专题07 特殊平行四边形中的动点与最值问题（教师版）

专题07 特殊平行四边形中的动点与最值问 题 类型一、最值问题 例．如图，在正方形BD 中，B=8，与BD 交于点，是的中点，点M 在B 边上，且BM=6． P 为对角线BD 上一点，则PM﹣P 的最大值为( ) ．2 B．3 ． D． 【答】 【详解】解：如图所示，以BD 为对称轴作的对称点’，连接M′并延长交BD 于P，连P， 根据轴对称性质可知，P=P'，∴PM﹣P=PM﹣P'≤M'， 当P，M，'三点共线时，取“=”， ∵正方形边长为8，∴ ， ∵为中点，∴ ， ∵为中点，∴ ，∴ ，∴ ， ∵BM=6，∴M=B-BM=8-6=2，∴ ， ∴ ，∠M’=90°， ' ∵∠M=45°， ' ∴△M 为等腰直角三角形， ∴M=M'=2， 即PM-P 的最大值为2， 故选：． 【变式训练1】如图，菱形BD 的边长为9，面积为18 ，P、E 分别为线段BD、B 上的 动点，则PE+P 的最小值为___． 【答】2 【详解】解：如图，连接P，过点作⊥B 于． ∵四边形BD 是菱形，∴、关于BD 对称，∴P=P，∴PE+P=P+PE， ∵P+PE≥，∵S 菱形BD=B•， = ∴ ，∴PE+P≥2 ，∴PE+P 的最小值为2 ， 故答为：2 ． 【变式训练2】如图，正方形BD 是边长为2，点E、F 是D 边上的两个动点，且E=DF， 连接BE、F，BE 与对角线交于点G，连接DG 交F 于点，连接B，则B 的最小值为_______． 【答】 【详解】∵BD 是正方形，∴△DG≌△BG，∴∠DG =∠BG ∵B=D，E=DF，∠BE=∠DF，∴△BE≌△DF ∴∠BE =∠DF，∴∠DG=∠DF， ∵∠D+∠DG=90°，∴∠D+∠DF=90°，∴∠D=90°， ∴点是以D 为直径的⊙上一点． 当B、、共线时，B 最小B= ， ∴B 的最小值为 -1，故答为： -1． 【变式训练3】如图，长方形BD 中， ， ，E 为B 上一点，且 ，F 为B 边上的一个动点，连接EF，将EF 绕着点E 顺时针旋转30°到EG 的位置，连接FG 和G， 则G 的最小值为______． 【答】 【详解】解：如图，将线段BE 绕点E 顺时针旋转30°得到线段ET，连接GT，过E 作 ，垂足为， ∵四边形BD 是矩形，∴B=D=6，∠B=∠BD=90°， ∵∠BET=∠FEG=30°，∴∠BEF=∠TEG， 在△EBF 和△TEG 中， ，∴△EBF≌△ETG(SS)，∴∠B=∠ETG=90°， ∴点G 的在射线TG 上运动，∴当G⊥TG 时，G 的值最小， ∵∠EG=∠ETG=∠GT=90°，∴四边形ETG 是矩形，∴∠ET=90°,G=TE=BE=2， ∵∠BET =30°，∴∠E=180°-∠ET-∠BET=60°， ∵ ，∴ , ∴G=+G= ∴G 的最小值为 故答为： 【变式训练4】如图，在边长为2 的正方形 中，点 ， 分别在边 ， 上，且 ，连接 、 交于点 ，连接 ，则线段 的最小值为 __． 【答】 【详解】解：如图， 四边形 是正方形， ， ， ， 在 和 中， ， ， ， ， ， ， 点 在运动中保持 ， 点 的路径是一段以 为直径的弧， 设 的中点为 ，连接 交弧于点 ，此时 的长度最小， 在 中， ， ， ，即线段 的最小值为 ， 故答为： ． 类型二、动点问题 例．如图，已知在正方形BD 中， 厘米， ，点E 在边B 上，且 厘米，如果点P 在线段B 上以2 厘 米/秒的速度由B 点向点运动，同时，点Q 在线段D 上以厘米/秒的速度由点向D 点运动， 设运动时间为t 秒．若存在与t 的值，使 与 全等时，则t 的值为( ) ．2 B．2 或15 ．25 D．25 或2 【答】D 【详解】解：当 ，即点Q 的运动速度与点P 的运动速度都是2 厘米/秒，若 △BPE≌△QP，则BP=Q，BE=P，∵B=B=10 厘米，E=4 厘米，∴BE=P=6 厘米， ∴BP=10-6=4 厘米，∴运动时间t=4÷2=2(秒)； 当 ，即点Q 的运动速度与点P 的运动速度不相等，∴BP≠Q， ∵∠B= =90° ∠ ， ∴要使△BPE 与△QP 全等，只要BP=P=5 厘米，Q=BE=6 厘米，即可． ∴点P，Q 运动的时间t= (秒)综上t 的值为25 或2 故选：D． 【变式训练1】如图，在 中， ， ， ，点P 从点出发 沿方向以2m/s 的速度向点匀速运动，同时点Q 从点出发沿B 方向以1m/s 的速度向点B 匀 速运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动，过点P 作 于点 D，连接PQ、QD，设点P 运动的时间为ts． (1)求证：四边形PQD 是平行四边形； (2)当四边形PQD 成为菱形时，求出相应的t 的值； 【答】(1)见解析；(2) ； 【解析】解：(1)证明：由题意， ， ∵ ， ∴ ，∴ ∵ ， ，∴ 。∴四边形PQD 是平行四边形 (2)解：四边形PQD 是菱形，则 ∵ ， ，∴ ，∴ ，∴ ∴当四边形PQD 是菱形时， 【变式训练2】如图，在矩形 中， ， ．点 从点 出发向点 运动，运动到点 即停止；同时，点 从点 出发向点 运动，运动到点 即停止，点 ， 的速度都是 ．连接 ， ， ，设点 ， 运动的时间为 ． (1)当为何值时，四边形 是矩形？ (2)当为何值时，四边形 是菱形？ (3)分别求出(2)中菱形 的周长和面积 【答】(1)当 时，四边形 为矩形；(2)当 时，四边形 为菱形；(3)周长 15 ，面积 【详解】解：(1)由已知可得， ， ， 在矩形 中， ， ， 当 时，四边形 为矩形， ，得 ， 故当 时，四边形 为矩形． (2)由(1)可知， ， 四边形 为平行四边形， 当 时，四边形 为菱形， 即 时，四边形 为菱形，解得 ，故当 时，四边形 为菱形， (3)当 时， ， ， 则周长为： ，面积为： ． 课后训练 1．如图，在正方形BD 中，B＝4，E 为对角线上与，不重合的一个动点，过点E 作EF⊥B 于点F，EG⊥B 于点G，连接DE，FG，下列结论：①DE＝FG；②DE⊥FG；③∠BFG＝ ∠DE；④FG 的最小值为3．其中正确结论的序号为__． 【答】①②③ 【详解】解：①连接BE，交FG 于点，如图， ∵EF⊥B，EG⊥B，∴∠EFB＝∠EGB＝90°． ∵∠B＝90°，∴四边形EFBG 为矩形．∴FG＝BE，B＝F＝E＝G． ∵四边形BD 为正方形，∴B＝D，∠B＝∠D＝45°． 在△BE 和△DE 中， ， ∴△BE≌△DE(SS)．∴BE＝DE．∴DE＝FG．∴①正确； ②延长DE，交FG 于M，交FB 于点， ∵△BE≌△DE，∴∠BE＝∠DE． 由①知：B＝F，∴∠FB＝∠BE．∴∠FB＝∠DE． ∵∠BD＝90°，∴∠DE+∠D＝90°． ∴∠FB+∠D＝90°．即：∠FM＝90°，∴DE⊥FG．∴②正确； ③由②知：∠FB＝∠DE．即：∠BFG＝∠DE．∴③正确； ④∵点E 为上一动点，∴根据垂线段最短，当DE⊥时，DE 最小． ∵D＝D＝4，∠D＝90°，∴＝ ＝4 ．∴DE＝ ＝2 ． 由①知：FG＝DE，∴FG 的最小值为2 ，∴④错误． 综上，正确的结论为：①②③． 故答为：①②③． 2．如图1，在菱形 中， ， ，点 从 开始，以每秒1 个单位的速 度向点 运动；点 从 出发，沿 方向，以每秒2 个单位的速度向点 运动， 若 、 同时出发，其中一点到达终点时，另一个点也随之停止运动．设运动的时间为 秒，过点 作 ，交 于点 ． (1)当 时，求线段 的长； (2)设 的面积为，直接写出与的函数关系式及的取值范围； (3)在点 、 运动过程中，是否存在值，使得 为等腰三角形？若存在，请求出 的值；若不存在，请说明理由． 【答】(1) ；(2) 时， ； 时， ；(3)存 在， 或 或 【详解】解：(1)当 时， ， ∵菱形 中，有 ， ， ∴ ，∴ ， ∵ ，∴在 中， ，即 ； (2)连接 ，与 交于点 ， 由题意得， ， 当 时， ， ∵菱形 中， 有 ， ， ， ， ∴ ， ∴ ， 在 中, 即 ， ∴ ，∴在 中， ， ， ∴当 时， ，∴ ，∴ ， 当 时， ． (3)①当 时，只有 符合条件，由 ， ，解得 ． ②当 时， 时， ，解得 ， 时， ， ，解得 ， 综上所述，当 或 或 时， 为等腰三角形． 3．在长方形BD 中，B＝4，B＝8，点P、Q 为B 边上的两个动点(点P 位于点Q 的左侧， P、Q 均不与顶点重合)，PQ＝2 (1)如图①，若点E 为D 边上的中点，当Q 移动到B 边上的中点时，求证：P＝QE； (2)如图②，若点E 为D 边上的中点，在PQ 的移动过程中，若四边形PQE 的周长最小时， 求BP 的长； (3)如图③，若M、分别为D 边和D 边上的两个动点(M、均不与顶点重合)，当BP＝3，且 四边形PQM 的周长最小时，求此时四边形PQM 的面积． 【答】(1)见解析(2)4(3)4 (1)解：证明：∵四边形BD 是矩形，∴D=B=4，B=D=8， ∵点E 是D 的中点，点Q 是B 的中点，∴BQ=Q=4，E=2， ∴B=Q， ∵PQ=2，∴BP=2，∴BP=E， 又∵∠B= =90° ∠ ，∴△BP≌△QE(SS)，∴P=QE； (2)如图②，在D 上截取线段F=PQ=2，作F 点关于B 的对称点G，连接EG 与B 交于一点 即为Q 点，过点作FQ 的平行线交B 于一点，即为P 点，过G 点作B 的平行线交D 的延长 线于点． ∵G=DF=6，E=2+4=6，∠=90°， ∴∠GE=45°，∴∠EQ=45°， 设BP=x，则Q=B-BP-PQ=8-x-2=6-x， 在△QE 中，∵∠QE=90°，∠EQ=45°，∴Q=E，∴6-x=2，解得x=4，∴BP=4； (3)如图③，作点P 关于D 的对称点F，作点Q 关于D 的对称点，连接F，交D 于M，交D 于，连接PM，Q，此时四边形PQM 的周长最小，连接FP 交D 于T， ∴PT=FT=4，Q=B-BP-PQ=8-3-2=3=，∴PF=8，P=8，∴PF=P， 又∵∠FP=90°，∴∠F= =45° ∠ ，∵PF⊥D，D⊥Q， ∴∠F=∠TMF=45°，∠= =45° ∠ ，∴FT=TM=4，==3， ∴四边形PQM 的面积= ×PF×P- ×PF×TM- ×Q×= ×8×8- ×8×4- ×6×3=7． 4．如图，在 中， ， ， ，点P 从点出发沿方向以 2m/s 的速度向点匀速运动，同时点Q 从点出发沿B 方向以1m/s 的速度向点B 匀速运动， 当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动，过点P 作 于点D，连接 PQ、QD，设点P 运动的时间为ts． (1)求证：四边形PQD 是平行四边形； (2)当四边形PQD 成为菱形时，求出相应的t 的值； 【答】(1)见解析；(2) ； 【详解】解：(1)证明：由题意， ， ∵ ， ∴ ∴ ∵ ， ∴ ∴四边形PQD 是平行四边形 (2)解：四边形PQD 是菱形，则 ∵ ， ∴ ∴ ∴ ，∴当四边形PQD 是菱形 时， (3)解：由题意 ， ， ， 当 时， 即 ，解得 当 ， 。即 ，解得 ∴当 或 时， 与以、P、Q 为顶点的三角形相似