专题03 特殊平行四边形中的三种几何动点问题（原卷版）

专题03 特殊平行四边形中的三种几何动点问题 类型一、面积问题 例．如图，在四边形 中， ， ， ， ．点 从点 出发， 以每秒 的速度沿折线 方向运动，点 从点 出发，以每秒 的速度沿线段 方向向点 运动． 已知动点 ， 同时发，当点 运动到点 时， ， 运动停止，设运动时间为． (1)直接写出 的长（m）； (2)当四边形 为平行四边形时，直接写出四边形 的周长（m）； (3)在点 、点 的运动过程中，是否存在某一时刻，使得 的面积为 ？若存在，请求出所有满 足条件的的值；若不存在，请说明理由． 【变式训练1】如图，在四边形 中， ， 点P 自点沿折线 以 的速度运动，点Q 自点沿向 以 的速度运动．点P，Q 同时 出发，其中一个点到达终点，另一个点也停止运动．设运动时间为 ． (1)当P 在 边上，点Q 在 边上时，如图1． ①用含t 的代数式表示： ___________， ___________； ②若四边形 是平行四边形，求t 的值？ (2)求 的面积S 与运动时间t 之间的数量关系式，并写出t 的取值范围． 【变式训练2】如图，在矩形BD 中，B=12，B=18，点P 从点出发，以每秒2 个单位长度的速度沿D 边做 往返运动，在点P 出发的同时，点Q 从点B 出发，以每秒1 个单位长度的速度沿B 边向终点(运动，当点Q 到达点时，两点间时停止运动，连接PQ，设运动时间为t(秒)． (1)当t= 4 时，PD 的长度为 (2)当四边形BQP 为矩形时，t 的值为 (3)设四边形BQP 的面积为S，求S 与t 之间的函数关系式； (4)当PQ 所在的直线将矩形BD 分成的两部分的面积比为1 2 ∶时，直接写出t 的值． 【变式训练3】如图，在 中， ， 平分 ，过点 作 的平行线交 的延长线于 点 ，连接 ． (1)求证：四边形 是菱形； (2)如果 ， 的长单位：米）是 的两根，求 的长以及菱形 的面积； (3)在（2）的条件下，若动点 从 出发，，沿 以 米秒的速度匀速直线运动到点，动点 从 出发， 沿 以米秒的速度匀速直线运动到点 ，当 运动到 点时，运动停止．若 、 同时出发，问出 发几秒钟后， 的面积为 米2 类型二、几何图形存在性问题 例1．如图，在 中， ， ， ．点 从点 出发沿 方向以每秒 个单位 长的速度向点匀速运动，同时点 从点 出发沿 方向以每秒个单位长的速度向点 匀速运动，当其中 一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动．设点 运动的时间是秒 ．过点 作 于点 ，连接DE，EF． (1)求 的长； (2)求证： ； (3)当为何值时， 为直角三角形？请说明理由． 例2．如图，已知正方形 的边长为 ，动点 从点 出发，以 的速度沿 方向向 点 运动，动点 从点 出发，以 的速度沿 方向向点 运动，若 、 两点同时出发运动时 间为 ． (1)连接 、 、 ，求当为何值时， 的面积为 ？ (2)当点P 在 上运动时，是否存在这样的t 使得 是以 为一腰的等腰三角形？若存在，请求出 符合条件的t 的值；若不存在，请说明理由． 例3．如图，在四边形BD 中，D∥B，∠B＝90°，B＝8m，D＝12m，B＝18m，点P 从点出发以1m/s 的速度 向点D 运动；点Q 从点同时出发，以2m/s 的速度向点B 运动，当点Q 到达点B 时，点P 也停止运动，设 点P，Q 运动的时间为ts． (1)从运动开始，当t 取何值时，PQ∥D？ (2)在整个运动过程中是否存在t 值，使得四边形PQD 是菱形？若存在，请求出t 值；若不存在，请说明理 由； (3)从运动开始，当t 取何值时，四边形PQB 是矩形？ (4)在整个运动过程中是否存在t 值，使得四边形PQB 是正方形？若存在，请求出t 值；若不存在，请说明 理由． 例4．如图，在菱形 中，对角线 与 交于点 ，且 ， ，现有两动点 ， 分别 从 ， 同时出发，点 沿线段 向终点 运动，点 沿折线 向终点 运动，当其中一点到达 终点时，另一点也随之停止运动，设运动时间为（秒）． (1)填空： ；菱形 的面积 ；菱形的高 ． (2)若点 的速度为每秒个单位，点 的速度为每秒 个单位（其中 ），当 时在平面内存在点 使得以 ， ， ， 为顶点的四边形为菱形，请求出所有满足条件的 的值． 类型三、直线位置关系问题 例1．如图，在 中， ， ， ，点D 是边 的中点，动点P 从点出发以 每秒1 个单位的速度沿 向终点运动，过点P 作 交折线 于点Q（点Q 不与点D 重合）， 以 、 为邻边构造平行四边形 ，设点P 的运动时间为t 秒． (1)直接写出 的长． (2)当点Q 落在 边上时，用含t 的代数式表示 的长． (3)当平行四边形 为轴对称图形时求t 的值． (4)连接 ，当 与 的某条边平行时，直接写出t 的值． 例2．如图，在 中， ， ，连接 ，恰有 ，过点 作 于 点 ．动点 从点 出发沿 以 的速度向终点 运动，同时点 从点 出发，以 的速度沿 射线 运动，当点 到达终点时，点 也随之停止运动，设点 运动的时间为 ． (1)分别求 和 的长度； (2)连接 ，当 时，判断 与 是否垂直，并说明理由； (3)试判断是否存在t 的值，使得以P，Q，，D 为顶点的四边形为平行四边形？若存在，求出t 的值；若不 存在，请说明理由； (4)若点 关于直线 对称的点恰好落在直线 上，请直接写出点 ， 之间的距离． 课后训练 1．如图，在四边形 中， ， ， ， ，动点 从 开始沿 边 向 点以 的速度运动，动点 从点 开始沿 向 点以 的速度运动， ， 分别从点 ， 同时出发，当其中一点到达终点时，另一点也随之停止运动，运动的时间为秒． (1) 为何值时，四边形 为矩形？ (2) 为何值时，四边形 为平行四边形？ 2．如图，在 中， ， ，点 以每秒 的速度由点 向点 运动不与点 重合， 过点 作直线 ， 的外角平分线 于点 ， 的平分线 于点 设运动时间为秒． 发现： (1)在点 的运动过程中， 与 的关系是______，请写出理由． (2)当 时， ______ ． 探究：当 ______时，四边形 是矩形，并证明你的结论． 拓展：若点 在运动过程中，能使四边形 是正方形，试写出线段 的长度．直接写出结论即可 3．已知正方形 中， ， ．动点 以每秒2 个单位速 度从点 出发沿线段 方向运动，动点 同时以每秒8 个单位速度从 点出发沿正方形的边 方向顺时针作折线运动，当点 与点 相遇时停止运动，设点 的运动时间为． (1)当运动时间为 秒时，点P 与点Q 相遇； (2)当 时，求线段 的长度； (3)连接 ，当 和 全等时，求的值． 4．如图，在 中， ．动点P 从点出发沿 以 速度向终点D 运 动，同时点Q 从点出发，以 速度沿射线 运动，当点P 到达终点时，点Q 也随之停止运动，设点 P 运动的时间为t 秒 ． (1) 的长为______． (2)用含t 的代数式表示线段 的长． (3)连接 ， ①是否存在t 的值，使得 与 互相平分？若存在，求出t 的值；若不存在，请说明理由； ②是否存在t 的值，使得 与 互相平分？若存在，求出t 的值；若不存在，请说明理由． (4)若点P 关于直线 对称的点恰好落在直线 上，请直接写出t 的值． 5．如图，矩形 中， ， ．一动点P 从B 点出发沿对角线 方向以每秒2 个单位长 度的速度向点D 匀速运动，同时另一动点Q 从D 点出发沿 方向以每秒1 个单位长度的速度向点匀速运 动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动．设点P、Q 运动的时间为t 秒 ．过点P 作 于点E，连接 ， ． (1)求证： ； (2)四边形 能够成为菱形吗？如果能，求出相应的t 值；如果不能，说明理由． (3)当t 为何值时， 为直角三角形？请说明理由． 6．如图，在长方形 中， ， ，点 是 边上的一点， 、 分别长 、 ，满足 ，动点 从点 出发，以 的速度沿 运动，最终到达 点 ．设运动时间为 ． (1) ______ ， ______ ； (2) 为何值时， 把四边形 的周长平分？ (3)另有一点 从点 出发，按照 的路径运动，且速度为 ，若 、 两点同时出发，当其 中一点到达终点时，另一点随之停止运动．求为何值时， 的面积等于 ． 7．如图，长方形 中， ，现有一动点P 从出发以 的速度，沿长方形的边 返回到点停止，设点P 运动的时间为t 秒． (1)当 时， ___________ ； (2)当t 为何值时，连接 是等腰三角形； (3)Q 为 边上的点，且 ，P 与Q 不重合，当t 为何值时，以长方形的两个顶点及点P 为顶点的三 角形与 全等．