专题06 平行四边形中的几何综合问题（教师版）

专题06 平行四边形中的几何综合问题 类型一、平行四边形的折叠问题 例．如图，将平行四边形BD 沿对角线折叠，使点B 落在点 处，若 ， 为 ( ) ．36° B．144° ．108° D．126° 【答】D 【详解】解：∵四边形BD 是平行四边形， ∴B∥D， ∴∠D=∠B， 由折叠的性质得：∠B=∠B′， ∴∠B=∠D=∠B′= 1=18° ∠ ， ∴∠B=180°- 2- ∠ ∠B=180°-36°-18°=126°； 故选D． 【变式训练1】如图，在平行四边形纸片BD 中，对角线与BD 相交于点E，∠EB＝45°， BD＝4，将纸片沿对角线对折，使得点B 落在点B′的位置，连接DB'，则DB'的长为( ) ．2 B．2 ．4 D．15 【答】 【详解】解：∵四边形BD 是平行四边形，∴ ， 由折叠的性质可知： ， ， ∴ ，∴ ， ∴在直角三角形 中 ，故选． 【变式训练2】如图，在平行四边形BD 中， ，E 为B 上一点，连接E，将 沿E 翻折得到 ， 交于点G，若 ， ，则G 的长度为______． 【答】 【详解】如图，过点F 作 交于点， ∵平行四边形BD，∴ ， ∵ ，∴设 ，∴ ， ∵ ，∴ ，∴ ， ∵ 沿E 翻折得到 ，∴ ， ， ∴ ，∴ 是等腰直角三角形， ∴ ，即 ，解得： ，∴ ，∴ ， 在 中， ， ∴ ，即 ．故答为： ． 【变式训练3】如图，在平行四边形BD 中，E 为边D 上的一个点，将△DE 沿E 折叠至 △D′E 处，D′与E 交于点F，若∠B＝50°，∠DE＝20°，则∠FED′的大小为 ______． 【答】40° 【详解】解：∵四边形BD 是平行四边形，∴∠B＝∠D＝50°， ∵∠DE＝20°，∴∠E＝∠D+∠DE＝50°+20°＝70°，∴∠ED＝180° 70° ﹣ ＝110°， ∵将△DE 沿E 折叠至△D′E 处，∴∠ED＝∠ED′＝110°， ∴∠FED′＝∠ED′ ∠ ﹣ E＝110° 70° ﹣ ＝40°， 故答为：40°． 类型二、平行四边形中的最值问题 例．如图，平行四边形BD，∠BD=120°，B=2，B=4，点E 是直线B 上的点，点F 是直线D 上的点，连接F，E，EF，点M，分别是F，EF 的中点．连接M，则M 的最小值为( ) ．1 B． ． D． 【答】 【详解】解：∵M 为F 中点，为FE 中点，∴M 为△EF 的中位线，∴M= ∴E 最小时，M 最小， ∵点E 在直线B 上，根据点到直线B 的距离最短， ∴E⊥B 时E 最短， ∵在平行四边形BD 中，∠BD=120°，∴∠B+∠BD=180°， ∴∠B=180°-∠BD=180°-120°=60°，∴∠BE=180°-∠BE-∠EB=180°-60°-90°=30°， 在Rt△BE 中，∠BE=30°，B=2，∴BE= ， 根据勾股定理E 最小值= ,∴M= ． 故选择． 【变式训练1】如图，四边形BD 中，∠=60°，D=2，B=3，点M，分别为线段B，B 上的动 点(含端点，但点M 不与点B 重合)，点E，F 分别为DM，M 的中点，则EF 长度的最大值 为( ) ． B． ． D． 【答】 【详解】解：∵ED=EM，MF=F， ∴EF= D， ∴D 最大时，EF 最大，∴与B 重合时D=DB 最大， 在Rt△D 中， ∵∠=60° ， =2× ∴ =1，D= ，∴B=B =3 1=2 ﹣ ﹣ ， ∴DB= ， ∴EFmx= DB= ， ∴EF 的最大值为 ．故选 【变式训练2】如图，在平行四边形BD 中，∠B＝60°，D＝8，B＝4，点、G 分别是边D、 B 上的动点，其中点不与点重合．连接、G，点E 为的中点，点F 为G 的中点，连接EF， 则EF 的最大值与最小值的差为 _____________． 【答】 【详解】解：如图，取D 的中点M，连接M、G、，作⊥B 于， ∵四边形BD 是平行四边形，∠B＝60°，B＝4， ∴∠D＝∠B＝60°，B＝D＝4， ∵D＝8， ∴M＝DM＝D＝4， ∴△DM 是等边三角形， ∴∠DM＝∠MD＝60°，M＝DM＝M， ∴∠M＝∠M＝30°， ∴∠D＝90°， ∴＝4 ， 在Rt△中，∵＝4 ，∠＝∠D＝30°， ∴＝ ＝2 ， ∵E＝E，GF＝F， ∴EF＝ G， ∵G 的最大值为的长，最小值为的长， ∴G 的最大值为4 ，最小值为2 ， ∴EF 的最大值为2 ，最小值为 ， ∴EF 的最大值与最小值的差为 ． 【变式训练3】如图，在 中， ， ， ， 为 上的两个 动点，且 ，则 的最小值是________． 【答】 【详解】解：过点作D//B，且D＝M，连接MD， 则四边形DM 是平行四边形，∴MD＝，D＝M， 作点关于B 的对称点′，连接 ′交B 于点，连接′M，则M＝′M， ∴M＋＝′M＋DM，∴三点D、M、′共线时，′M＋DM 最小为′D 的长， ∵D//B，⊥B，∴∠D ＝90°， ∵ ， ，∴B＝ ，B＝＝＝ ，∴ ， 在Rt△D 中，由勾股定理得： D＝ ∴ 的最小是值为： ， 故答为： 【变式训练4】如图，在▱BD 中，点E 是对角线上一点，过点E 作的垂线，交边D 于点 P，交边B 于点Q，连接P、Q，若＝6，PQ＝4，则P＋Q 的最小值为________________． 【答】 【详解】过点作 且 ，连接MP， ∴四边形 是平行四边形，∴ ， 将 的最小值转化为 的最小值，当M、P、三点共线时， 的最小， ∵ ， ，∴ ， 在 中， ；故答是： ． 类型三、动点问题 例．在四边形BD 中，D∥B，B⊥D，B＝10m，M 是B 上一点，且BM=4m，点E 从出发以 1m/s 的速度向D 运动，点F 从点B 出发以2m/s 的速度向点运动，当其中一点到达终点， 而另一点也随之停止，设运动时间为t，当t 的值为_____时，以、M、E、F 为顶点的四边 形是平行四边形． 【答】4s 或 s 【详解】解：①当点F 在线段BM 上，即0≤t＜2，以、M、E、F 为顶点的四边形是平行 四边形， 则有t＝4﹣2t，解得t＝ ， ②当F 在线段M 上，即2≤t≤5，以、M、E、F 为顶点的四边形是平行四边形， 则有t＝2t﹣4，解得t＝4， 综上所述，t＝4 或 ，以、M、E、F 为顶点的四边形是平行四边形，故答为：4s 或 s． 【变式训练1】如图，在四边形 中， ，且 ，点P，Q 分 别从，两点同时出发，点P 以 的速度由向D 运动，点Q 以 的速度由向运动B， 则_____秒后四边形 成为一个平行四边形． 【答】2 【详解】解：如图，设t 秒后，四边形PQB 为平行四边形，则P=t，Q=2t，BQ=6-2t， ∵D∥B，∴P∥BQ， 当P=BQ 时，四边形BQP 是平行四边形，∴t=6-2t，∴t=2， 当t=2 时，P=BQ=2＜B＜D，符合． 综上所述，2 秒后四边形BQP 是平行四边形． 故答为：2． 【变式训练2】如图，在四边形 中， ．点P 从点出发，以 的速度向点 D 运动；点Q 从点同时出发，以 的速度向点B 运动，规定其中一个动点到达端点时， 另一个动点也随之停止运动．从运动开始，使 和 ，分别需经过多少时间？ 为什么？ 【答】分别需经过 ； 或 ．理由见解析． 【详解】解：①设经过 ， ， 此时四边形 成为平行四边形， ∵ ，∴ ，解得 ，∴当 s 时， 且PQ=D ②设经过 ， ， 如图所示，分别过点P，D 作B 边的垂线PE，DF，垂足分别为E，F，当F=EQ 时，四边 形PQD 为梯形(腰相等)或平行四边形， ∵ ，∴四边形BFD 是矩形，∴D=BF， ∵D=24m，B=26m，∴ (m)， 当四边形PQD 为梯形(腰相等)时， ， ∴ ，解得 ，∴当 s 时，PQ=D， 当四边形 为平行四边形或梯形(腰相等)，为平行四边形时有 s，PQ=D， 综上所述，当 s 时， ；当 s 或 s 时，PQ=D． 课后训练 1．如图，三角形纸片B，点D 是B 边上一点，连结D，把 沿着D 翻折，得到 ，DE 与交于点F．若点F 是DE 的中点， ， ， 的面积为9， 则点F 到B 的距离为( ) ．14 B．24 ．36 D．48 【答】B 【详解】如图，连接BE，交D 于点．过点E 作 于点，点F 作 于点G， 由翻折可知B=E， ，BD=DE， 又∵=，∴ ，∴B=E， ，∴ ． ∵点F 是DE 的中点，EF=25，∴DF=EF=25，BD=DE=5，∴ 和 等底同高∴ ． ∵ ，∴ ，解得： ．∴在 中， ， ∵ ．∴ ． 又∵ ，∴ ，解得： ． ∵点F 是DE 的中点， ， ，∴FG 为 中位线， ． 故选B． 2．如图，在△B 中，=B=8，∠B=60°，直线D⊥B 于点D，E 是D 上的一个动点，连接E， 将线段E 绕点按逆时针方向旋转60°得到F，连接DF，则在点E 的运动过程中，DF 的最小 值是( ) ．1 B．15 ．2 D．4 【答】 【详解】解：取线段的中点G，连接EG，如图所示． = ∵B=8，∠B=60°，∴△B 为等边三角形，且D 为△B 的对称轴， ∴D=G= B=4，∠D=60°， ∵∠EF=60°，∴∠FD=∠EG， 在△FD 和△EG 中， ，∴△FD≌△EG(SS)，∴DF=GE． 当EG∥B 时，EG 最小， ∵点G 为的中点，∴此时EG=DF= D= B=2．故选：． 3．如图，四边形 是平行四边形， ， ，点 在 上，且 ，点 为边 上的一动点，连接 ， ，将 沿直线 翻折，点 的 对应点为点 ，连接 ，若点 ，点 ，点 在同条直线上，则 的值为______． 【答】 【详解】解：在平行四边形 中， ， 设 ， ， ， ， ，由翻折可得， ， ， ， 过点 任 于 ， ， ， ， ， ， 设 ，过 作 于 ，则 ， ， 在直角三角形 中， ， ， ， ， ， 延长 、 交于点 ， ， ， ， ， ， ， ．故答为： ． 4．如图，在 中， ， ， ，点 为 上任意一点，连接 ，以 、 为邻边作 ，连接 ，则 的最小值为______． 【答】 【详解】解：∵∠B=90°，∠B=60°，B=1，∴B=2B=2，= ， ∵四边形PQ 是平行四边形，∴P=Q，== ， ∵PQ 最短也就是P 最短，∴过作B 的垂线P′， 当P 与P'重合时，P 的值才是最小，∴则PQ 的最小值为2P =2× ′ = ， 故答为： ． 5．如图，△B 中，D 是B 边上任意一点，F 是中点，过点作E B 交DF 的延长线于点E， 连接E，D． (1)求证：四边形DE 是平行四边形； (2)若∠B＝30°，∠B＝45°， ，求B 的长． 【答】(1)见解析(2) 【解析】(1)证明：∵B E， ∴∠D＝∠E，∠DE＝∠ED． ∵F 是中点，∴F＝F． 在△FD 与△FE 中， ，∴△FD≌△FE(S)，∴DF＝EF， ∴四边形DE 是平行四边形； (2)解：过点作G⊥B 于点G， ∵∠B＝45°，∴ ，在△G 中，∠G＝90°，∴ ， ∵ ，∴G＝G＝ ， ∵∠B＝30°,∴ ,∴ , 在Rt△BG 中， ，∴ ． 6．已知∠M＝90°，点是射线上的一个定点，点B 是射线M 上的一个动点，点在线段的延 长线上，且＝B． (1)如图1，D B，D＝，连接D，BD． ① ； ②若＝2，B＝3，则BD＝ ； (2)如图2，在射线M 上截取线段BE，使BE＝，连接E，当点B 在射线M 上运动时，求∠B 和∠E 的数量关系； (3)如图3，当E 为B 中点时，平面内一动点F 满足F=，作等腰直角三角形FQ，且FQ=F， 当线段Q 取得最大值时，直接写出 的值． 【答】(1)△D； ；(2)∠B+∠E=45°，理由见解析；(3) 【解析】(1)解：①∵D∥B，∴∠D=∠B=90°， 又∵B=，=D，∴△B≌△D(SS)；故答为：△D； ②如图所示，过点D 作DR⊥B 交B 延长线于R， 由①可知△B≌△D，∴D==2，=B=3， ∵⊥B，DR⊥B，D∥B，∴DR==+=5(平行线间距离相等)， 同理可得R=D=3，∴BR=B+R=5，∴ ；故答为： ； (2)解：∠B+∠E=45°，理由如下： 如图所示，过点作⊥，使得=，连接，B， 在△B 和△中， ， ∴△B ( ≌△SS)，∴B=，∠B=∠， ∵∠B=90°，∴∠B+∠B=90°，∴∠B+ =90° ∠ ，∴∠B=90°， 又∵B=，∴∠B=∠B=45°， ∵BE⊥，⊥，∴BE∥， 又∵BE==，∴四边形BE 是平行四边形， ∴B∥E，∴∠=∠B=45°， = + ∵∠∠∠，∴∠B+∠E=45°； (3)解：如图3-1 所示，连接F，∴ ， ∴如图3-2 所示，当、F、Q 三点共线时，Q 有最大值， ∵E 是B 的中点，BE=，∴BE=E=，∴B==2， ∵△FQ 是等腰直角三角形，F=QF，∴∠FQ=∠F=90°， ∴ ，∴ ，∴ ．