专题06 平行四边形中的几何综合问题（学生版）

专题06 平行四边形中的几何综合问题 类型一、平行四边形的折叠问题 例．如图，将平行四边形BD 沿对角线折叠，使点B 落在点 处，若 ， 为 ( ) ．36° B．144° ．108° D．126° 【变式训练1】如图，在平行四边形纸片BD 中，对角线与BD 相交于点E，∠EB＝45°， BD＝4，将纸片沿对角线对折，使得点B 落在点B′的位置，连接DB'，则DB'的长为( ) ．2 B．2 ．4 D．15 【变式训练2】如图，在平行四边形BD 中， ，E 为B 上一点，连接E，将 沿E 翻折得到 ， 交于点G，若 ， ，则G 的长度为______． 【变式训练3】如图，在平行四边形BD 中，E 为边D 上的一个点，将△DE 沿E 折叠至 △D′E 处，D′与E 交于点F，若∠B＝50°，∠DE＝20°，则∠FED′的大小为 ______． 类型二、平行四边形中的最值问题 例．如图，平行四边形BD，∠BD=120°，B=2，B=4，点E 是直线B 上的点，点F 是直线D 上的点，连接F，E，EF，点M，分别是F，EF 的中点．连接M，则M 的最小值为( ) ．1 B． ． D． 【变式训练1】如图，四边形BD 中，∠=60°，D=2，B=3，点M，分别为线段B，B 上的动 点(含端点，但点M 不与点B 重合)，点E，F 分别为DM，M 的中点，则EF 长度的最大值 为( ) ． B． ． D． 【变式训练2】如图，在平行四边形BD 中，∠B＝60°，D＝8，B＝4，点、G 分别是边D、 B 上的动点，其中点不与点重合．连接、G，点E 为的中点，点F 为G 的中点，连接EF， 则EF 的最大值与最小值的差为 _____________． 【变式训练3】如图，在 中， ， ， ， 为 上的两个 动点，且 ，则 的最小值是________． 【变式训练4】如图，在▱BD 中，点E 是对角线上一点，过点E 作的垂线，交边D 于点 P，交边B 于点Q，连接P、Q，若＝6，PQ＝4，则P＋Q 的最小值为________________． 类型三、动点问题 例．在四边形BD 中，D∥B，B⊥D，B＝10m，M 是B 上一点，且BM=4m，点E 从出发以 1m/s 的速度向D 运动，点F 从点B 出发以2m/s 的速度向点运动，当其中一点到达终点， 而另一点也随之停止，设运动时间为t，当t 的值为_____时，以、M、E、F 为顶点的四边 形是平行四边形． 【变式训练1】如图，在四边形 中， ，且 ，点P，Q 分 别从，两点同时出发，点P 以 的速度由向D 运动，点Q 以 的速度由向运动B， 则_____秒后四边形 成为一个平行四边形． 【变式训练2】如图，在四边形 中， ．点P 从点出发，以 的速度向点 D 运动；点Q 从点同时出发，以 的速度向点B 运动，规定其中一个动点到达端点时， 另一个动点也随之停止运动．从运动开始，使 和 ，分别需经过多少时间？ 为什么？ 课后训练 1．如图，三角形纸片B，点D 是B 边上一点，连结D，把 沿着D 翻折，得到 ，DE 与交于点F．若点F 是DE 的中点， ， ， 的面积为9， 则点F 到B 的距离为( ) ．14 B．24 ．36 D．48 2．如图，在△B 中，=B=8，∠B=60°，直线D⊥B 于点D，E 是D 上的一个动点，连接E， 将线段E 绕点按逆时针方向旋转60°得到F，连接DF，则在点E 的运动过程中，DF 的最小 值是( ) ．1 B．15 ．2 D．4 3．如图，四边形 是平行四边形， ， ，点 在 上，且 ，点 为边 上的一动点，连接 ， ，将 沿直线 翻折，点 的 对应点为点 ，连接 ，若点 ，点 ，点 在同条直线上，则 的值为______． 4．如图，在 中， ， ， ，点 为 上任意一点，连接 ，以 、 为邻边作 ，连接 ，则 的最小值为______． 5．如图，△B 中，D 是B 边上任意一点，F 是中点，过点作E B 交DF 的延长线于点E， 连接E，D． (1)求证：四边形DE 是平行四边形； (2)若∠B＝30°，∠B＝45°， ，求B 的长． 6．已知∠M＝90°，点是射线上的一个定点，点B 是射线M 上的一个动点，点在线段的延 长线上，且＝B． (1)如图1，D B，D＝，连接D，BD． ① ； ②若＝2，B＝3，则BD＝ ； (2)如图2，在射线M 上截取线段BE，使BE＝，连接E，当点B 在射线M 上运动时，求∠B 和∠E 的数量关系； (3)如图3，当E 为B 中点时，平面内一动点F 满足F=，作等腰直角三角形FQ，且FQ=F， 当线段Q 取得最大值时，直接写出 的值．