九下专题09 几何旋转综合问题（教师版）

专题09 几何旋转综合问题 类型一、三角形中的旋转问题 例．如图，已知等边 中，点D、E、F 分别为边 、 、 的中点，M 为直线 上一动点， 为等边三角形(点M 的位置改变时， 也随之整体移动)． (1)如图1，当点M 在点B 左侧时，请你连结 ，并判断 与 有怎样的数量关系？点 F 是否在直线 上？请写出结论，并说明理由； (2)如图2，当点M 在 上时，其它条件不变，(1)的结论中 与 的数量关系是否仍然 成立？若成立，请利用图2 证明；若不成立，请说明理由； (3)如图3，若点M 在点右侧时，请你判断(1)的结论中 与 的数量关系是否仍然成立？ 若成立，请直接写出结论：若不成立，请说明理由． 【答】(1)相等，在，理由见解析；(2)成立，证明见解析；(3)成立． 【详解】解：(1)E=MF，点F 在直线E 上，理由如下：如图1，连接DE、DF、EF，F， ∵△B 是等边三角形，∴B==B， ， 又∵点D、E、F 分别为边 、 、 的中点， ∴DE、DF、EF 为等边△B 的中位线， ， ∴DE=DF=EF，∴∠FDE=∠DFE=60° ∵D、F 分别是B、B 的中点，∴ ，∴△DBF 是等边三角形， ∴∠BDF=60°， ∵△DM 是等边三角形，∴∠MD=60°，DM=D，∴∠MD=∠BDF=60°，DB=DF， ∴∠MD-∠BD=∠BDF-∠BD，即∠MDB=∠DF， 在△DMB 和△DF 中，∵DM=D，∠MDB=∠DF，DB=DF，∴△DMB≌△DF，∴∠DBM=∠DF， ∵∠B=60°，∴∠DBM=120°，∴∠FD=120°，∴∠FD+∠DFE=120°+60°=180°， ∴、F、E 三点共线，∴F 在直线E 上； ∵△DM 是等边三角形，∴∠MD=60°，DM=D，∴∠FDE+∠DF=∠MD+∠DF， ∴∠MDF=∠DE， 在△DMF 和△DE 中，∵DF=DE，∠MDF=∠DE，DM=D，∴△DMF ≌△DE，∴MF=E， (2)成立，理由如下：如图2，连接DF，F，EF， ∵△B 是等边三角形且D、F 分别是B、B 的中点， ∴ ， ，∴△DBF 是等边三角形，∴∠BDF=∠DBF=60°， ∵△DM 是等边三角形，∴∠MD=60°，DM=D，∴∠MD=∠BDF=60°，DB=DF， ∴∠MD-∠FDM=∠BDF-∠FDM，即∠MDB=∠DF， 在△DMB 和△DF 中，∵DM=D，∠MDB=∠DF，DB=DF， ∴△DMB≌△DF，∴∠DBM=∠DF=60°，BM=F，∴∠DF=∠FDB=60°，∴F∥BD， ∵E，F 分别为边，B 的中点，∴EF 是△B 的中位线， ， ∴EF∥BD， ，∴F 在直线E 上，BF=EF，∴MF=E； (3)MF 与E 相等的结论仍然成立，理由如下：如图3，连接DF、DE，EF， ∵△B 是等边三角形，∴B==B， 又∵点D、E、F 分别为边 、 、 的中点， ∴DE、DF、EF 为等边△B 的中位线， ，∴DE=DF=EF， ∴△DEF 是等边三角形，∴∠FDE=60°， ∵△DM 是等边三角形，∴∠MD=∠FDE=60°，DM=D， ∴∠EDM+∠DE=∠EDM+∠FDM，∴∠DE=∠FDM， 在△DE 和△DMF 中，∵DE=DF，∠DE=∠FDM，D=DM，△DE≌△DMF，∴MF=E． 【变式训练1】如图1，在等腰直角三角形 中， ．点 ， 分别为 ， 的中点， 为线段 上一动点(不与点 ， 重合)，将线段 绕点 逆时针方向旋 转 得到 ，连接 ， ． (1)证明： ； (2)如图2，连接 ， ， 交 于点 ． ①证明：在点 的运动过程中，总有 ； ②若 ，当 的长度为多少时， 为等腰三角形？ 【答】(1)见详解；(2)①见详解；②当 的长度为2 或 时， 为等腰三角形 【详解】解：(1)∵线段 绕点逆时针方向旋转 得到 ，∴=G，∠G=90°， ∵在等腰直角三角形 中， ，B=，∴∠B=90°- = ∠∠G， ∴ ； (2)①∵在等腰直角三角形 中，B=，点 ， 分别为 ， 的中点， ∴E=F， 是等腰直角三角形， = ∵G，∠B =∠G，∴ ，∴∠E=∠FG=45°， ∴∠FG=∠FG+∠FE=45°+45°=90°，即： ； ②∵ ，点 ， 分别为 ， 的中点，∴E=F=2， ∵∠G=45°， 为等腰三角形，分3 种情况： ()当∠QG=∠QG=45°时，如图，则∠F=90°-45°=45°，∴平分∠EF， ∴点是EF 的中点，∴E= ； (b)当∠GQ=∠GQ=(180°-45°)÷2=675°时，如图，则∠E=∠GQ=675°， ∴∠E=180°-45°-675°=675°，∴∠E=∠E，∴E=E=2； ()当∠QG=∠GQ=45°时，点与点F 重合，不符合题意，舍去， 综上所述：当 的长度为2 或 时， 为等腰三角形． 【变式训练2】如图1，将两个完全相同的三角形纸片B 和DE 重合放置，其中∠=90°．若 固定△B，将△DE 绕点旋转． (1)当△DE 统点旋转到点D 恰好落在B 边上时，如图2． ①当∠B=∠E=30°时，此时旋转角的大小为 ； ②当∠B=∠E=α 时，此时旋转角的大小为 (用含的式子表示)． (2)当△DE 绕点旋转到如图3 所示的位置时，小杨同学猜想：△BD 的面积与△E 的面积相等， 试判断小杨同学的猜想是否正确，若正确，请你证明小杨同学的猜想．若不正确，请说明 理由． 【答】(1)①60°；②2α；(2)小杨同学猜想是正确的．证明见解析． 【详解】解：(1)①∵∠B=30°，∠B=90°，∴∠D=90° 30°=60° ﹣ ． = ∵D，∴△D 是等边三角形，∴∠D=60°，∴旋转角为60°．故答为：60°． ②如图2 中，作⊥D 于． = ∵D，⊥D，∴∠=∠D． + ∵∠∠B=90°，∠B+∠B=90°，∴∠=∠B，∴∠D=2 =2 ∠ ∠B=2α， ∴旋转角为2α．故答为：2α． (2)小杨同学猜想是正确的．证明如下：过B 作B⊥D 于，过E 作EM⊥于M，如图3， ∵∠B=∠DE=90°，∴∠1+ 2=90° ∠ ，∠3+ 2=90° ∠ ，∴∠1= 3 ∠． ∵B⊥D 于，EM⊥于M，∴∠B=∠EM=90°． ∵△B≌△DE，∴B=E， 在△B 和△EM 中，∠B=∠EM，∠1= 3 ∠，B=E，∴△B≌△EM(S)，∴B=EM． ∵S△BD •D•B，S△E ••EM． ∵D=，∴S△BD=S△E． 【变式训练3】如图1，已知∠D=90°，△B 是等边三角形，点P 为射线D 上任意一点(点P 与 点不重合)，连结P，将线段P 绕点顺时针旋转60°得到线段Q，连结QB 并延长交直线D 于 点E． (1)如图1，猜想∠QEP= °； (2)如图2，3，若当∠D 是锐角或钝角时，其它条件不变，猜想∠QEP 的度数，选取一种情况 加以证明； (3)如图3，若∠D=135°，∠P=15°，且=4，求BQ 的长． 【答】(1) QEP=60° ∠ ；(2) QEP=60° ∠ ，证明详见解析；(3) 【详解】解：(1)∠QEP=60°； 证明：连接PQ，如图1，由题意得：P=Q，且∠PQ=60°， ∵△B 是等边三角形，∴∠B=60°，∴∠P=∠QB， 则在△P 和△QB 中， ，∴△QB≌△P(SS)，∴∠QB=∠P， 又因为△PEM 和△QM 中，∠EMP=∠MQ，∴∠QEP=∠QP=60°故答为60； (2)∠QEP=60°以∠D 是锐角为例 证明：如图2，∵△B 是等边三角形，∴=B，∠B=60°， ∵线段P 绕点顺时针旋转60°得到线段Q， ∴P=Q，∠PQ=60°，∴∠B+∠BP=∠BP+∠PQ，即∠P=∠BQ， 在△P 和△BQ 中， ，∴△P≌△BQ(SS)，∴∠P=∠Q， 1= 2 ∵∠ ∠，∴∠QEP=∠PQ=60°； (3)连结Q，作⊥D 于，如图3， 与(2)一样可证明△P≌△BQ，∴P=BQ， ∵∠D=135°，∠P=15°，∴∠P=30°，∠=45°， ∴△为等腰直角三角形，∴== = ×4= ， 在Rt△P 中，P= = ，∴P=P−= － ， ∴BQ= − 【变式训练4】两块等腰直角三角板△B 和△DE 如图摆放，其中∠B=∠DE=90°，F 是DE 的 中点，是E 的中点，G 是BD 的中点． (1)如图1，若点D、E 分别在、B 的延长线上，通过观察和测量，猜想F 和FG 的数量关系 为______和位置关系为______； (2)如图2，若将三角板△DE 绕着点顺时针旋转至E 在一条直线上时，其余条件均不变，则 (1)中的猜想是否还成立，若成立，请证明，不成立请说明理由； (3)如图3，将图1 中的△DE 绕点顺时针旋转一个锐角，得到图3，(1)中的猜想还成立吗？ 直接写出结论，不用证明． 【答】(1)相等，垂直．(2)成立，证明见解析；(3)成立，结论是F=FG，F⊥FG． 【详解】解：(1)∵E=D，=B，∠E=∠DB=90°，∴BE=D， ∵F 是DE 的中点，是E 的中点，G 是BD 的中点，∴F= D，F∥D，FG= BE，FG∥BE， ∴F=FG，∵D⊥BE，∴F⊥FG，故答为相等，垂直． (2)答：成立，证明：∵E=D，∠ED=∠D=90°，=B， ∴△D≌△BE，∴D=BE， 由(1)知：F= D，F∥D，FG= BE，FG∥BE，∴F=FG，F⊥FG， (1) ∴ 中的猜想还成立． (3)答：成立，结论是F=FG，F⊥FG．连接D，BE，两线交于Z，D 交B 于X， 同(1)可证，∴F= D，F∥D，FG= BE，FG∥BE， ∵三角形ED、B 是等腰直角三角形， ∴E=D，=B，∠ED=∠B=90°，∴∠D=∠BE， 在△D 和△BE 中 ，∴△D≌△BE，∴D=BE，∠EB=∠D， ∵∠D+∠X=90°，∠X=∠DXB， ∴∠DXB+∠EB=90°，∴∠EZ=180° 90°=90° ﹣ ，即D⊥BE， ∵F∥D，FG∥BE，∴F⊥FG，即F=FG，F⊥FG，结论是F=FG，F⊥FG 【变式训练5】在△B 中，B=，将线段绕着点逆时针旋转得到线段D，旋转角为 ，且 ，连接D、BD． (1)如图1，当∠B=100°， 时，∠BD 的大小为_________； (2)如图2，当∠B=100°， 时，求∠BD 的大小； (3)已知∠B 的大小为m( )，若∠BD 的大小与(2)中的结果相同，请直接写出 的 大小． 【答】(1)30°；(2)30°；(3) 为 或 或 ． 【详解】解：(1)解(1)∵ ， ，∴ ， ∵ ， ，∴ 为等边三角形，∴ ． 又∵ ，∴ 为等腰三角形， ，∴ ． (2)方法1：如图作等边 ，连接 、 ． ， ． ， ， ． ， ． ．① ， ， ．② ，③； 由①②③，得 ， ， ． ， ， ． ， ， ． ． ．④ ， ， ．⑤ ，⑥； 由④⑤⑥，得 ． ． ． ． ． 方法2 如下图所示，构造等边三角形DE，连接E． ∵在等腰三角形D 中， ，∴ ， ∵ ，∴ ．可证 ． 结合角度，可得 ， ． 在 和 中， ，∴ ，∴ ． ∵ ，∴ ． 方法3 如下图所示，平移D 至E，连接ED，EB，则四边形DE 是平行四边形． ∵ ，∴四边形DE 是菱形， ∴ ， ．∴ ，∴ ， ∴ 是等边三角形， 是等腰三角形，∴ ， ， ∴ ．∴ ． (3)由(1)知道，若 ， 时，则 ； ①由(1)可知，设 时可得 ， ， ， ． ②由(2)可知，翻折 到△ ，则此时 ， ， ， ③以 为圆心 为半径画圆弧交 的延长线于点 ，连接 ， ， ， ． 综上所述， 为 或 或 时， ． 类型二、四边形中的旋转问题 例．如图1，在 B 中，∠B 为锐角，点D 为射线B 上一点，连接D，以D 为一边且在D 的 右侧作正方形DEF． (1)如果B＝，∠B＝90°． ①当点D 在线段B 上时(与点B 不重合)，如图2，线段F、BD 所在直线的位置关系为 ，线段F、BD 的数量关系为 ． ②当点D 在线段B 的延长线上时，如图3，①中的结论是否仍然成立？并说明理由； (2)如图4，如果B≠，∠B 是锐角，点D 在线段B 上，当∠B 满足什么条件时，F⊥B(点、F 不重合)，并说明理由． 【答】(1)①垂直，相等；②成立，理由见解析；(2)45°，理由见解析 【详解】解：(1)①F 与BD 位置关系是垂直，数量关系是相等，理由是： 如图2，∵四边形DEF 是正方形，∴D＝F，∠DF＝90°，∴∠D+∠F＝90°， ∵B＝，∠B＝90°，∴∠BD+∠D＝90°，且∠B＝∠B＝45°， ∠ ∴ F＝∠BD，∴△BD △ ≌F，∴BD＝F，∠B＝∠F＝45°， ∠ ∴ B+∠F＝45°+45°＝90°，即∠BF＝90°，∴B⊥F， 即BD⊥F； 故答为：垂直，相等； ②当点D 在B 的延长线上时，①的结论仍成立，理由是： 如图3，由正方形DEF 得D＝F，∠DF＝90°， ∠ ∵ B＝90°， ∠ ∴ DF＝∠B， ∠ ∴ DB＝∠F， 又∵B＝， △ ∴DB △ ≌F， ∴F＝BD， ∠F＝∠BD， ∠ ∵ B＝90°，B＝， ∠ ∴ B＝45°， ∠ ∴ F＝∠B＝45° ∠ ∴ BF＝∠B+∠F＝90°， 即F⊥BD； (2)当∠B＝45°时，F⊥BD，理由是： 如图4，过点作Q⊥，交B 于点Q， ∠ ∵ B＝45°， ∠ ∴ Q＝45°， ∠ ∴ Q＝∠B， ∴＝Q， ∵D＝F，∠Q＝∠DF＝90°，∴∠Q ∠ ﹣ D＝∠DF ∠ ﹣ D， ∠ ∴ QD＝∠F，∴△QD △ ≌F，∴∠F＝∠QD＝45°， ∠BF＝∠B+∠F＝90°，即F⊥BD． 【变式训练1】在正方形 的边 上任取一点 ，作 交 于点 ，取 的中点 ，连接 、 ，如图 ，易证 且 ． 将 绕点 逆时针旋转 ，如图 ，则线段 和 有怎样的数量关系和位置 关系？请直接写出你的猜想． 将 绕点 逆时针旋转 ，如图 ，则线段 和 又有怎样的数量关系和位 置关系？请写出你的猜想，并加以证明． 【答】 ， ； ， ． 【详解】解： ， ． ， ．证明：延长 交 延长线于 ，连 ． ∵ ， ， ， ∴四边形 是矩形．∴ ， ， 由图 可知，∵ 平分 ， ，∴ ， 又∵ ，∴ 为等腰直角三角形，∴ ， ．∴ ． ∵ ， ，∴ ． ∵ ， ，∴ ． ∵ ，∴ ， 又∵ ， ，∴ ． ∵在 与 中， ，∴ ． ∴ ， ． ∵ ， ， ，∴ ， ∴ ，∴ ，即 ，∴ ． 【变式训练2】如图1，点是正方形BD 两对角线的交点 分别延长D 到点G，到点E，使 G=2D，E=2，然后以G、E 为邻边作正方形EFG，连接G，DE． (1)求证：DE⊥G； (2)正方形BD 固定，将正方形EFG 绕点逆时针旋转 角(0°< <360°)得到正方形 ， 如图2． ①在旋转过程中，当∠ 是直角时，求 的度数；(注明：当直角边为斜边一半时，这 条直角边所对的锐角为30 度) ②若正方形BD 的边长为1，在旋转过程中，求 长的最大值和此时 的度数，直接写 出结果不必说明理由． 【答】(1)DE G (2)① ⊥ 当∠ 为直角时，α=30°或150°②315° 【详解】 如图1，延长ED 交G 于点， 点是正方形BD 两对角线的交点， ， ，在 和 中， ， ≌ ， ， ， ， ，即 ； 在旋转过程中， 成为直角有两种情况： Ⅰ 由 增大到 过程中，当 时， ， 在 中，s G= ∠ ， ， ， ， ，即 ； Ⅱ 由 增大到 过程中，当 时， 同理可求 ， ． 综上所述，当 时， 或 ． 如图3， 当旋转到、、 在一条直线上时， 的长最大， 正方形BD 的边长为1， ， ， ， ， ， ， 此时 ． 【变式训练3】在正方形BD 中，点E、F 分别在边B、D 上，且∠EF=∠EF=45° (1)将△DF 绕点顺时针旋转90 °，得到△BG(如图1)，求证：BE+DF=EF； (2)若直线EF 与B、D 的延长线分别交于点M、(如图2)，求证： (3)将正方形改为长与宽不相等的矩形，其余条件不变(如图3)，直接写出线段EF、BE、DF 之间的数量关系． 【答】(1)见解析；(2)见解析；(3) =2 ． 【详解】(1)证明：∵△DF 绕着点顺时针旋转90°，得到△BG， ∴F=G，∠FG=90°， ∵∠EF=45°，∴∠GE=45°， 在△GE 与△FE 中， ，∴△GE≌△FE(SS)； (2)证明：设正方形BD 的边长为． 将△DF 绕着点顺时针旋转90°，得到△BG，连结GM． 则△DF≌△BG，DF=BG． 由(1)知△EG≌△EF，∴EG=EF． ∵∠EF=45°，∴△BME、△DF、△EF 均为等腰直角三角形， ∴E=F，BE=BM，F= DF，∴-BE=-DF，∴BE=DF，∴BE=BM=DF=BG，∴∠BMG=45°， ∴∠GME=45°+45°=90°，∴EG2=ME2+MG2， ∵EG=EF，MG= BM= DF=F，∴EF2=ME2+F2； (3)解：EF2=2BE2+2DF2． 如图所示，延长EF 交B 延长线于M 点，交D 延长线于点， 将△DF 绕着点顺时针旋转90°，得到△G，连结M，E． 由(1)知△E≌△EF， 则由勾股定理有(G+BE)2+BG2=E2， 即(G+BE)2+(BM-GM)2=E2 又∴EF=E，DF=G=GM，BE=BM，所以有(G+BE)2+(BE-G)2=EF2， 即2(DF2+BE2)=EF2 【变式训练4】在▱BD 中，∠BD 的平分线交直线B 于点E，交直线D 于点F (1)在图1 中证明E=F； (2)若∠B=90°，G 是EF 的中点(如图2)，直接写出∠BDG 的度数； (3)若∠B=120°，FG E，FG=E，分别连接DB、DG(如图3)，求∠BDG 的度数． 【答】(1)见解析；(2)45°；(3)见解析 【详解】(1)证明：如图1， ∵F 平分∠BD，∴∠BF=∠DF， ∵四边形BD 是平行四边形，∴D B，B D，∴∠DF=∠EF，∠BF=∠F， ∴∠EF=∠F．∴E=F． (2)解：连接G、BG， ∵四边形BD 为平行四边形，∠B=90°，∴四边形BD 为矩形， ∵F 平分∠BD，∴∠DF=∠BF=45°， ∵∠DB=90°， ，∴∠DF=45°，∠EF=90°∴△EF 为等腰直角三角形， ∵G 为EF 中点，∴EG=G=FG，G⊥EF， ∵△BE 为等腰直角三角形，B=D，∴BE=D， ∵∠EF=∠GF=45°，∴∠BEG=∠DG=135° 在△BEG 与△DG 中，∵ ，∴△BEG≌△DG，∴BG=DG， ∵G⊥EF，∴∠DG+∠DG=90°， 又∵∠DG=∠BG，∴∠BG+∠DG=9