题型11 综合探究题 类型1 非动态探究题（专题训练）（学生版）

更多资料添加微信号：DEM2008 淘宝搜索店铺：星哲育 址：sp432575988tbm 类型一 非动态探究题（专题训练） 1．（2023·湖北宜昌·统考中考真题）如图，在正方形 中，E，F 分别是边 ， 上的点，连接 ， ， ． (1)若正方形 的边长为2，E 是 的中点． ①如图1，当 时，求证： ； ②如图2，当 时，求 的长； (2)如图3，延长 ， 交于点G，当 时，求证： ． 2(2021·四川省达州市)某数学兴趣小组在数学课外活动中，对多边形内两条互相垂直的线 段做了如下探究： 1 更多资料添加微信号：DEM2008 淘宝搜索店铺：星哲育 址：sp432575988tbm 【观察与猜想】 (1)如图1，在正方形ABCD中，点E，F分别是AB，AD上的两点，连接DE，CF， DE⊥CF，则DE CF 的值为______ ； (2)如图2，在矩形ABCD中，AD=7，CD=4，点E是AD上的一点，连接CE，BD，且 CE⊥BD，则CE BD 的值为______ ； 【类比探究】 (3)如图3，在四边形ABCD中，∠A=∠B=90°，点E为AB上一点，连接DE，过点C 作DE的垂线交ED的延长线于点G，交AD的延长线于点F，求证：DE⋅AB=CF ⋅AD； 【拓展延伸】 (4)如图4，在Rt △ABD中，∠BAD=90°，AD=9，tan∠ADB=1 3，将△ABD沿 1 更多资料添加微信号：DEM2008 淘宝搜索店铺：星哲育 址：sp432575988tbm BD翻折，点A落在点C处得△CBD，点E，F分别在边AB，AD上，连接DE，CF， DE⊥CF． ①求DE CF 的值； ②连接BF，若AE=1，直接写出BF的长度． 3．（2023·甘肃武威·统考中考真题）【模型建立】 （1）如图1， 和 都是等边三角形，点 关于 的对称点 在 边上． ①求证： ； ②用等式写出线段 ， ， 的数量关系，并说明理由． 【模型应用】 （2）如图2， 是直角三角形， ， ，垂足为 ，点 关于 的对 称点 在 边上．用等式写出线段 ， ， 的数量关系，并说明理由． 【模型迁移】 （3）在（2）的条件下，若 ， ，求 的值． 1 更多资料添加微信号：DEM2008 淘宝搜索店铺：星哲育 址：sp432575988tbm 4（2021·湖北中考真题）问题提出 如图（1），在 和 中， ， ， ，点 在 内部，直线 与 交于点 ，线段 ， ， 之间存在怎样的数量关系？ 问题探究 （1）先将问题特殊化．如图（2），当点 ， 重合时，直接写出一个等式， 表示 ， ， 之间的数量关系； （2）再探究一般情形．如图（1），当点 ， 不重合时，证明（1）中的结论仍然成立． 问题拓展 如图（3），在 和 中， ， ， （ 是常数），点 在 内部，直线 与 交于点 ，直接写出一 个等式，表示线段 ， ， 之间的数量关系． 1 更多资料添加微信号：DEM2008 淘宝搜索店铺：星哲育 址：sp432575988tbm 5．（2023·湖北武汉·统考中考真题）问题提出：如图（1）， 是菱形 边 上一点， 是等腰三角形， ， 交 于点 ，探究 与 的数量关系． 问题探究： (1)先将问题特殊化，如图（2），当 时，直接写出 的大小； 1 更多资料添加微信号：DEM2008 淘宝搜索店铺：星哲育 址：sp432575988tbm (2)再探究一般情形，如图（1），求 与 的数量关系． 问题拓展： (3)将图（1）特殊化，如图（3），当 时，若 ，求 的值． 6（2021·浙江中考真题）（证明体验） （1）如图1， 为 的角平分线， ，点E 在 上， ． 求证： 平分 ． （思考探究） 1 更多资料添加微信号：DEM2008 淘宝搜索店铺：星哲育 址：sp432575988tbm （2）如图2，在（1）的条件下，F 为 上一点，连结 交 于点G．若 ， ， ，求 的长． （拓展延伸） （3）如图3，在四边形 中，对角线 平分 ，点E 在 上， ．若 ，求 的长． 7．（2023·山东·统考中考真题）（1）如图1，在矩形 中，点 ， 分别在边 ， 上， ，垂足为点 ．求证： ． 1 更多资料添加微信号：DEM2008 淘宝搜索店铺：星哲育 址：sp432575988tbm 【问题解决】 （2）如图2，在正方形 中，点 ， 分别在边 ， 上， ，延长 到 点 ，使 ，连接 ．求证： ． 【类比迁移】 （3）如图3，在菱形 中，点 ， 分别在边 ， 上， ， ， ，求 的长． 8（2021·安徽中考真题）如图1，在四边形BD 中， ，点E 在边B 上， 且 ， ，作 交线段E 于点F，连接BF． （1）求证： ； （2）如图2，若 ， ， ，求BE 的长； （3）如图3，若BF 的延长线经过D 的中点M，求 的值． 1 更多资料添加微信号：DEM2008 淘宝搜索店铺：星哲育 址：sp432575988tbm 9．（2023·黑龙江·统考中考真题）如图①， 和 是等边三角形，连接 ，点 F，G，分别是 和 的中点，连接 ．易证： ． 若 和 都是等腰直角三角形，且 ，如图②：若 和 都是等腰三角形，且 ，如图③：其他条件不变，判断 和 之间的数量关系，写出你的猜想，并利用图②或图③进行证明． 1 更多资料添加微信号：DEM2008 淘宝搜索店铺：星哲育 址：sp432575988tbm 10（2021·湖南中考真题）如图，在 中， ，是 边上的一点，D 为 的中点，过点作 的平行线交 的延长线于T，且 ，连接 ． （1）求证： ； （2）在如图中 上取一点，使 ，作关于边 的对称点M，连接 、 、 、 、 得如图． ①求证： ； ②设 与 相交于点P，求证： ． 1 更多资料添加微信号：DEM2008 淘宝搜索店铺：星哲育 址：sp432575988tbm 11．（2023·广东深圳·统考中考真题）（1）如图，在矩形 中， 为 边上一点， 连接 ， ①若 ，过 作 交 于点 ，求证： ； ②若 时，则 ______． （2）如图，在菱形 中， ，过 作 交 的延长线于点 ，过 作 交 于点 ，若 时，求 的值． （3）如图，在平行四边形 中， ， ， ，点 在 上，且 ，点 为 上一点，连接 ，过 作 交平行四边形 的边于点 ， 若 时，请直接写出 的长． 1 更多资料添加微信号：DEM2008 淘宝搜索店铺：星哲育 址：sp432575988tbm 12（2020•山西）综合与实践 问题情境： 如图①，点E 为正方形BD 内一点，∠EB＝90°，将Rt△BE 绕点B 按顺时针方向旋转 90°，得到△BE′（点的对应点为点）．延长E 交E′于点F，连接DE． 猜想证明： （1）试判断四边形BE'FE 的形状，并说明理由； （2）如图②，若D＝DE，请猜想线段F 与FE'的数量关系并加以证明； 解决问题： （3）如图①，若B＝15，F＝3，请直接写出DE 的长． 1 更多资料添加微信号：DEM2008 淘宝搜索店铺：星哲育 址：sp432575988tbm 13（2020•湘西州）问题背景：如图1，在四边形BD 中，∠BD＝90°，∠BD＝90°，B ＝B，∠B＝120°，∠MB＝60°，∠MB 绕B 点旋转，它的两边分别交D、D 于E、F．探 究图中线段E，F，EF 之间的数量关系． 小李同学探究此问题的方法是：延长F 到G，使G＝E，连接BG，先证明△BG △BE ≌ ，再 证明△BFG △BFE ≌ ，可得出结论，他的结论就是 ； 探究延伸1：如图2，在四边形BD 中，∠BD＝90°，∠BD＝90°，B＝B，∠B＝ 2∠MB，∠MB 绕B 点旋转．它的两边分别交D、D 于E、F，上述结论是否仍然成立？ 请直接写出结论（直接写出“成立”或者“不成立”），不要说明理由； 探究延伸2：如图3，在四边形BD 中，B＝B，∠BD+∠BD＝180°，∠B＝2∠MB， ∠MB 绕B 点旋转．它的两边分别交D、D 于E、F．上述结论是否仍然成立？并说明理由； 实际应用：如图4，在某次军事演习中，舰艇甲在指挥中心（处）北偏西30°的处．舰艇 乙在指挥中心南偏东70°的B 处，并且两舰艇到指挥中心的距离相等，接到行动指令后， 舰艇甲向正东方向以75 海里/小时的速度前进，同时舰艇乙沿北偏东50°的方向以100 海 里/小时的速度前进，12 小时后，指挥中心观测到甲、乙两舰艇分别到达E、F 处．且指 挥中心观测两舰艇视线之间的夹角为70°．试求此时两舰艇之间的距离． 1 更多资料添加微信号：DEM2008 淘宝搜索店铺：星哲育 址：sp432575988tbm 14（2020•扬州）如图1，已知点在四边形BD 的边B 上，且＝B＝＝D＝2，平分 ∠BD，与BD 交于点G，分别与BD、D 交于点E、F． （1）求证：∥D； （2）如图2，若DE＝DF，求AE AF 的值； （3）当四边形BD 的周长取最大值时，求DE DF 的值． 1 更多资料添加微信号：DEM2008 淘宝搜索店铺：星哲育 址：sp432575988tbm 15（2020•南京）如图①，要在一条笔直的路边l 上建一个燃气站，向l 同侧的、B 两个 城镇分别铺设管道输送燃气．试确定燃气站的位置，使铺设管道的路线最短． （1）如图②，作出点关于l 的对称点'，线段'B 与直线l 的交点的位置即为所求，即在点 处建燃气站，所得路线B 是最短的． 为了证明点的位置即为所求，不妨在直线1 上另外任取一点'，连接'、B'，证明+B＜′ +'B．请完成这个证明． （2）如果在、B 两个城镇之间规划一个生态保护区，燃气管道不能穿过该区域．请分别 给出下列两种情形的铺设管道的方（不需说明理由）． ①生态保护区是正方形区域，位置如图③所示； ②生态保护区是圆形区域，位置如图④所示． 16（2020•达州）（1）[阅读与证明] 1 更多资料添加微信号：DEM2008 淘宝搜索店铺：星哲育 址：sp432575988tbm 如图1，在正△B 的外角∠内引射线M，作点关于M 的对称点E（点E 在∠内），连接 BE，BE、E 分别交M 于点F、G． ①完成证明：∵点E 是点关于M 的对称点， ∠GE ∴ ＝90°，E＝，∠1＝∠2． ∵正△B 中，∠B＝60°，B＝， E ∴＝B，得∠3＝∠4． 在△BE 中，∠1+∠2+60°+∠3+∠4＝180°，∴∠1+∠3＝ °． 在△EG 中，∠FEG+∠3+∠1＝90°，∴∠FEG＝ °． ②求证：BF＝F+2FG． （2）[类比与探究] 把（1）中的“正△B”改为“正方形BD”，其余条件不变，如图2．类比探究，可得： ∠FEG ① ＝ °； ②线段BF、F、FG 之间存在数量关系 ． （3）[归纳与拓展] 如图3，点在射线B 上，B＝，∠B＝α（0°＜α＜180°），在∠内引射线M，作点关于M 的对称点E（点E 在∠内），连接BE，BE、E 分别交M 于点F、G．则线段BF、F、 GF 之间的数量关系为 ． 1