专题09 一次函数与几何图形的综合问题（教师版）

专题09 一次函数与几何图形的综合问题 类型一、面积问题 例．如图，一次函数 与反比例函数 的图象相交于(2，8)，B(8，)两点，连接， B，延长交反比例函数图象于点． (1)求一次函数 的表达式与反比例函数 的表达式： (2)当 ＜ 时，直接写出自变量x 的取值范围为_________； (3)点P 是x 轴上一点，当S△P＝ S△B 时，求出点P 的坐标． 【答】(1)一次函数 反比例函数 ；(2) 或 ；(3) 或 【解析】(1)解：将(2，8)代入 得 ，解得k＝16，∴反比例函数的解析式为 ， 把B(8，)代入得，＝ ＝2，∴B(8，2)， 将(2，8)，B(8，2)代入y＝x+b 得 ，解得 ，∴一次函数为y＝﹣x+10； (2)解：由图象可知，当y1＜y2时，自变量x 的取值范围为：x＞8 或0＜x＜2， 故答为x＞8 或0＜x＜2； (3)解：由题意可知 关于原点成中心对称，则＝，∴S△P＝2S△P， 如图，记 与 轴的交点为D，把y＝0 代入y1＝﹣x+10 得，0＝﹣x+10，解得x＝10， ∴D(10，0)， ∴ ， ∵ ， 2 ∴S△P＝24， ∴ ，即 ， ∴P＝3， ∴P(3，0)或P( 3 ﹣，0)． 【变式训练1】平面直角坐标系xy 中，经过点(1，2)的直线y=kx+b，与x 轴交于点，与y 轴 交于点B． (1)当b=3 时，求k 的值以及点的坐标； (2)若k=b，p 是该直线上一点，当△P 的面积等于△B 面积的2 倍时，求点P 的坐标． 【答】(1) ， ；(2)点P 的坐标为 或 ． 【解析】(1)解：当 时， ， 将点 代入可得： ，解得： ，∴一次函数解析式为： ， 当 时， ，∴ ； (2)解：∵ ，∴ ， 将点 代入可得： ，解得： ，∴ ， 当 时， ，点 ， ， 当 时， ，点 ， ，∴ ， 设 ，且 ，如图所示，连接P， ， ， ∴ ，∴ ， 当 时， ，解得： ，∴ ； 当 时， ，解得： ，∴ ； 综上可得：点P 的坐标为 或 ． 【变式训练2】如图，在平面直角坐标系中，直线m 经过点( 1 ﹣，2)，交x 轴于点( 2 ﹣， 0)，交y 轴于点B，直线与直线m 交于点P，与x 轴、y 轴分别交于点、D(0，﹣2)，连接 B，已知点P 的横坐标为﹣4． (1)求直线m 的函数表达式和点P 的坐标； (2)求证：△B 是等腰直角三角形； (3)直线m 上是否存在点E，使得S△E＝S△B？若存在，求出所有符合条件的点E 的坐标，若 不存在，请说明理由． 【答】(1)直线m 的解析式为 ，点P 的坐标为(-4，-4) (2)见解析；(3)( ， )或( ， ) 【解析】(1)解：设直线m 的解析式为 ，由题意得： ，解得 ， ∴直线m 的解析式为 ， ∵点P 在直线m 上，且点P 的横坐标为-4，∴点P 的纵坐标为 ，∴点P 的坐 标为(-4，-4)； (2)解：设直线的解析式为 ，∴ ，解得 ， ∴直线的解析式为 ， ∵B 是直线m 与y 轴的交点，是直线与x 轴的交点，∴点B 的坐标为(0，4)，点的坐标为 (4，0)， ∴B==4，又∵∠B=90°，∴△B 是等腰直角三角形； (3)解：设点E 的坐标为(m，2m+4) ∵点坐标为(-2，0)，点坐标为(4，0)，∴=6，∴ ， ∵ ，∴ ，解得 或 ， ∴点E 的坐标为( ， )或( ， )． 【变式训练3】如图，已知一次函数 与x 轴交于点，与y 轴交于点B，点与点 关于y 轴对称． (1)求直线B 的函数关系式； (2)若点M 在线段上，过点M 作y 轴的平行线，交直线B 于点P，交直线B 于点Q． ①如图，当点M(，0)在线段上时，△BPQ 的面积为S，求S 与之间的函数关系式； ②连接BM，若∠BMP＝∠B，求点P 的坐标． 【答】(1)直线 的函数解析式为 ； (2)① ；②点 的坐标为 ， 或 ， ． 【解析】(1)由 ，令 得： ， ∴B(0，3)． 由 得： ，解得 ， (6，0)， 点 与点 关于 轴对称．∴(-6，0)， 设直线 的函数解析式为 ， ，解得 ， 直线 的函数解析式为 ； (2)① 点 ，则点 ，点 ， 过点 作 与点 ，则 则 ， ， 的面积 ，即 ②如图，当点 在 轴的左侧时， 点 与点 关于 轴对称， ， ， ， ， ， ， ， 设 ，则 ， ，M2=(6-x)2， ， ，解得 ， ， ， 当点 在 轴的右侧时， 同理可得 ， ，综上，点 的坐标为 ， 或 ， ． 【变式训练4】如图，在平面直角坐标系中，函数 的图象分别交x 轴、y 轴于、B 两点．过点的直线交y 轴正半轴于点，且点为线段B 的中点． (1)求直线的表达式． (2)平面内是否存在点P，使得四边形PB 是平行四边形?若存在，请求出点P 的坐标． (3)若点Q 为直线上的一点，且满足 的面积为30，求点Q 的坐标． 【答】(1) ；(2)存在， ；(3) 或 【解析】(1)∵函数 的图象分别交x 轴、y 轴于、B 两点， 令 ， ，令 ， ，∴ ， ，∵点为线段B 的中点，∴ ， 设直线的表达式为 ，∴ ，解得： ，故直线的表达式为 (2)∵四边形PB 是平行四边形∴ 且 ， 且 ， 如图1， 过点P 作y 轴的垂线，垂足为Q， ∵ ，∴ ，在 和 中， ， ∴ ，∴ ， 在 和 中， ， ∴ ， ∴ ， ，∴ ，∴ (3)如图所示，过点B 作 于点， ， ， ， ， ， 是等腰直角三角形， ∵点Q 为直线上一点且 的面积为30， ∴ ，∴ ， ∵点Q 在直线： 上，∴设Q 点坐标为 ， ∴ ，∴ ， 则 ， ， 当 时， ，则 ， 当 时， ，则 ， 故Q 点坐标为 或 类型二、几何图形存在问题 例1．如图，在平面直角坐标系中，=B=6，D=1，点为线段B 的中点． (1)直接写出点的坐标为 ； (2)点P 是x 轴上的动点，当PB+P 的值最小时，求此时点P 的坐标； (3)在平面内是否存在点F，使得以、、D、F 为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请求 出点F 的坐标；若不存在，请说明理由． 【答】(1)(3，3)；(2)P(2，0)；(3)存在，(8，3)，(4，-3)或(-2，3) 【解析】(1)解：过点作 于点，过点作 于点． ∵ ∴ 又∵点为线段B 的中点，= 6 ∴ 同理 (3,3) ∴ (2)作点B 关于x 轴的对称点B'，连接B'交x 轴于点P， 此时PB+P 的值最小，由已知得，点B 的坐标为(0，6)， ∴点B 关于x 轴的对称点B'(0，﹣6)， 由(1)知，(3，3)，可设直线B'的解析式为y=kx+b， ∴ 解得 ∴直线B'的解析式为y=3x 6 ﹣， 令y=0，则3x 6=0 ﹣ ，解得： x=2， ∴P(2，0)； (3)存在点F，使以、、D、F 为顶点的四边形为平行四边形，设点F 的坐标为(m，)．分三 种情况考虑，如图所示： 当为对角线时， (6 ∵ ，0)，(3，3)，D(1，0)， ∴ ，解得： ， ∴点F1的坐标为(8，3)； ②当D 为对角线时，∵(6，0)，(3，3)，D(1，0)，∴ ，解得： ， ∴点F2的坐标为(4，-3)； ③当D 为对角线时，∵(6，0)，(3，3)，D(1，0)，∴ ，解得： ， ∴点F3的坐标为(-2，3)． 综上所述，点F 的坐标是(8，3)，(4，-3)或(-2，3)． 例2 已知 中， ， ，D 是中点，作直线BD．分别以，B 所在 直线为x 轴，y 轴建立直角坐标系(如图)． (1)求直线BD 的表达式． (2)在直线BD 上找出一点E，使四边形BE 为平行四边形． (3)直线BD 上是否存在点F，使 为以为腰的等腰三角形?若存在，直接写出点F 的坐 标；若不存在，说明理由． 【答】(1) ；(2) ；(3)存在， 或 或 或 【解析】(1)∵ ，由题可得，∴ ， ，又∵点D 是的中点， ∴ ，∴设直线BD 的表达式为： 代入B，D 可得： ，解得： ， ，∴直线BD 的表达式为： ． (2)设点E 的坐标为 ， ∵四边形BE 是平行四边形，∴ ， ∴ ， ，∴点E 的坐标为 ． (3)∵点F 在BD 上，∴设点F 的坐标为 ， ∴ ． ，∵ 是以为腰的等腰三角形， ∴当 时，则 ，∴ ， ∴ ，解得： 或 ． ∴点F 的坐标为： 或 ， 当 时，则 ，∴ ， ，解得： 或 ， ∴点F 的坐标为 或 ． ∴综上，点F 的坐标为 或 或 或 ． 例3 如图，正方形BD 的顶点 ， ，点P 在直线 上． (1)直接写出点和点D 的坐标：______，D______． (2)Q 为坐标平面内一点，当以、B、Q、P 为顶点的四边形为菱形，直接写出点P 和对应的 点Q 的坐标． 【答】(1) ， (2)P 的坐标为： ， ， ， ，Q 坐标为： ， ， ， ． 【解析】 (1)如图(1)所示，过作E⊥x 轴， ∵正方形BD，∴B＝B，∠B＝90°， 又∵∠B＝90°，E⊥x 轴，∴∠B＝∠BE＝90°， 又∵∠B＋∠BE＝180°－∠B＝90°，∠B＋∠B＝180°－∠B＝90°， ∴∠B＝∠BE，∴在△B 和△BE 中， ， ∴△B≌△BE(S)，∴＝EB，B＝E， 又∵ ， ，∴＝EB＝3，B＝E＝1， ∴E＝B＋EB＝1＋3＝4，∴点的坐标为： ， 又∵正方形BD， ∴ ，∴ ，解得： ， ，∴点D 的坐标为 ， 故答为： ， ． (2)∵点P 在直线y＝x 上，∴设点P 的坐标为 ， 当点，B，Q，P 是以B 为对角线的菱形时， ， ∴代入可得： ，∴解得： ， ， ， ∴点P 的坐标为 ，点Q 的坐标为 ， 当点，B，Q，P 是以Q 为对角线的菱形时， ， ∴代入可得： ，∴解得： 或 ， ∴代入可得：点P 的坐标为 或 ，点Q 的坐标为 或 ， 当点，B，Q，P 是以P 为对角线的菱形时， ， ∴代入可得 ，解得：t＝1 或t＝0(舍去)， ∴点P 的坐标为 ，点Q 的坐标为 ， ∴综上，符合条件的P，Q 的坐标为： ， 或 ， 或 ， 或 ， ． 【变式训练1】如图，直线B 交x 轴于点B，交y 轴于点，过点另一条的直线交x 轴于点， 且 ，线段、B 的长是方程 的两个根． (1)求点坐标； (2)若过点 ， 的直线DE 交直线于点F，求经过点F 的正比例函数解析式； (3)在(2)的条件下，点P 在直线B 上，点Q 在直线上，使以D、E、P、Q 为顶点的四边形是 平行四边形，请直接写出点Q 的坐标． 【答】(1)(0，3)．(2) (3) 或 或 ； 【解析】(1)解：解方程 得， , ，∴=1，B=5，∴ ， B=4， ，点坐标为(0，3)． (2)解：设直线DE 的解析式为 ，把 ， 代入得， ，解得， ，直线DE 的解析式为 ， 同理，根据(0，3)，(-1，0)，求得的解析式为 ， 把两个函数解析式联立得， ，解得， ，点F 的坐标为 ， 设经过点F 的正比例函数解析式为 ，代入 得， ，解得， ， 经过点F 的正比例函数解析式为 ， (3)解：根据(0，3)，B(4，0)，求得B 的解析式为 ， 设点P 坐标为 ，点Q 坐标为 ，根据平行四边形对角线互相平分， ， ， 当PQ 为对角线时， ，解得 ，点Q 坐标为 ； 当PD 为对角线时， ，解得 ，点Q 坐标为 ； 当PE 为对角线时， ，解得 ，点Q 坐标为 ； 综上，点Q 坐标为 或 或 ． 【变式训练2】如图，在平面直角坐标系中，直线 与 轴交于点 ，直线 与 轴、 轴分别交于点 和点 ，且与直线交于点 ． (1)求直线 的解析式； (2)若点 为线段 上一个动点，过点 作 轴，垂足为 ，且与直线交于点 ， 当 时，求点 的坐标； (3)若在平面上存在点 ，使得以点 ， ， ， 为顶点的四边形是平行四边形，请直接 写出点 的坐标． 【答】(1)直线 的解析式为 ；(2) ；(3) 的坐标为： 或 或 【解析】(1)解： 当 时， ， ． 设直线 的解析式为 ，由题意得： ，解得： ． 直线 的解析 式为 ． (2)解： 轴， ， 的横坐标相同．设 ，则 ． 为线段 上一个动点， ， ， ， ． ．解得： ． ． (3)如下图，当四边形 为平行四边形时， 令 ，则 ， ． ， 直线 的解析式为： ． 令 ，则 ， ． ， 直线 的解析式为： ． ．解得： ． ． 如下图，当四边形 为平行四边形时， ， 直线 的解析式为 ， ， 直线 的解析式为 ， 当 时， ， ． 当四边形 为平行四边形时，如下图， ， 直线 的解析式为 ， ， 直线 的解析式为： ， 当 时， ， ． 综上，存在点 ，使得以点 ， ， ， 为顶点的四边形是平行四边形，点 的坐标为： 或 或 ． 类型三、最值问题 例．如图，在平面直角坐标系中，( 1 ﹣，4)，B( 3 ﹣，3)，( 2 ﹣，1)． (1)已知△1B11与△B 关于x 轴对称，画出△1B11； (2)在y 轴上找一点P，使得△PB 的周长最小，点P 的坐标为 ． 【答】(1)见解析(2)(0， ) 【解析】(1)解：如图所示，△1B11即为所求． (2)如图所示，点P 即为所求， 点关于y 轴的对称点′(2，1)， 设B′所在直线解析式为y=kx+b，则 ，解得 ， ∴B′所在直线解析式为 ，当x=0 时，y= ，所以点P 坐标为(0， )． 【变式训练1】在如图的格中，只利用直尺作图： (1)将 向左平移3 个单位后的图形 ； (2)作点P，使P 到、B 的距离相等，且 ； (3)点Q 在y 轴上，当 最小时，点Q 的坐标为______． 【答】(1)作图见解析(2)作图见解析(3) 【解析】(1)解：如图1； (2)解：如图2，作线段 、线段 的垂直平分线，交点即为点 ； (3)解：如图3，找 关于 轴的对称点 ，连接 ，与 轴的交点 即为 最小时 的点Q； ∴ ， 设直线 的解析式为 将 ， 代入 得 ，解得 ，∴直线 的解析式为 将 代入得 ，∴ ，故答为： ． 【变式训练2】如图，直线B 与反比例函数y＝ (x＞0)的图象交于，B 两点，已知点的坐 标为(2，4)，△B 的面积为6． (1)反比例函数的表达式； (2)求直线B 的函数表达式； (3)若动点P 在y 轴上运动，当|P﹣PB|最大时，求P 点坐标． 【答】(1)y＝ ；(2)y＝﹣x＋6；(3)P(0，6) 【解析】(1)∵点(2，4)在反比例函数y＝ (x＞0)， ∴k＝2×4＝8， ∴反比例函数的解析式为：y＝ ； (2)设点B(m， )，过点作⊥x 轴于，过点B 作BD⊥x 轴于D， ∵直线B 与反比例函数y＝ (x＞0)的图象交于，B 两点，∴k＝×＝D×BD， ∴S△＝S△BD，∴S△B＝S 梯形DB， ∴ ， ∵m＞0，解得m＝4，∴B(4，2)， 设直线B 的解析式为：y＝kx＋b， 解得 ， ∴直线B 的解析式为：y＝﹣x＋6； (3)在△PB 中，根据两边之差小于第三边，即|P﹣PB|≤B， | ∴P﹣PB|的最大值为线段B，∴此时P 点为直线B 与y 轴的交点， 当x＝0 时，y＝6，，∴P(0，6)． 课后训练 1．如图，一次函数y=mx+1 的图象与反比例函数y= 的图象相交于、B 两点，点在x 轴正 半轴上，点D(1,-2)，连接、D、D、，四边形D 为菱形． (1)求一次函数与反比例函数的解析式； (2)根据图象，直接写出反比例函数的值小于2 时，x 的取值范围； (3)设点P 是直线B 上一动点，且S△P= S 菱形D，求点P 的坐标． 【答】(1)一次函数的解析式为y=x+1；反比例函数的解析式为y= ；(2) 或 ； (3)P 的坐标为(-3,-2)或(5,6) 【解析】(1)解：如图，连接D， ∵四边形D 是菱形，∴点、D 关于x 轴对称， ∵D(1,-2)，∴(1,2)， 将(1,2)代入直线y=mx+1 可得m+1=2，解得m=1， 将(1,2)代入反比例函数y= ，解得：k=2； ∴一次函数的解析式为y=x+1；反比例函数的解析式为y= ； (2)解：∵当x=1 时，反比例函数的值为2， ∴当反比例函数图象在点下方时，对应的函数值小于2， 此时x 的取值范围为：x＜0 或x＞1； (3)解：∵=2E=2，D=2DE=4， ∴ ， ∵S△P= S 菱形D，∴S△P=2， 设P 点坐标为(，+1)，在y=x+1 中，令x=0，则y=1，故F(0,1)， ∴F=1， ， 当P 在的左侧时，∵ ， ∴此时点P 在F 的左侧，<0， ， 解得=-3，故+1=-2，∴P(-3,-2)， 当P 在的右侧时， ， 解得=5，故+1=6，∴P(5,6)， 综上所述，点P 的坐标为(-3,-2)或(5,6)． 2．如图，在平面直角坐标系中，已知△B 的三个顶点、B、的坐标分别为( 5 ﹣，﹣1)、(﹣ 3，﹣4)、( 1 ﹣，﹣3)． (1)S△B＝ ； (2)画出△B 关于y 轴对称的△1B11； (3)已知点P 在x 轴上，且P＝P，则点P 的坐标是 ． (4)若y 轴上存在点Q，使△Q 的周长最小，则点Q 的坐标是 ． 【答】(1)4(2)见解析(3)(-2，0)(4)(0， ) 【解析】(1)解： ，故答为：4 (2)解：如图所示， 即为所求 (3)解：如图，点P(-2,0)，故答为：(-2,0) (4)解：连接1，交y 轴于Q，设1的函数关系式为y＝kx＋b， 解得 故答为： 3．如图，直线B：y=-x+分别与x，y 轴交于(6，0)、B 两点，过点B 的直线交x 轴负半轴于， 且B：=3：1． (1)求点B 的坐标； (2)求直线B 的函数表达式； (3)直线 ： 交直线B 于E，交直线B 于点F，交x 轴于D，是否存在这 样的直线EF，使得 ？若存在，求出 的值；若不存在，说明理由． 【答】(1)B(0，6)(2)直线B 的解析式为 (3) 【解析】(1)∵y=-x+且过点(6，0)， -6+=0 ∴ ，∴=6，∴直线B：y=-x+6， 令x=6，则y=6，∴B(0，6)； (2)解：∵B(0，6)，∴B=6， 且：B=1：3，∴=2，∴(-2，0)， 设直线B 的解析式为y=kx+6， 把(-2，0)代入得：-2k+6=0，解得k=3， ∴直线B 的解析式为y=3x+6； (3)解：存在．理由如下：如图中， ∵S△BDF=S△BDE，∴只需DF=DE，即D 为EF 中点， ∵E 为直线B 与EF 的交点， ∴ ，可得E( k+4 ，2− k)， ∵F 为直线B 与EF 的交点， ∴ ，可得F(− k− ，− k− )， 令