题型11 综合探究题（复习讲义）（学生版）

更多资料添加微信号：DEM2008 淘宝搜索店铺：星哲育 址：sp432575988tbm 题型十一综合探究题（复习讲义） 【考点总结|典例分析】 一、命题内容及趋势： (1)从数量角度反映变化规律的函数类题型： (2)以直角坐标系为载体的几何类题型： (3)以“几何变换”为主体的几何类题型： (4)以“存在型探索性问题”为主体的综合探究题： (5)以“动点问题”为主的综合探究题： 二、需要注意的问题及建义： (1)在复习中要更多关注“几何变换”，强化对图形变换的理解。 加强对图形的旋转、平移、对称多种变换的研究，对不同层次的学生进行分层拔高，使每 一个学生都有较大的提升空间。 (2)让学生参与数学思维活动，经历问题解决的整个过程。 复习中应多引导学生运用“运动的观点”来分析图形，要多引导学生学会阅读、审题、获 取信息，养成多角度、多侧面分析问题的习惯，逐步提高学生的数学能力。 (3)要特别重视“函数图像变换型”问题学的研究。 通过开展“函数图像变化”的专题学，树立函数图像间相互转换的思维，尽量减少学生对 函数“数形”认知的欠缺，比如，平时渗透抛物线的轴对称、旋转等知识点。当某个函数 图像经过变换出现多个函数图像时，要引导学生从图形间的相互联系中寻找切入点，排除 1 更多资料添加微信号：DEM2008 淘宝搜索店铺：星哲育 址：sp432575988tbm 识图的干扰，对图像所蕴含的信息进行横向挖掘和纵向突破，将“有效探索”进行到底。 此类试题考查的思路是从知识转向能力，从传统应用转向信息构建，这就提醒我们课堂上 重要的不是讲解，而是点拨、引导、提升，一定要从重视知识积累转向问题探究的过程， 关注学生自主探究能力的培养。 (4)突出数学核心概念、思想、方法的考查。 中学数学核心概念、思想方法是数学知识的精髓，也势必会成为考查综合应用能力的重要 载体，这包括方程、不等式、函数，以及基本几何图形的性质、图形的变化、图形与坐标 知识之间横纵向的联系，也包括中学数学中常用的重要数学思想。如：函数与方程思想、 数形结合、分类讨论思想很化归与转换思想。而数学基本方法是数学的具体表现，具有模 式化和可操作性，常用的基本方法有配方法、换元法、待定系数法、归纳法和割补法。 1．（2023·浙江绍兴·统考中考真题）在平行四边形 中（顶点 按逆时针方向 排列）， 为锐角，且 ． (1)如图1，求 边上的高 的长． (2) 是边 上的一动点，点 同时绕点 按逆时针方向旋转 得点 ． ①如图2，当点 落在射线 上时，求 的长． ②当 是直角三角形时，求 的长． 1 更多资料添加微信号：DEM2008 淘宝搜索店铺：星哲育 址：sp432575988tbm 2(2022·重庆市卷)如图，在锐角△ABC中，∠A=60°，点D，E分别是边AB，AC上 一动点，连接BE交直线CD于点F． (1)如图1，若AB> AC，且BD=CE，∠BCD=∠CBE，求∠CFE的度数； (2)如图2，若AB=AC，且BD=AE，在平面内将线段AC绕点C顺时针方向旋转60°得 到线段CM，连接MF，点N是MF的中点，连接CN .在点D，E运动过程中，猜想线段 BF，CF，CN之间存在的数量关系，并证明你的猜想； (3)若AB=AC，且BD=AE，将△ABC沿直线AB翻折至△ABC所在平面内得到 △ABP，点H是AP的中点，点K是线段PF上一点，将△PHK沿直线HK翻折至△PHK 所在平面内得到△QHK，连接PQ .在点D，E运动过程中，当线段PF取得最小值，且 QK ⊥PF时，请直接写出PQ BC 的值． 1 更多资料添加微信号：DEM2008 淘宝搜索店铺：星哲育 址：sp432575988tbm 3．（2023·甘肃武威·统考中考真题）【模型建立】 （1）如图1， 和 都是等边三角形，点 关于 的对称点 在 边上． ①求证： ； ②用等式写出线段 ， ， 的数量关系，并说明理由． 【模型应用】 （2）如图2， 是直角三角形， ， ，垂足为 ，点 关于 的对 称点 在 边上．用等式写出线段 ， ， 的数量关系，并说明理由． 【模型迁移】 （3）在（2）的条件下，若 ， ，求 的值． 1 更多资料添加微信号：DEM2008 淘宝搜索店铺：星哲育 址：sp432575988tbm 4(2022·广东省深圳市)(1)发现：如图①所示，在正方形ABCD中，E为AD边上一点， 将△AEB沿BE翻折到△BEF处，延长EF交CD边于G点．求证：△BFG≌△BCG； (2)探究：如图②，在矩形ABCD中，E为AD边上一点，且AD=8，AB=6.将△AEB沿 BE翻折到△BEF处，延长EF交BC边于G点，延长BF交CD边于点H，且FH=CH，求 AE的长． (3)拓展：如图③，在菱形ABCD中，AB=6，E为CD边上的三等分点，∠D=60° .将 △ADE沿AE翻折得到△AFE，直线EF交BC于点P，求PC的长． 1 更多资料添加微信号：DEM2008 淘宝搜索店铺：星哲育 址：sp432575988tbm 5．（2023·湖北随州·统考中考真题）1643 年，法国数学家费马曾提出一个著名的几何问题： 给定不在同一条直线上的三个点，B，，求平面上到这三个点的距离之和最小的点的位置， 意大利数学家和物理学家托里拆利给出了分析和证明，该点也被称为“费马点”或“托里 拆利点”，该问题也被称为“将军巡营”问题． (1)下面是该问题的一种常见的解决方法，请补充以下推理过程：（其中①处从“直角”和 “等边”中选择填空，②处从“两点之间线段最短”和“三角形两边之和大于第三边”中 选择填空，③处填写角度数，④处填写该三角形的某个顶点） 当 的三个内角均小于 时， 如图1，将 绕，点顺时针旋转 得到 ，连接 ， 由 ，可知 为 ① 三角形，故 ，又 ，故 ， 由 ② 可知，当B，P， ，在同一条直线上时， 取最小值，如图2，最小值 为 ，此时的P 点为该三角形的“费马点”，且有 ③ ； 已知当 有一个内角大于或等于 时，“费马点”为该三角形的某个顶点．如图 3，若 ，则该三角形的“费马点”为 ④ 点． (2)如图4，在 中，三个内角均小于 ，且 ，已知点P 为 的“费马点”，求 的值； 1 更多资料添加微信号：DEM2008 淘宝搜索店铺：星哲育 址：sp432575988tbm (3)如图5，设村庄，B，的连线构成一个三角形，且已知 ．现欲建一中转站P 沿直线向，B，三个村庄铺设电 缆，已知由中转站P 到村庄，B，的铺设成本分别为元/ ，元/ ， 元/ ，选取合 适的P 的位置，可以使总的铺设成本最低为___________元．（结果用含的式子表示） 6(2022·重庆市B 卷)在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC=2❑ √2，D为BC的中点， E，F分别为AC，AD上任意一点，连接EF，将线段EF绕点E顺时针旋转90°得到线段 EG，连接FG，AG． (1)如图1，点E与点C重合，且GF的延长线过点B，若点P为FG的中点，连接PD，求 PD的长； (2)如图2，EF的延长线交AB于点M，点N在AC上，∠AGN=∠AEG且GN=MF， 求证：AM + AF=❑ √2 AE； (3)如图3，F为线段AD上一动点，E为AC的中点，连接BE，H为直线BC上一动点，连 接EH，将△BEH沿EH翻折至△ABC所在平面内，得到△B' EH，连接B' G，直接写 出线段B' G的长度的最小值． 1 更多资料添加微信号：DEM2008 淘宝搜索店铺：星哲育 址：sp432575988tbm 7．（2023·湖南·统考中考真题）（1）[问题探究] 如图1，在正方形 中，对角线 相交于点．在线段 上任取一点P（端点除 外），连接 ． ①求证： ； ②将线段 绕点P 逆时针旋转，使点D 落在 的延长线上的点Q 处．当点P 在线段 上的位置发生变化时， 的大小是否发生变化？请说明理由； ③探究 与 的数量关系，并说明理由． （2）[迁移探究] 如图2，将正方形 换成菱形 ，且 ，其他条件不变．试探究 与 的数量关系，并说明理由． 1 更多资料添加微信号：DEM2008 淘宝搜索店铺：星哲育 址：sp432575988tbm 8(2021·四川省达州市)某数学兴趣小组在数学课外活动中，对多边形内两条互相垂直的线 段做了如下探究： 【观察与猜想】 (1)如图1，在正方形ABCD中，点E，F分别是AB，AD上的两点，连接DE，CF， DE⊥CF，则DE CF 的值为______ ； (2)如图2，在矩形ABCD中，AD=7，CD=4，点E是AD上的一点，连接CE，BD，且 1 更多资料添加微信号：DEM2008 淘宝搜索店铺：星哲育 址：sp432575988tbm CE⊥BD，则CE BD 的值为______ ； 【类比探究】 (3)如图3，在四边形ABCD中，∠A=∠B=90°，点E为AB上一点，连接DE，过点C 作DE的垂线交ED的延长线于点G，交AD的延长线于点F，求证：DE⋅AB=CF ⋅AD； 【拓展延伸】 (4)如图4，在Rt △ABD中，∠BAD=90°，AD=9，tan∠ADB=1 3，将△ABD沿 BD翻折，点A落在点C处得△CBD，点E，F分别在边AB，AD上，连接DE，CF， DE⊥CF． ①求DE CF 的值； ②连接BF，若AE=1，直接写出BF的长度． 9．（2023·湖南岳阳·统考中考真题）如图1，在 中， ，点 分别为边 的中点，连接 ． 初步尝试：（1） 与 的数量关系是_________， 与 的位置关系是_________． 特例研讨：（2）如图2，若 ，先将 绕点 顺时针旋转 （ 1 更多资料添加微信号：DEM2008 淘宝搜索店铺：星哲育 址：sp432575988tbm 为锐角），得到 ，当点 在同一直线上时， 与 相交于点 ，连接 ． （1）求 的度数； （2）求 的长． 深入探究：（3）若 ，将 绕点 顺时针旋转 ，得到 ，连接 ， ．当旋转角 满足 ，点 在同一直线上时，利用所提供的备用图探 究 与 的数量关系，并说明理由． 10（2021·山西中考真题）综合与实践，问题情境：数学活动课上，老师出示了一个问题： 如图①，在 中， ，垂足为 ， 为 的中点，连接 ， ，试 1 更多资料添加微信号：DEM2008 淘宝搜索店铺：星哲育 址：sp432575988tbm 猜想 与 的数量关系，并加以证明； 独立思考：（1）请解答老师提出的问题； 实践探究：（2）希望小组受此问题的启发，将 沿着 （ 为 的中点）所 在直线折叠，如图②，点 的对应点为 ，连接 并延长交 于点 ，请判断 与 的数量关系，并加以证明； 问题解决：（3）智慧小组突发奇想，将 沿过点 的直线折叠，如图③，点的对 应点为 ，使 于点 ，折痕交 于点 ，连接 ，交 于点 ． 该小组提出一个问题：若此 的面积为20，边长 ， ，求图中阴 影部分（四边形 ）的面积．请你思考此问题，直接写出结果． 1 更多资料添加微信号：DEM2008 淘宝搜索店铺：星哲育 址：sp432575988tbm 11．（2023·湖北黄冈·统考中考真题）【问题呈现】 和 都是直角三角形， ，连接 ， ，探究 ， 的位置关系． (1)如图1，当 时，直接写出 ， 的位置关系：____________； (2)如图2，当 时，（1）中的结论是否成立？若成立，给出证明；若不成立，说明理 由． 【拓展应用】 (3)当 时，将 绕点旋转，使 三点恰好在同一直线上， 求 的长． 1 更多资料添加微信号：DEM2008 淘宝搜索店铺：星哲育 址：sp432575988tbm 12（2021·北京中考真题）在平面直角坐标系 中， 的半径为1，对于点 和线段 ，给出如下定义：若将线段 绕点 旋转可以得到 的弦 （ 分别是 的对应点），则称线段 是 的以点 为中心的“关联线段”． （1）如图，点 的横､纵坐标都是整数．在线段 中， 的以点 为中心的“关联线段”是______________； （2） 是边长为1 的等边三角形，点 ，其中 ．若 是 的以点 为中心的“关联线段”，求的值； （3）在 中， ．若 是 的以点 为中心的“关联线段”，直 接写出 的最小值和最大值，以及相应的 长． 1 更多资料添加微信号：DEM2008 淘宝搜索店铺：星哲育 址：sp432575988tbm 13．（2023·河北·统考中考真题）如图1 和图2，平面上，四边形 中， ，点 在 边上，且 ．将线段 绕 点 顺时针旋转 到 的平分线 所在直线交折线 于点 ，设点 在该折线上运动的路径长为 ，连接 ． (1)若点 在 上，求证： ； (2)如图2．连接 ． ①求 的度数，并直接写出当 时， 的值； ②若点 到 的距离为 ，求 的值； (3)当 时，请直接写出点 到直线 的距离．（用含 的式子表示）． 1 更多资料添加微信号：DEM2008 淘宝搜索店铺：星哲育 址：sp432575988tbm 14（2021·湖南中考真题）如图，在 中，点 为斜边 上一动点，将 沿直线 折叠，使得点 的对应点为 ，连接 ， ， ， ． （1）如图①，若 ，证明： ． （2）如图②，若 ， ，求 的值． （3）如图③，若 ，是否存在点 ，使得 ．若存在，求此时 的值；若不存在，请说明理由． 1 更多资料添加微信号：DEM2008 淘宝搜索店铺：星哲育 址：sp432575988tbm 15．（2023·湖南郴州·统考中考真题）已知 是等边三角形，点 是射线 上的一个 动点，延长 至点 ，使 ，连接 交射线 于点 ． (1)如图1，当点 在线段 上时，猜测线段 与 的数量关系并说明理由； (2)如图2，当点 在线段 的延长线上时， ①线段 与 的数量关系是否仍然成立？请说明理由； ②如图3，连接 ．设 ，若 ，求四边形 的面积． 16（2021·浙江中考真题）（推理） 如图1，在正方形BD 中，点E 是D 上一动点，将正方形沿着BE 折叠，点落在点F 处， 连结BE，F，延长F 交D 于点G． （1）求证： ． （运用） （2）如图2，在（推理）条件下，延长BF 交D 于点．若 ， ，求线段 DE 的长． （拓展） （3）将正方形改成矩形，同样沿着BE 折叠，连结F，延长F，BF 交直线D 于G，两点， 若 ， ，求 的值（用含k 的代数式表示）． 1 更多资料添加微信号：DEM2008 淘宝搜索店铺：星哲育 址：sp432575988tbm 1