 1 3． 经检验：x＝﹣1 或x¿ 1 3都是原分式方程的解， ∴原分式方程的解为x＝﹣1 或x¿ 1 3． 上述这种解分式方程的方法称为换元法．问题： (1)若在方程x−1 x + x x−1=5 2中，设 ＝y，则原方程可化为 ，原方程的解为 ； (2)模仿上述换元法解方程：x−1 x+2 − 3 x−1−¿1＝0． 1 【变式2-1】（2022·上海复旦五浦汇实验学校八年级期末）用换元法解分式方程 x 2+1 x − x 3(x 2+1) +1=0，如果设x 2+1 x = y，那么原方程化为关于y的整式方程是（ ） ．3 y 2+3 y−1=0 B．3 y 2−3 y−1=0 ．3 y 2−y+1=0 D．3 y 2−y−1=0 【变式2-2】（2022·上海·八年级课时练习）如果16 x 2 −8 x +1=0，那么4 x 的值是（ ） ．1 B．-1 ．±1 D．4 【变式2-3】（2022·上海·九年级专题练习）解方程组：¿ ． 【知识点3 分式的运算技巧-裂项法】 解题技巧：裂项相消法： 【题型3 裂项法解分式方程】 【例3】（2022·山东烟台·八年级期中）观察下面的变形规律： 1 1×2=1 1–1 2 ；1 2×3=1 2 –1 3 ； 1 3×4 =1 3 –1 4 ；…… 解答下面的问题： (1)已知为正整数，结合你的发现，请将 1 n(n+1)写成上面式子形式； (2)说明你（1）中式子的正确性； (3)直接写出1 1×2+ 1 2×3+ 1 3×4 + … + 1 2021×2022的结果； (4)类比你发现的规律，解关于（为正整数）的分式方程： 1 1×3 + 1 3×5 + 1 5×7 +⋅⋅⋅+ 1 (2n−1)(2n+1)= n+100 2n+202． 【变式3-1】（2022·山东·济南市天桥区泺口实验学校八年级阶段练习）观察下面的变形规 律：1 1×2=1−1 2 , 1 2×3=1 2−1 3 , 1 3×4 =1 3−1 4 , 1 4×5= 1 4 −1 5，…，回答问题：若 1 ( x+1)×( x+2)+ 1 ( x+2)×( x+3)+ 1 ( x+3)×( x+4)+…+ 1 ( x+99)×( x+100)＝ 1 x+100，则 x 的值为 _____． 【变式3-2】（2022·江苏·镇江市江南学校八年级阶段练习）观察下列算式： 1 6= 1 2×3=1 2−1 3 , 1 12= 1 3×4 =1 3−1 4 , 1 20= 1 4×5= 1 4 −1 5 ....... 1 (1)由此可推断：1 42=___； (2)请用含字母m(m 为正整数)的等式表示(1)中的一般规律___； (3)仿照以上方法解方程： 3 ( x−1)( x−4)= 1 x -1 【变式3-3】（2022·湖南·岳阳市第十九中学八年级阶段练习）阅读理解并回答问题．观察 下列算式： 1 6= 1 2×3=1 2−1 3 1 12= 1 3×4 =1 3−1 4 1 20= 1 4×5= 1 4 −1 5 …… (1)填空：1 42＝ ＝ ； (2)请用含有m（m 表示整数）的代数式表示上述式子特点的一般规律： ． (3)请用（2）中的规律解方程： 1 x( x+1)+ 1 ( x+1)( x+2)+⋯+ 1 ( x+9)( x+10)= 1 ( x+10)． 【知识点4 根据分式方程解的情况求待定系数值或取值范围】 （1）方程无解，即方程的根为增根； （2）方程的解为正值，先求解出含有字母的方程根，令这个根＞0，求解出字母取值范围； （3）方程的解为负值，先求解出含有字母的方程根，令这个根＜0，求解出字母取值范围 【题型4 根据分式方程的解求值】 【例4】（2022·河北·南皮县桂和中学八年级阶段练习）若关于x的方程2ax a−x =8 3的解为 x=1，则a等于（ ） ．−1 B．1 ．4 D．8 【变式4-1】（2022·湖南·溆浦县圣达学校八年级期中）已知关于x的方程3 x−1= x+a x (x−1) 的增根是x=1，则字母的值为（ ） ．1 B．−1 ．2 D．−2 【变式4-2】（2022·北京市第九中学八年级期中）若x=4是关于x的方程2 x−m x−3 =3的解， 则m的值为________． 【变式4-3】（2022·全国·八年级专题练习）若关于x 的方程ax x+1 + 3 x+1 + 3 x =2有增根 1 x=−1，则2a−3的值为（ ） ．2 B．3 ．4 D．6 【题型5 已知分式方程有解或无解求参数】 【例5】（2022·黑龙江黑龙江·三模）关于x 的分式方程1−ax x−2 +2= 1 2−x 有解，则的取值 范围是________． 【变式5-1】（2022·湖南·八年级单元测试）若关于x 的分式方程1 x−2 + x+m x 2−4 = 3 x+2无解， 则m 的值为( ) ．-6 B．-10 ．0 或-6 D．-6 或-10 【变式5-2】（2022·河北·邢台市第六中学八年级阶段练习）已知关于x 的分式方程 x x−2 + 2m 2−x =3m无解，则m 的值是（ ） ．1 或1 3 B．1 或3 ．1 3 D．1 【变式5-3】（2022·重庆·二模）若关于x 的不等式组¿有且只有两个奇数解，且关于y 的分 式方程my−4 y−2 =2−3 y−2 2−y 有解，则所有满足条件的整数m 的和是（ ） ．7 B．10 ．13 D．21 【知识点5 增根的讨论】 方程有增根，则这个根使得分式的分母为0 利用这个条件，我们可以先求解出增根的情况， 在根据题意求解出其他字母的值。 【题型6 已知分式方程有增根求参数】 【例6】（2022·湖南·永州市冷水滩区京华中学八年级期中）如果方程5 x−4 2 x−4 = 2 x+k 3 x−6有增 根，则k 是 _______________． 【变式6-1】（2022·浙江宁波·七年级期末）用去分母的方法解关于x的分式方程 2−x x−3= a 3−x −2时会产生增根，则a的值是__________． 【变式6-2】（2022·江西省石城二中九年级阶段练习）解关于x 的方程x x -1−k x 2-1 = x x+1 不会产生增根，则k 的值是（ ） ．2 B．1 ．k ≠2且k ≠-2 D．无法确定 【变式6-3】（2022·全国·八年级）若关于x 的方程 m x 2−9 + 2 x+3= 1 x−3有增根，则增根是 多少？并求方程产生增根时m 的值． 1 【题型7 已知分式方程有整数解求参数】 【例7】（2022·重庆·四川外国语大学附属外国语学校九年级期中）若关于x 的不等式组¿， 有且仅有四个整数解，且使关于y 的分成方程a y+2=2 y−1 y+2 +1有整数解，则所有满足条 件的整数的值之和是（ ） ．−2 B．3 ．5 D．10 【变式7-1】（2022·安徽·九年级专题练习）若整数使关于x 的分式方程8−ax 2−x ﹣2＝ x x−2 有整数解，则符合条件的所有之和为（ ） ．7 B．11 ．12 D．13 【变式7-2】（2022·重庆一中八年级阶段练习）关于x 的不等式组¿有解且至多有4 个整数 解，关于y 的分式方程3 y+15 3−y + 2ay y−3=2的解为整数，则所有满足条件的整数的和为 （ ） ．4 B．8 ．11 D．15 【变式7-3】（2022·全国·八年级专题练习）若关于x的不等式组{ x−3( x−2)>−2 a+x 2 <x 有解， 关于y的分式方程ay−1 4−y + 3 y−4 =−2有整数解，则符合条件的所有整数a的和为（ ） ．0 B．1 ．2 D．5 【题型8 根据分式方程解的取值范围求参数的范围】 【例8】（2022·重庆一中九年级阶段练习）若关于x 的不等式组¿有解，且关于y 的方程 2a y−3=4−y−a 3−y 的解是正数，则所有满足条件的整数的值之和是（ ） ．﹣8 B．﹣4 ．﹣3 D．﹣1 【变式8-1】（2022·山东·龙口市学研究室八年级期中）若关于x 的分式方程 2 x+m= 3 x+3 有负数解，则m 的取值范围为______． 【变式8-2】（2022·江苏宿迁·八年级阶段练习）关于x 的方程x−1 x−3=2+ k x−3的解大于 1，则k 的取值范围为_____________． 【变式8-3】（2022·山东济南·八年级期中）若关于x的分式方程x+a x−2 + 2a 2−x =5的解是非 负整数解，且a满足不等式a+2>1，则所有满足条件的整数a的值之和是（ ） ．18 B．16 ．12 D．6 1 【题型9 解分式方程的运用（规律问题）】 【例9】（2022·山东聊城·八年级期末）已知：①x+2 x ＝3 可转化为x+1×2 x ＝1+2，解得x1 ＝1，x2＝2， ②x+6 x ＝5 可转化为x+2×3 x ＝2+3，解得x1＝2，x2＝3， ③x+12 x ＝7 可转化为x+3×4 x ＝3+4，解得x1＝3，x2＝4，…… 根据以上规律，关于x 的方程x+n 2+n x−3 ＝2+4 的解为_____． 【变式9-1】（2022·湖南·岳阳市第十九中学八年级阶段练习）解方程 ①1 x+1= 2 x+1−1的解是x=¿0； ②2 x+1= 4 x+1−1的解是x=¿1； ③3 x+1= 6 x+1−1的解是x=¿ ； ④4 x+1= 8 x+1−1的解是x=¿ ； （1）请完成上面的填空； （2）根据你发现的规律直接写出第⑤个方程和它的解； （3）请你用一个含正整数的式子表述上述规律，并写出它的解． 【变式9-2】（2022·江苏无锡·八年级期中）阅读下列材料： 方程1 x+1−1 x = 1 x−2− 1 x−3的解为x=1， 方程1 x − 1 x−1= 1 x−3− 1 x−4 的解为x=2， 方程1 x−1− 1 x−2= 1 x−4 − 1 x−5的解为x=3， (1)请直接写出方程 1 x−4 − 1 x−5= 1 x−7 − 1 x−8的解为________； (2)观察上述方程与解的特征，写出一个解为−5的分式方程：________； (3)观察上述议程与解的特征，写出能反映上述方程一般规律的方程，并直接写出这个方程 的解：________；________． 【变式9-3】（2022·四川遂宁·八年级期末）先阅读下面的材料，然后解答问题． 通过计算，发现：方程x+ 1 x =2+ 1 2的解为x1＝2，x2=1 2； 1 方程x+ 1 x =3+ 1 3的解为x1＝3，x2=1 3； 方程x+ 1 x =4+ 1 4 的解为x1＝4，x2= 1 4 ；… (1)观察猜想：关于x 的方程x+ 1 x =n+ 1 n的解是 ； (2)利用你猜想的结论，解关于x 的方程x+ 1 x−3=a+ 1 a−3； (3)实践运用：对关于x 的方程x−1 x =m−1 m的解，小明观察得“x1=m”是该方程的一个 解，则方程的另一个解x2= ，请利用上面的规律，求关于x 的方程 x 2−x−1 x−1 =m− 1 m−1的解． 【题型10 解分式方程的运用（新定义问题）】 【例10】（2022·辽宁大连·八年级期末）当a≠b时，定义一种新运算：F(a,b)=¿，例如： F(3,1)= 2 3−1=1，F(−1,4)= 2×4 4−(−1)=8 5． （1）直接写出F(a+1,a)=¿_______________； （2）若F(m,2)−F(2,m)=1，求出m 的值． 【变式10-1】（2022·广西·北海市实验学校八年级期中）对于非零的两个有理数，b，规定 a⊕b＝1 b−1 a，若2⊕(2 x−1)＝0，则x 的值为（ ） ．5 6 B．5 4 ．3 2 D．−1 6 【变式10-2】（2022·全国·七年级专题练习）定义新运算：对于任意实数，b(其中≠0)，都 有*b＝1 a−a−b a ，等式右边是通常的加法、减法及除法运算，比如：2*1＝1 2−2−1 2 ＝0 (1)求5*4 的值； (2)若x*2＝1(其中x≠0)，求x 的值． 【变式10-3】（2022·江苏扬州·八年级期中）“程，课程也，二物者二程，三物者三程， 皆如物数程之，并列为行，故谓之方程．”这是我国古代著名数学家刘徽在《九章算术 》对方程一词给出的注释．对于一些特殊的方程，我们给出两个定义：①若两个方程有相 同的一个解，则称这两个方程为“相似方程”，②若两个方程有相同的整数解，则称这两 个方程为“相伴方程”． （1）判断一元一次方程3−2 (1−x )=4 x与分式方程2 x +1 2 x−1−1= 4 4 x 2−1是否是“相似方 1 程”，并说明理由； （2）已知关于x，y的二元一次方程y =mx +6与y = x +4 m是“相伴方程”，求正整数m 的值 1