题型11 综合探究题 类型2 与动点有关的探究题（专题训练）（教师版）

更多资料添加微信号：DEM2008 淘宝搜索店铺：星哲育 址：sp432575988tbm 类型二 与动点有关的探究题（专题训练） 1．（2023·浙江绍兴·统考中考真题）在平行四边形 中（顶点 按逆时针方向 排列）， 为锐角，且 ． (1)如图1，求 边上的高 的长． (2) 是边 上的一动点，点 同时绕点 按逆时针方向旋转 得点 ． ①如图2，当点 落在射线 上时，求 的长． ②当 是直角三角形时，求 的长． 【答】(1)8 (2)① ；② 或 【分析】（1）利用正弦的定义即可求得答； （2）①先证明 ，再证明 ，最后利用相似三角形对应边 成比例列出方程即可； ②分三种情况讨论完成，第一种： 为直角顶点；第二种： 为直角顶点；第三种， 为直角顶点，但此种情况不成立，故最终有两个答． 【详解】（1）在 中， ， 在 中， ． （2）①如图1，作 于点 ，由（1）得， ，则 ， 1 更多资料添加微信号：DEM2008 淘宝搜索店铺：星哲育 址：sp432575988tbm 作 交 延长线于点 ，则 ， ∴ ． ∵ ∴ ． 由旋转知 ， ∴ ． 设 ，则 ． ∵ ， ∴ ， ∴ ， ∴ ，即 ， ∴ ， ∴ ． ②由旋转得 ， ， 又因为 ，所以 ． 情况一：当以 为直角顶点时，如图2． 1 更多资料添加微信号：DEM2008 淘宝搜索店铺：星哲育 址：sp432575988tbm ∵ ， ∴ 落在线段 延长线上． ∵ ， ∴ ， 由（1）知， ， ∴ ． 情况二：当以 为直角顶点时，如图3． 设 与射线 的交点为 ， 作 于点 ． ∵ ， ∴ ， ∵ ， ∴ ， ∴ ． 又∵ ， ∴ ， 1 更多资料添加微信号：DEM2008 淘宝搜索店铺：星哲育 址：sp432575988tbm ∴ ． 设 ，则 ， ∴ ∵ ， ∴ ， ∴ ， ∴ ， ∴ ， 化简得 ， 解得 ， ∴ ． 情况三：当以 为直角顶点时， 点 落在 的延长线上，不符合题意． 综上所述， 或 ． 【点睛】本题考查了平行四边形的性质，正弦的定义，全等的判定及性质，相似的判定及 性质，理解记忆相关定义，判定，性质是解题的关键． 2 在数学兴趣小组活动中，小亮进行数学探究活动． （1） 是边长为3 的等边三角形，E 是边 上的一点，且 ，小亮以 为 边作等边三角形 ，如图1，求 的长； 1 更多资料添加微信号：DEM2008 淘宝搜索店铺：星哲育 址：sp432575988tbm （2） 是边长为3 的等边三角形，E 是边 上的一个动点，小亮以 为边作等 边三角形 ，如图2，在点E 从点到点的运动过程中，求点F 所经过的路径长； （3） 是边长为3 的等边三角形，M 是高 上的一个动点，小亮以 为边作等 边三角形 ，如图3，在点M 从点到点D 的运动过程中，求点所经过的路径长； （4）正方形 的边长为3，E 是边 上的一个动点，在点E 从点到点B 的运动过 程中，小亮以B 为顶点作正方形 ，其中点F、G 都在直线 上，如图4，当点E 到达点B 时，点F、G、与点B 重合．则点所经过的路径长为______，点G 所经过的路径 长为______． 1 更多资料添加微信号：DEM2008 淘宝搜索店铺：星哲育 址：sp432575988tbm 【答】（1）1；（2）3；（3） ；（4） ； 【分析】 （1）由 、 是等边三角形， ， ， ，可 证 即可； （2）连接 ， 、 是等边三角形，可证 ，可得 ，又点 在 处时， ，点 在处时，点 与 重合．可得点 运动的路径的长 ； （3）取 中点 ，连接 ，由 、 是等边三角形，可证 ，可得 ．又点 在 处时， ，点 在 处时，点 与 重合．可求点 所经过的路径的长 ； （4）连接G , ，B，由∠G=90°，点G 在以中点为圆心，为直径的 上运动，由四边 形BD 为正方形，B 为边长，设=x，由勾股定理 即，可求 ， 点G 所经过的路径长为 长= ，点所经过的路径长为 的长 ． 【详解】 1 更多资料添加微信号：DEM2008 淘宝搜索店铺：星哲育 址：sp432575988tbm 解:（1）∵ 、 是等边三角形， ∴ ， ， ． ∴ ， ∴ ， ∴ ， ∴ ； （2）连接 ， ∵ 、 是等边三角形， ∴ ， ， ． ∴ ， ∴ ， ∴ ， ∴ ， ， ∵ ， ∴ ， ∴ ， 又点 在 处时， ，点 在处时，点 与 重合． ∴点 运动的路径的长 ； 1 更多资料添加微信号：DEM2008 淘宝搜索店铺：星哲育 址：sp432575988tbm （3）取 中点 ，连接 ， ∴ ， ∴ ， ∵ ， ∴ ， ∴ ， ∵ 、 是等边三角形， ∴ ， ， ∴ ， ∴ ， ∴ ， 1 更多资料添加微信号：DEM2008 淘宝搜索店铺：星哲育 址：sp432575988tbm ∴ ， ， ∴ ， 又点 在 处时， ，点 在 处时，点 与 重合， ∴点 所经过的路径的长 ； （4）连接G , ，B， ∠G=90° ∵ ， ∴点G 在以中点为圆心，为直径的 上运动， ∵四边形BD 为正方形，B 为边长， ∠B=90° ∴ ，设=x， 由勾股定理 即 ， ∴ ， 点G 所经过的路径长为 长= ， 点在以B 中点为圆心，B 长为直径的弧 上运动， 点所经过的路径长为 的长度， ∵点G 运动圆周的四分之一， ∴点也运动圆周的四分一， 点所经过的路径长为 的长= ， 故答为 ； ． 1 更多资料添加微信号：DEM2008 淘宝搜索店铺：星哲育 址：sp432575988tbm 【点睛 本题考查等边三角形的性质，三角形全等判定与性质，勾股定理，90°圆周角所对弦是直 径，圆的弧长公式，掌握等边三角形的性质，三角形全等判定与性质，勾股定理，90°圆 周角所对弦是直径，圆的弧长公式是解题关键． 3．（2023·湖南郴州·统考中考真题）已知 是等边三角形，点 是射线 上的一个 动点，延长 至点 ，使 ，连接 交射线 于点 ． (1)如图1，当点 在线段 上时，猜测线段 与 的数量关系并说明理由； (2)如图2，当点 在线段 的延长线上时， ①线段 与 的数量关系是否仍然成立？请说明理由； ②如图3，连接 ．设 ，若 ，求四边形 的面积． 【答】(1) ，理由见解析 (2)①成立，理由见解析② 【分析】（1）过点 作 ，交 于点 ，易得 ，证明 ， 1 更多资料添加微信号：DEM2008 淘宝搜索店铺：星哲育 址：sp432575988tbm 得到 ，即可得出结论． （2）①过点 作 ，交 的延长线于点 ，易得 ，证明 ， 得到 ，即可得出结论；②过点 作 ，交 的延长线于点 ，过 点 作 ，交 于点 ，交 于点 ，根据已知条件推出 ，得到 ，证明 ，得到 ，求出 的长，利用四边形 的面积为 进行求解即可． 【详解】（1）解： ，理由如下： ∵ 是等边三角形， ∴ ， 过点 作 ，交 于点 ， ∴ ， ， ∴ 为等边三角形， ∴ ， ∵ ， ， ∴ ， ， 又 ， 1 更多资料添加微信号：DEM2008 淘宝搜索店铺：星哲育 址：sp432575988tbm ∴ ， ∴ ， ∴ ； （2）①成立，理由如下： ∵ 是等边三角形， ∴ ， 过点 作 ，交 的延长线于点 ， ∴ ， ， ∴ 为等边三角形， ∴ ， ∵ ， ， ∴ ， ， 又 ， ∴ ， ∴ ， ∴ ； ②过点 作 ，交 的延长线于点 ，过点 作 ，交 于点 ，交 于点 ，则： ， 1 更多资料添加微信号：DEM2008 淘宝搜索店铺：星哲育 址：sp432575988tbm 由①知： 为等边三角形， ， ， ∵ 为等边三角形， ∴ ， ∴ ， ∵ ， ∴ ， ∴ ， ∴ ， ∵ ， ∴ ， ， ∴ ， ∴ ， ∴ ， 设 ，则： ， ， ∴ ， ∵ ， ∴ ， 1 更多资料添加微信号：DEM2008 淘宝搜索店铺：星哲育 址：sp432575988tbm ∴ ，即： ②， 联立①②可得： （负值已舍去）， 经检验 是原方程的根， ∴ ， ， ， ∴ ， ∴ ， ∵ ， ∴ ， ∴四边形 的面积为 ． 【点睛】本题考查等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性 质，解直角三角形．本题的综合性强，难度大，属于中考压轴题，解题的关键是添加辅助 线构造特殊三角形，全等和相似三角形． 4（2021·浙江中考真题）已知在 中， 是 的中点， 是 延长线上的一 点，连结 ． 1 更多资料添加微信号：DEM2008 淘宝搜索店铺：星哲育 址：sp432575988tbm （1）如图1，若 ，求 的长． （2）过点 作 ，交 延长线于点 ，如图2 所示．若 ，求证： ． （3）如图3，若 ，是否存在实数 ，当 时， ？若 存在，请直接写出 的值；若不存在，请说明理由． 【答】（1） ；（2）见解析；（3）存在， 【分析】 （1）先解直角三角形B 得出 ，从而得出 是等边三角形，再解直角三角 形P 即可求出的长，进而得出B 的长； （2）连结 ，先利用S 证出 ，得出E=2PE，=DE，再得出 是 等边三角形，然后由SS 得出 ，得出E=B 即可得出结论； （3）过点 作 ，交 延长线于点 ，连接BE，过作G⊥B 于G，过E 作 E⊥B 于，由（2）得E=2P，DE=，再证明 ，从而得出 得出DE=BE，然后利用勾股定理即可得出m 的值． 【详解】 （1）解 ， 1 更多资料添加微信号：DEM2008 淘宝搜索店铺：星哲育 址：sp432575988tbm ， ， ， 是等边三角形， 是 的中点， ， 在 中， ， ， ． （2）证明：连结 ， ， ， ， ， ， ， ， 1 更多资料添加微信号：DEM2008 淘宝搜索店铺：星哲育 址：sp432575988tbm 又 ， ， 是等边三角形， ， ， 又 ， ， ， ． （3）存在这样的 ． 过点 作 ，交 延长线于点 ，连接BE，过作G⊥B 于G，过E 作E⊥B 于， 则 ， ， 由（2）得E=2P，DE=， G=E ∴ ， ∵ ， E=B ∴ ， ∠E=∠BG=90° ∵ ， 1 更多资料添加微信号：DEM2008 淘宝搜索店铺：星哲育 址：sp432575988tbm ， ∠E=∠BG ∴ E=B ∵ ，B=B， ∴ =BE ∴ ， DE=BE ∴ ， ∠EDB=∠EBD=45° ∴ ， ∠DEB=90° ∴ ， ∴ ， ∵ ∴ 【点睛】 本题属于三角形综合题，考查了解直角三角形，全等三角形的性质与判定，等边三角形和 等腰三角形的性质、勾股定理，解题的关键是合理添加辅助线，有一定的难度． 5．（2023·辽宁大连·统考中考真题）综合与实践 问题情境：数学活动课上，王老师给同学们每人发了一张等腰三角形纸片探究折叠的性质． 已知 ，点 为 上一动点，将 以 为对称轴翻折．同学们经过 思考后进行如下探究： 独立思考：小明：“当点 落在 上时， ．” 小红：“若点 为 中点，给出 与 的长，就可求出 的长．” 实践探究：奋进小组的同学们经过探究后提出问题1，请你回答： 1 更多资料添加微信号：DEM2008 淘宝搜索店铺：星哲育 址：sp432575988tbm 问题1：在等腰 中， 由 翻折得到． （1）如图1，当点 落在 上时，求证： ； （2）如图2，若点 为 中点， ，求 的长． 问题解决：小明经过探究发现：若将问题1 中的等腰三角形换成 的等腰三角形， 可以将问题进一步拓展． 问题2：如图3，在等腰 中， ．若 ， 则求 的长． 【答】（1）见解析；（2） ；问题2： 【分析】（1）根据等边对等角可得 ，根据折叠以及三角形内角和定理，可得 ，根据邻补角互补可得 ，即可得证； （2）连接 ，交 于点 ，则 是 的中位线，勾股定理求得 ，根据 即可求解； 问题2：连接 ，过点 作 于点 ，过点 作 于点 ，根据已知条 件可得 ，则四边形 是矩形，勾股定理求得 ，根据三线合一得出 ，根据勾股定理求得 的长，即可求解． 【详解】（1）∵等腰 中， 由 翻折得到 ∴ ， ， ∵ ， ∴ ； 1 更多资料添加微信号：DEM2008 淘宝搜索店铺：星哲育 址：sp432575988tbm （2）如图所示，连接 ，交 于点 ， ∵折叠， ∴ ， ， ， ， ∵ 是 的中点， ∴ ， ∴ ， 在 中， ， 在 中， ， ∴ ； 问题2：如图所示，连接 ，过点 作 于点 ，过点 作 于点 ， ∵ ， ∴ ， ， 1 更多资料添加微信号：DEM2008 淘宝搜索店铺：星哲育 址：sp432575988tbm ∵ ， ∴ ， ∴ ， ∴ ， 又 ， ∴四边形 是矩形， 则 ， 在 中， ， , ， ∴ ， 在 中， ， ∴ ， 在 中， ． 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，折叠的性质，勾股定理，矩形的性质与判定，熟 练掌握以上知识是解题的关键． 6（2021·浙江中考真题）问题：如图，在 中， ， ， ， 的平分线E，BF 分别与直线D 交于点E，F，求EF 的长． 答： ． 探究：（1）把“问题”中的条件“ ”去掉，其余条件不变． ①当点E 与点F 重合时，求B 的长； ②当点E 与点重合时，求EF 的长． （2）把“问题”中的条件“ ， ”去掉，其余条件不变，当点，D，E，F 1 更多资料添加微信号：DEM2008 淘宝搜索店铺：星哲育 址：sp432575988tbm 相邻两点间的距离相等时，求 的值． 【答】（1）①10；②5；（2） ， ， 【分析】 （1）①利用平行四边形的性质和角平分线的定义先分别求出 ， ，即可完成求解； ②证明出 即可完成求解； （2）本小题由于E、F 点的位置不确定，故应先分情况讨论，再根据每种情况，利用 ， 以及点 ，D，E，F 相邻两点间的距离相等建立相等关系求解即可． 【详解】 （1）①如图1，四边形BD 是平行四边形， ， ． 平分 ， ． ． ． 同理可得： ． 1 更多资料添加微信号：DEM2008 淘宝搜索店铺：星哲育 址：sp432575988tbm 点E 与点F 重合， ． ②如图2，点E 与点重合， 同理可证 ， ▱BD ∴ 是菱形， ， 点F 与点D 重合， ． （2）情况1，如图3， 可得 ， ． 1 更多资料添加微信号：DEM2008 淘宝搜索店铺：星哲育 址：sp432575988tbm 情况2，如图4， 同理可得， ， 又 ， ． 情况3，如图5， 由上，同理可以得到 ， 又 ， ． 1 更多资料添加微信号：DEM2008 淘宝搜索店铺：星哲育 址：sp432575988tbm 综上： 的值可以是 ， ， ． 【点睛】 本题属于探究型应用题，综合考查了平行四边形的性质、角平分线的定义、菱形的判定与 性质等内容，解决本题的关键是读懂题意，正确画出图形，建立相等关系求解等，本题综 合性较强，要求学生有较强的分析能力，本题涉及到的思想方法有分类讨论和数形结合的 思想等． 7．（2023·重庆·统考中考真题）在 中， ， ，点 为线段 上一动点，连接 ． (1)如图1，若 ， ，求线段 的长． (2)如图2，以 为边在 上方作等边 ，点 是 的中点，连接 并延长，交 的延长线于点 ． 若 ，求证： ． (3)在 取得最小值的条件下，以 为边在 右侧作等边 ．点 为 所在直线 上一点，将 沿 所在直线翻折至 所在平面内得到 ． 连接 ，点 为 的中点，连接 ，当 取最大值时，连接 ，将 沿 所在直线翻折至 所在平面内得到 ，请直接写出此时 的值． 【答】(1) (2)见解析 (3) 【分析】（1）解 ，求得 ，根据 即可求解； 1 更多资料添加微信号：DEM2008 淘宝搜索店铺：星哲育 址：sp432575988tbm （2）延长 使得 ，连接 ，可得 ，根据 ，得出 四点共圆，则 ， ， 得出 ，结合已知条件得出 ，可得 ，即可得证； （3）在 取得最小值的条件下，即 ，设 ，则 ， ， 根据题意得出点 在以 为圆心， 为半径的圆上运动，取 的中点，连接 ，则 是 的中位线， 在半径为 的 上运动，当 取最大值时，即 三点共线 时，此时如图，过点 作 于点 ，过点 作 于点 ，连接 ，交 于 点 ，则四边形 是矩形，得出 是 的中位线，同理可得 是 的中位 线， 是等边三角形，将 沿 所在直线翻折至 所在平面内得到 ， 则 ，在 中，勾股定理求得 ，进而即可求解． 【详解】（1）解：在 中， ， ， ∴ ， ∵ ， ∴ ； （2）证明：如图所示，延长 使得 ，连接 ， 1 更多资料添加微信号：DEM2008 淘宝搜索店铺：星哲育 址：sp432575988tbm ∵ 是 的中点则 ， ， ， ∴ ， ∴ ， ∴ ， ∴ ∵ 是等边三角形， ∴ ， ∵ ， ∴ 四点共圆， ∴ ， ， ∴ ， ∵ ， ∴ ， ∴ ， ∴ ； （3）解：如图所示， 在 取得最小值的条件下，即 ， 1 更多资料添加微信号：DEM2008 淘宝搜索店铺：星哲育 址：sp432575988tbm 设 ，则 ， ， ∴ ， ， ∵将 沿 所在直线翻折至 所在平面内得到 ． ∴ ∴点 在以 为圆心， 为半径的圆上运动， 取 的中点，连接 ， 则 是 的中位线， ∴ 在半径为 的 上运动， 当 取最大值时，即 三点共线时，此时如图，过点 作 于点 ，过点 作 于点 ， ∵是 的中点， ∴ ， ∴ 是等边三角形， 则 ， ∴ ， ∵ ， ， ∴ ， ∴ ， ， 1 更多资料添加微信号：DEM2008 淘宝搜索店铺：星哲育 址：sp432575988tbm ∵ ， ∴ ， 如图所示，连接 ，交 于点 ，则四边形 是矩形， ∴ ， 是 的中点， ∴ 即 是 的中位线，同理可得 是 的中位线， ∴ ， ∵ 是等边三角形，将 沿 所在直线翻折至 所在平面内得到 ， ∴ ∴ 则 在 中， ∴ ． 1 更多资料添加微信号：DEM2008 淘宝搜索店铺：星哲育 址：sp432575988tbm 【点睛】本题考查了解直角三角形，全等三角形的性质与判定，等腰三角形的性质，三角 形中位线的性质，折叠的性质，圆外一点到圆上距离的最