专题03 特殊平行四边形中的三种几何动点问题（解析版）

专题03 特殊平行四边形中的三种几何动点问题 类型一、面积问题 例．如图，在四边形 中， ， ， ， ．点 从点 出发， 以每秒 的速度沿折线 方向运动，点 从点 出发，以每秒 的速度沿线段 方向向点 运动． 已知动点 ， 同时发，当点 运动到点 时， ， 运动停止，设运动时间为． (1)直接写出 的长（m）； (2)当四边形 为平行四边形时，直接写出四边形 的周长（m）； (3)在点 、点 的运动过程中，是否存在某一时刻，使得 的面积为 ？若存在，请求出所有满 足条件的的值；若不存在，请说明理由． 【答】(1)16 (2) (3)存在，满足条件的的值为 秒或秒 【分析】（1）过点 作 于 ，根据题意证明四边形 是平行四边形，然后根据平行四边形 的性质以及勾股定理可得结果； （2）当四边形 是平行四边形，则点 在 上，点 在 上，则 ， ，根据平 行四边形的性质可得 ，求解得出平行四边形的各边长，求其周长即可； （3）分两种情况进行讨论：①当点 在线段 上时；②当点 在线段 上时；根据三角形面积列方程 计算即可． 【详解】（1）解：如图，过点 作 于 ， ， ， ∴ ， ∵ ， 四边形 是平行四边形， ， 在 中， ， ， 根据勾股定理得， ， ； （2）当四边形 是平行四边形， 则点 在 上，点 在 上， 如图， 由运动知， ， ， ， ， 此时， ， ，根据勾股定理得， ； 四边形 的周长为 ； （3）①当点 在线段 上时，即： 时， 如图 ， ， ； ②当点 在线段 上时，即： 时， 如图 ， ， ， ， 或 （舍）， 即：满足条件的的值为 秒或秒． 【点睛】本题考查了四边形的动点问题，平行四边形的判定与性质，勾股定理，读懂题意，根据相应图形 的性质列出方程是解本题的关键． 【变式训练1】如图，在四边形 中， ， 点P 自点沿折线 以 的速度运动，点Q 自点沿向 以 的速度运动．点P，Q 同时 出发，其中一个点到达终点，另一个点也停止运动．设运动时间为 ． (1)当P 在 边上，点Q 在 边上时，如图1． ①用含t 的代数式表示： ___________， ___________； ②若四边形 是平行四边形，求t 的值？ (2)求 的面积S 与运动时间t 之间的数量关系式，并写出t 的取值范围． 【答】(1)① ； ；② (2) 【分析】（1）①根据路程等于速度乘以时间列代数式即可；② 时，四边形 是平行四边形； （2）求出相关线段的长度，利用三角形面积公式，分情况讨论即可． 【详解】（1）解：①由题意可知 ， ， ∴ ， ； ②当四边形 是平行四边形时， ，即 ， 解得 ． 故答为： ， （2）解：如图，过点D 作 于点E， 则 ， ∴四边形 是矩形， ∴ ， ， ∴ ， ∵ ， ∴ ， ∴ ， ∴ ， ∴点P 运动到点D 时，需12 秒，点P 到点时，需18 秒；点Q 从点到点B 需15 秒，从点B 到点需 秒． 故分三种情况讨论： ①当 时，如图， ； ②当 时，如图，过点P 作 于点， ， 易知 ∴ ， ∴ ， ∴ ， ∴ ； ③当 时，如图， ， ， ∴ ， 综上， ． 【点睛】本题考查列代数式、三角形面积公式、平行四边形的判定、勾股定理、矩形的判定与性质、含30 度角的直角三角形的性质、四边形上的动点问题等，熟练掌握分类讨论思想是解题的关键． 【变式训练2】如图，在矩形BD 中，B=12，B=18，点P 从点出发，以每秒2 个单位长度的速度沿D 边做 往返运动，在点P 出发的同时，点Q 从点B 出发，以每秒1 个单位长度的速度沿B 边向终点(运动，当点Q 到达点时，两点间时停止运动，连接PQ，设运动时间为t(秒)． (1)当t= 4 时，PD 的长度为 (2)当四边形BQP 为矩形时，t 的值为 (3)设四边形BQP 的面积为S，求S 与t 之间的函数关系式； (4)当PQ 所在的直线将矩形BD 分成的两部分的面积比为1 2 ∶时，直接写出t 的值． 【答】(1) (2) (3)S= (4)t= 4 或8 或12 【分析】（1）当t=4 时，P=8，PD=D-P=B-P=18-8=10； （2）当四边形BQP 为矩形时，P=BQ，根据不同的时间段P 的关系式求出t 值即可； （3）由（2）中不同时间段P 的关系式得出S 的分段函数即可； （4）PQ 所在的直线将矩形BD 分成面积比为1：2 的两部分时，可能再两个不同的时间段存在 和 两种可能，根据（3）中面积的函数关系式分段求t 值即可． （1） 解：当t=4 时，P=2t=8， ∴PD=D-P=18-8=10， 故答为10 （2） 解：当四边形BQP 为矩形时，P=BQ， 若0≤t≤9 时，P=2t，则2t=t， 解得t=0（不符合题意，舍去）； 若9＜t≤18 时，P=36-2t，则36-2t=t， 解得t=12； 故答为12 （3） 解：当0<t≤9 时，S= (BQ +P) B = (t+2t)×12= 18t； 当9<t<18 时，S= (BQ +P)．B =- 6t + 216． 综上所述，S = （4） 解：当0≤t≤9 时，若 ，则 = ， 18 ∴ t= ×12×18， 解得t=4； 若 ，则 = ， 18 ∴ t= ×12×18， 解得t=8； 当9＜t≤18 时，若 ，则 = ， -6 ∴ t+216= ×12×18， 解得t=24（舍）； 若 ，则 = ， -6 ∴ t+216= ×12×18， 解得t=12； 综上，当t=4 或8 或12 时，PQ 所在的直线将矩形BD 分成面积比为1：2 两部分． 【点睛】本题主要考查四边形的综合题型，涉及动点问题，矩形的性质，梯形的面积等知识点，会用分类 讨论的思想解决问题是解题的关键． 【变式训练3】如图，在 中， ， 平分 ，过点 作 的平行线交 的延长线于 点 ，连接 ． (1)求证：四边形 是菱形； (2)如果 ， 的长单位：米）是 的两根，求 的长以及菱形 的面积； (3)在（2）的条件下，若动点 从 出发，，沿 以 米秒的速度匀速直线运动到点，动点 从 出发， 沿 以米秒的速度匀速直线运动到点 ，当 运动到 点时，运动停止．若 、 同时出发，问出 发几秒钟后， 的面积为 米2 【答】(1)见解析 (2) 米， 平方米； (3) 秒或 秒 【分析】（1）根据题意，用“一组对边平行且相等的四边形是平行四边形”先判定平行四边形，再用邻 边相等证明菱形； （2）解方程可得 、 的长，用勾股定理可求 ，根据“菱形的面积对应对角线积的一半”计算连线 面积； （3）根据点 、 运动过程中与 点的位置关系，分三种情况分别讨论． 【详解】（1）证明： 平分 ， ， ， 是等腰三角形， ， 又 ， ， 四边形 为平行四边形， 又 ， 四边形 是菱形； （2）解：解方程 ，得， ， ， ， 利用勾股定理 ， ， ∴ 平方米． （3）解：在第(2)问的条件下，设 、 同时出发 秒钟后， 的面积 ， 当点 在 上时， ， ， 解得 (大于2，舍去)； 当点 在 上且点 在 上时， ， ， 整理得， ，此时， ， ∴原方程无解； 当点 在 上且点 在 上时，即 ， ， 整理得， ，解得 (小于3，舍去)． 综上所述： ， 出发秒或 秒钟后，△M 的面积为 ． 【点睛】本题考查了菱形的判定方法，菱形的面积计算方法，分类讨论的数学思想． 类型二、几何图形存在性问题 例1．如图，在 中， ， ， ．点 从点 出发沿 方向以每秒 个单位 长的速度向点匀速运动，同时点 从点 出发沿 方向以每秒个单位长的速度向点 匀速运动，当其中 一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动．设点 运动的时间是秒 ．过点 作 于点 ，连接DE，EF． (1)求 的长； (2)求证： ； (3)当为何值时， 为直角三角形？请说明理由． 【答】(1)B=5，=10； (2)证明见解析 (3)当 秒或 秒时， 为直角三角形，理由见解析 【分析】（1）由直角三角形的性质和勾股定理得出方程，解方程即可； （2）利用已知用未知数表示出DF，F 的长，进而得出 ； （3）利用 当 时； 当 时； 当 时，分别分析得出即可． 【详解】（1）解：设 ， ， ， ． 由勾股定理得， ， 解得： ， ， ； （2）证明：由题意得 ，D=2t， 则 ， 在△DF 中，∠DF=90°，∠=30°，D=2t， ∴ ． 又 ， ； （3）解：当 秒或 秒时， 为直角三角形，理由如下： 分情况讨论： ①∠EDF=∠DF=90°时，则 ， ∴∠ED=∠B=90°，∠DE= =30° ∠ ， ∴D=2E， 10-2 ∴ t=2t， ∴ ； ②∠DEF=90°时， ∵B⊥B，DF⊥B， ∴ ． 又∵E=DF， ∴四边形EFD 为平行四边形， ∴ ， ∴∠DE=∠DEF=60°， ∴∠ED=30°， ∴ ， ∴ ， ∴ ； ③∠EFD=90°时，此种情况不存在． 当 秒或 秒时， 为直角三角形． 【点睛】本题是四边形综合题目，考查了平行四边形的判定、菱形的判定与性质、勾股定理、直角三角形 的性质等知识．理解相关知识是解答关键． 例2．如图，已知正方形 的边长为 ，动点 从点 出发，以 的速度沿 方向向 点 运动，动点 从点 出发，以 的速度沿 方向向点 运动，若 、 两点同时出发运动时 间为 ． (1)连接 、 、 ，求当为何值时， 的面积为 ？ (2)当点P 在 上运动时，是否存在这样的t 使得 是以 为一腰的等腰三角形？若存在，请求出 符合条件的t 的值；若不存在，请说明理由． 【答】(1)1 秒或 秒 (2)存在， 秒或 秒 【分析】（1）根据正方形的性质和面积公式，利用割补法即可求解； （2）根据勾股定理、等腰三角形的性质得出一元二次方程，分情况讨论以 为腰的等腰三角形即可说明． 【详解】（1）解：当 在 上时 如图：根据题意，得 ， ， ， ， ， 整理，得 ， 解得 ． 当 在 上时，此时 答：当为1 秒或 秒时， 的面积为 ． （2）①当 时，根据勾股定理，得 ， 解得 ， （不符合题意，舍去）． ②当 时，根据勾股定理，得 ，整理得： 解得 ， （不符合题意，舍去）． 答：存在这样的 秒或 秒，使得 是以 为一腰的等腰三角形． 【点睛】本题考查了正方形、一元二次方程、等腰三角形的相关知识，解决本题的关键是分类讨论思想的 运用． 例3．如图，在四边形BD 中，D∥B，∠B＝90°，B＝8m，D＝12m，B＝18m，点P 从点出发以1m/s 的速度 向点D 运动；点Q 从点同时出发，以2m/s 的速度向点B 运动，当点Q 到达点B 时，点P 也停止运动，设 点P，Q 运动的时间为ts． (1)从运动开始，当t 取何值时，PQ∥D？ (2)在整个运动过程中是否存在t 值，使得四边形PQD 是菱形？若存在，请求出t 值；若不存在，请说明理 由； (3)从运动开始，当t 取何值时，四边形PQB 是矩形？ (4)在整个运动过程中是否存在t 值，使得四边形PQB 是正方形？若存在，请求出t 值；若不存在，请说明 理由． 【答】(1)4 (2)不存在，理由见解析 (3)6 (4)不存在，理由见解析 【分析】（1）利用平行四边形的判定和性质进行求解即可； （2）利用菱形的判定和性质进行求解即可； （3）利用矩形的判定和性质进行求解即可； （4）利用正方形的判定和性质进行求解即可． （1） 解：由运动知，P＝tm，Q＝2tm， ∴DP＝D﹣P＝（12﹣t）m， ∵ ，要 ， ∴四边形DPQ 为平行四边形， ∴DP＝Q， 12 ∴ ﹣t＝2t， ∴t＝4， 即t＝4 时，PQ D； （2） 不存在，理由： ∵四边形PQD 是菱形， ∴Q＝D， 2 ∴t＝10， ∴t＝5， 此时，DP＝D﹣P＝12 5 ﹣＝7（m）， 而DP≠D， ∴四边形PQD 不可能是菱形； （3） 如图4，∵∠B＝90°，D B， ∴当P＝BQ 时，四边形BQP 是矩形， 即t＝18 2 ﹣t， 解得：t＝6， ∴当t＝6 时，四边形PQB 是矩形； （4）由当t＝6 时，四边形PQB 是矩形， ∴P＝6m， ∵B＝8m， ∴P≠B， ∴矩形PQB 不能是正方形， 即不存在时间t，使四边形PQB 是正方形． 【点睛】本题考查四边形中的动点问题．解题的关键是熟练掌握平行四边形、菱形、矩形和正方形的判定 和性质，确定动点的位置． 例4．如图，在菱形 中，对角线 与 交于点 ，且 ， ，现有两动点 ， 分别 从 ， 同时出发，点 沿线段 向终点 运动，点 沿折线 向终点 运动，当其中一点到达 终点时，另一点也随之停止运动，设运动时间为（秒）． (1)填空： ；菱形 的面积 ；菱形的高 ． (2)若点 的速度为每秒个单位，点 的速度为每秒 个单位（其中 ），当 时在平面内存在点 使得以 ， ， ， 为顶点的四边形为菱形，请求出所有满足条件的 的值． 【答】(1) ； ； (2) 或 或 【分析】（1）先由菱形的性质和勾股定理求得B，再跟菱形面积为对角线之积的一半可得S，最后根据菱 形的面积为边长×高，由此可得高的长； （2）当 ，时间固定，M 的长度也就固定，、M、、E 四点要形成菱形，分两大类情况，第一类以M 为边，这种情况可以画两种菱形；第二类以M 为对角线，只有一种．因此共三种情况，分别计算． 【详解】（1）解：∵四边形BD 是菱形，与BD 交于点， ， ∴ ， ∴B=5， 设菱形的高为, 则菱形BD 的面积为 ∴ 故答为：， ， （2）解：当 时， ， ①如图 ，四边形 为菱形， ， ， ， ． ②如图， 为菱形， 交 于点 ，作 垂直 于 ， 菱形面积为 ， ， ， ， ， ， ， ， ， ③如图 ， 为菱形， 交 于点 ，作 垂直 于，则 ， ， ， ， ， ； 综上所述， 的取值有 或 或 ． 【点睛】本题主要考查了菱形的性质、三角函数、勾股定理、面积计算，分类讨论等重要知识点，综合性 和技巧性很强，计算量也较大，对学生的能力要求较高，因此综合应用所学知识成为解答本题的关键． 类型三、直线位置关系问题 例1．如图，在 中， ， ， ，点D 是边 的中点，动点P 从点出发以 每秒1 个单位的速度沿 向终点运动，过点P 作 交折线 于点Q（点Q 不与点D 重合）， 以 、 为邻边构造平行四边形 ，设点P 的运动时间为t 秒． (1)直接写出 的长． (2)当点Q 落在 边上时，用含t 的代数式表示 的长． (3)当平行四边形 为轴对称图形时求t 的值． (4)连接 ，当 与 的某条边平行时，直接写出t 的值． 【答】(1)3 (2) 或 (3) 、 或 (4) 或 【分析】（1）根据勾股定理直接求出 的长度； （2）分类讨论Q 在 和 上的两种情况， 或 ； （3）当平行四边形 为菱形或矩形时即为轴对称图形，因为 ，所以当Q 在 上时， 不可能为直角，平行四边形 不可能为矩形，只存在菱形的情况，根据 建立等量解 出t 值；当Q 在 上时，表示出 的长度较为复杂，所以可以表示出 ，利用 建立方程 解出t 值；当Q 点在 中点时，平行四边形 为矩形，可直接求得t 值； （4）因为平行四边形 的四个顶点顺序已经确定，所以Q 在过点D 的 平行线的下方，分类讨论 Q 在 上和在 （见详解图）上的两种况下 平行于不同边时的情况，注意，根据平行线的定义，当 Q 在 上时， 不可能平行于 ，当Q 在 上时， 不可能平行于 ． 【详解】（1）解：在 中， ， ； （2）解： P 从点出发以每秒1 个单位的速度沿 向终点运动， ， ， ， ， ， ， 点D 是边 的中点， ， 或 ； （3）解：当平行四边形 为菱形或矩形时即为轴对称图形， 或平行四边形 某一内角为 ， ①当Q 在 上时， ，由（1）得 ， 或 ， 或 ， 解得 或 ， ， ； Q 在 上时， 不可能为 ，故不存在矩形的情况； ②如图，当Q 在 上时， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 当 时，平行四边形 为菱形， ， 解得 ， ， ； 当Q 点在 中点时，平行四边形 为矩形， 此时 ， 解得 ； 综上所述：当平行四边形 为轴对称图形时，t 的值为 、 或 ； （4）解： 平行四边形 ， Q 在过点D 的 平行线的下方， ①如图，Q 在 上， ， 时，易得 ， 平行四边形 ， ， 由（1）得 ， ， 解得 ； ②如图，Q 在 上， ， 时， 易得 ， ， 解得 （舍）； ③过点D 的平行线交 于点，点Q 在 上移动才可能会出现平行四边形 的对角线 平行于 直角三角形的边，此时 ，如图，当 时，延长 交 于点， 平行四边形 ， 且 ， ， 四边形 为矩形， ， ，解得 ； 不存在 的情况； 综上所述：当 与 的某条边平行时，t 的值为 或 ． 【点睛】本题考查了几何动点问题，涉及到相似、平行线的性质、平行四边形以及特殊的平行四边形的性 质和判定，还会用到分类讨论的思想，难度较大，解决本题的关键是能准确找到不同的情况并对问题进行 分类讨论． 例2．如图，在 中， ， ，连接 ，恰有 ，过点 作 于 点 ．动点 从点 出发沿 以 的速度向终点 运动，同时点 从点 出发，以 的速度沿 射线 运动，当点 到达终点时，点 也随之停止运动，设点 运动的时间为 ． (1)分别求 和 的长度； (2)连接 ，当 时，判断 与 是否垂直，并说明理由； (3)试判断是否存在t 的值，使得以P，Q，，D 为顶点的四边形为平行四边形？若存在，求出t 的值；若不 存在，请说明理由； (4)若点 关于直线 对称的点恰好落在直线 上，请直接写出点 ， 之间的距离． 【答】(1) ， (2) ，理由见详解 (3)存在，的值为 或4 (4) 或 【分析】（1）可求出 ，根据含 的直角三角形的性质可得 ， ，根据平行四边形的性质可得 ，则 ，即可得 ， ，即可求解； （2）先证四边形 是平行四边形，可得四边形 是矩形，即可得出结论； （3）分两种情况讨论，由平行四边形的性质可得 ，列出方程可求解； （4）分两种情况讨论，由轴对称的性质和等边三角形的性质以及勾股定理可求解． 【详解】（1） 四边形 是平行四边形， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ； （2） ，理由如下： 如图1， 动点 从点 出发沿 以 的速度向终点 运动，同时点 从点 出发，以 的速度沿射线 运动， 当 时， ， ， ， ， 四边形 是平行四边形， ， 四边形 是矩形， ；