题型11 综合探究题 类型3 与折叠有关的探究题（专题训练）（教师版）

更多资料添加微信号：DEM2008 淘宝搜索店铺：星哲育 址：sp432575988tbm 类型三 与折叠有关的探究题（专题训练） 1．（2023·山东枣庄·统考中考真题）问题情境：如图1，在 中， ， 是 边上的中线．如图2，将 的两个顶点B，分别沿 折叠后均与点D 重合，折痕分别交 于点E，G，F，． 猜想证明： (1)如图2，试判断四边形 的形状，并说明理由． 问题解决； (2)如图3，将图2 中左侧折叠的三角形展开后，重新沿 折叠，使得顶点B 与点重合， 折痕分别交 于点M，， 的对应线段交 于点K，求四边形 的面积． 【答】(1)四边形 是菱形，理由见解析 (2)30 【分析】（1）利用等腰三角形的性质和折叠的性质，得到 ，即可得 出结论． （2）先证明四边形 为平行四边形，过点 作 于点 ，等积法得到 的积，推出四边形 的面积 ，即可得解． 【详解】（1）解：四边形 是菱形，理由如下： ∵在 中， ， 是 边上的中线， ∴ ， ∵将 的两个顶点B，分别沿 折叠后均与点D 重合， ∴ ， 1 更多资料添加微信号：DEM2008 淘宝搜索店铺：星哲育 址：sp432575988tbm ∴ ， ∴ ， ∴ ， 同法可得： ， ∴ ， ∵ ， ∴ ， ∴四边形 是菱形； （2）解：∵折叠， ∴ ， ∵ ， ∴ ， ∴ ， ∴ ， ∴四边形 为平行四边形， ∵ ， 由（1）知： ， ， ∴ ， 过点 作 于点 ， 1 更多资料添加微信号：DEM2008 淘宝搜索店铺：星哲育 址：sp432575988tbm ∵ ， ∴ ， ∵四边形 的面积 ， ， ∴四边形 的面积 ． 【点睛】本题考查等腰三角形的性质，折叠的性质，平行线分线段对应成比例，菱形的判 定，平行四边形的判定和性质．熟练掌握相关知识点，并灵活运用，是解题的关键． 2 在我们学习过的数学科书中，有一个数学活动，若身旁没有量角器或三角尺，又需要作 等大小的角，可以采用如下方法： 操作感知： 第一步：对折矩形纸片 ，使 与 重合，得到折痕 ，把纸片展开（如图 13-1）． 第二步：再一次折叠纸片，使点 落在 上，并使折痕经过点 ，得到折痕 ，同时 得到线段 （如图13-2）． 猜想论证： （1）若延长 交 于点 ，如图13-3 所示，试判定 的形状，并证明你的结 论． 拓展探究： （2）在图13-3 中，若 ，当 满足什么关系时，才能在矩形纸片 中剪出符（1）中的等边三角形 ？ 1 更多资料添加微信号：DEM2008 淘宝搜索店铺：星哲育 址：sp432575988tbm 【答】(1) 是等边三角形，理由见解析；（2） ，理由见解析 【分析】 （1）连接 ，由折叠性质可得 是等边三角形， ， ，然后可得到 ，即可判定 是等边 三角形． （2）由折叠可知 ，由（1）可知 ，利用 的三角函数即可求得． 【详解】 （1）解： 是等边三角形， 证明如下： 连接 ． 由折叠可知： ， 垂直平分 ． ∴ ， ∴ ， ∴ 为等边三角形， ∴ ， ∴ ， ∵ ， ， ∴ ， ∴ ， 1 更多资料添加微信号：DEM2008 淘宝搜索店铺：星哲育 址：sp432575988tbm ∴ 是等边三角形． （2）解：方法一： 要在矩形纸片 上剪出等边 ，则 ， 在 中， ， ， ∴ ， ∵ ， ∴ ，即 ， 当 或（ ）时，在矩形纸片上能剪出这样的等边 ． 方法二： 要在矩形纸片 上剪出等边 ，则 ， 在 中， ， ， 设 ，则 ， ∴ ，即 ，得 ， ∴ ， ∵ ， 1 更多资料添加微信号：DEM2008 淘宝搜索店铺：星哲育 址：sp432575988tbm ∴ ，即 ， 当 （或 ）时，在矩形纸片上能剪出这样的等边 ． 【点睛】 本题考查了折叠的性质，及锐角三角函数的应用，正确理解折叠性质灵活运用三角函数解 直角三角形是解本题的关键． 3．（2023·辽宁大连·统考中考真题）综合与实践 问题情境：数学活动课上，王老师给同学们每人发了一张等腰三角形纸片探究折叠的性质． 已知 ，点 为 上一动点，将 以 为对称轴翻折．同学们经过 思考后进行如下探究： 独立思考：小明：“当点 落在 上时， ．” 小红：“若点 为 中点，给出 与 的长，就可求出 的长．” 实践探究：奋进小组的同学们经过探究后提出问题1，请你回答： 问题1：在等腰 中， 由 翻折得到． （1）如图1，当点 落在 上时，求证： ； （2）如图2，若点 为 中点， ，求 的长． 问题解决：小明经过探究发现：若将问题1 中的等腰三角形换成 的等腰三角形， 可以将问题进一步拓展． 问题2：如图3，在等腰 中， ．若 ， 1 更多资料添加微信号：DEM2008 淘宝搜索店铺：星哲育 址：sp432575988tbm 则求 的长． 【答】（1）见解析；（2） ；问题2： 【分析】（1）根据等边对等角可得 ，根据折叠以及三角形内角和定理，可得 ，根据邻补角互补可得 ，即可得证； （2）连接 ，交 于点 ，则 是 的中位线，勾股定理求得 ，根据 即可求解； 问题2：连接 ，过点 作 于点 ，过点 作 于点 ，根据已知条 件可得 ，则四边形 是矩形，勾股定理求得 ，根据三线合一得出 ，根据勾股定理求得 的长，即可求解． 【详解】（1）∵等腰 中， 由 翻折得到 ∴ ， ， ∵ ， ∴ ； （2）如图所示，连接 ，交 于点 ， ∵折叠， ∴ ， ， ， ， ∵ 是 的中点， ∴ ， ∴ ， 1 更多资料添加微信号：DEM2008 淘宝搜索店铺：星哲育 址：sp432575988tbm 在 中， ， 在 中， ， ∴ ； 问题2：如图所示，连接 ，过点 作 于点 ，过点 作 于点 ， ∵ ， ∴ ， ， ∵ ， ∴ ， ∴ ， ∴ ， 又 ， ∴四边形 是矩形， 则 ， 在 中， ， , ， ∴ ， 1 更多资料添加微信号：DEM2008 淘宝搜索店铺：星哲育 址：sp432575988tbm 在 中， ， ∴ ， 在 中， ． 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，折叠的性质，勾股定理，矩形的性质与判定，熟 练掌握以上知识是解题的关键． 4（2021·山西中考真题）综合与实践，问题情境：数学活动课上，老师出示了一个问题： 如图①，在 中， ，垂足为 ， 为 的中点，连接 ， ，试 猜想 与 的数量关系，并加以证明； 独立思考：（1）请解答老师提出的问题； 实践探究：（2）希望小组受此问题的启发，将 沿着 （ 为 的中点）所 在直线折叠，如图②，点 的对应点为 ，连接 并延长交 于点 ，请判断 与 的数量关系，并加以证明； 问题解决：（3）智慧小组突发奇想，将 沿过点 的直线折叠，如图③，点的对 应点为 ，使 于点 ，折痕交 于点 ，连接 ，交 于点 ． 该小组提出一个问题：若此 的面积为20，边长 ， ，求图中阴 影部分（四边形 ）的面积．请你思考此问题，直接写出结果． 1 更多资料添加微信号：DEM2008 淘宝搜索店铺：星哲育 址：sp432575988tbm 【答】（1） ；见解析；（2） ，见解析；（3） ． 【分析】 （1）如图，分别延长 ， 相交于点P，根据平行四边形的性质可得 ，根 据平行线的性质可得 ， ，利用S 可证明△PDF △BF ≌ ，根据全 等三角形的性质可得 ，根据直角三角形斜边中线的性质可得 ，即可 得 ； （2）根据折叠性质可得∠FB=∠′FB= ∠F′，F=F′，可得FD=F′，根据等腰三角形的 性质可得∠FD′=∠F′D，根据三角形外角性质可得∠F′=∠FD′+∠F′D，即可得出 ∠′FB=∠F′D，可得DG//FB，即可证明四边形DGBF 是平行四边形，可得DF=BG= ，可得G=BG； （3）如图，过点M 作MQ⊥′B 于Q，根据平行四边形的面积可求出B 的长，根据折叠的 性质可得′B=B，∠=∠′，∠BM=∠MB，根据 可得′B⊥B，即可证明△MBQ 是 等腰直角三角形，可得MQ=BQ，根据平行四边形的性质可得∠=∠，即可得∠′=∠，进而 可证明△′∽△B，根据相似三角形的性质可得′、的长，根据//MQ 可得△′∽△′MQ，根据相似 三角形的性质可求出MQ 的长，根据S 阴=S△′MB-S△′即可得答． 1 更多资料添加微信号：DEM2008 淘宝搜索店铺：星哲育 址：sp432575988tbm 【详解】 （1） ． 如图，分别延长 ， 相交于点P， ∵四边形 是平行四边形， ∴ ， ∴ ， , ∵ 为 的中点， ∴ ， 在△PDF 和△BF 中， ， △PDF △BF ∴ ≌ ， ∴ ，即 为 的中点， ∴ ， ∵ ， ∴ ， ∴ ， ∴ ． 1 更多资料添加微信号：DEM2008 淘宝搜索店铺：星哲育 址：sp432575988tbm （2） ． ∵将 沿着 所在直线折叠，点 的对应点为 ， ∠FB=∠′FB= ∴ ∠F′， ， ∵ 为 的中点， ∴ ， ∴ ， ∠FD′=∠F′D ∴ ， ∵ =∠FD′+∠F′D， ∴ ， ∠F′D=∠′FB ∴ ， ∴ ， ∵四边形 为平行四边形， 1 更多资料添加微信号：DEM2008 淘宝搜索店铺：星哲育 址：sp432575988tbm ∴ ，D=B， ∴四边形 为平行四边形， ∴ ， ∴ ， ∴ ． （3）如图，过点M 作MQ⊥′B 于Q， ∵ 的面积为20，边长 ， 于点 ， B=50÷5=4 ∴ ， = ∴ ，′=′B-B=1， ∵将 沿过点 的直线折叠，点的对应点为 ， ′B=B ∴ ，∠=∠′，∠BM=∠MB， ∵ 于点 ，B//D， ∴ ， ∠MB=45° ∴ ， △MBQ ∴ 是等腰直角三角形， MQ=BQ ∴ ， ∵四边形BD 是平行四边形， ∠=∠ ∴ ， ∠′=∠ ∴ ， ∠′=∠B ∵ ， △′∽△B ∴ ， ∴ ，即 ， 1 更多资料添加微信号：DEM2008 淘宝搜索店铺：星哲育 址：sp432575988tbm 解得：=2， ∵ ，MQ⊥′B， //MQ ∴ ， △′∽△′MQ ∴ ， ∴ ，即 ， 解得：MQ= ， S ∴ 阴=S△′MB-S△′= ′B·MQ- ′·= ×5× - ×1×2= ． 【点睛】 本题考查折叠的性质、平行四边形的判定与性质、全等三角形的判定与性质及相似三角形 的判定与性质，熟练掌握相关性质及判定定理是解题关键． 5．（2023·广西·统考中考真题）【探究与证明】 折纸，操作简单，富有数学趣味，我们可以通过折纸开展数学探究，探索数学奥秘． 【动手操作】如图1，将矩形纸片 对折，使 与 重合，展平纸片，得到折痕 ；折叠纸片，使点B 落在 上，并使折痕经过点，得到折痕 ，点B，E 的对应点 分别为 ， ，展平纸片，连接 ， ， ． 1 更多资料添加微信号：DEM2008 淘宝搜索店铺：星哲育 址：sp432575988tbm 请完成： (1)观察图1 中 ， 和 ，试猜想这三个角的大小关系； (2)证明（1）中的猜想； 【类比操作】如图2，为矩形纸片 的边 上的一点，连接 ，在 上取一点 P，折叠纸片，使B，P 两点重合，展平纸片，得到折痕 ；折叠纸片，使点B，P 分别落 在 ， 上，得到折痕l，点B，P 的对应点分别为 ， ，展平纸片，连接， ． 请完成： (3)证明 是 的一条三等分线． 【答】(1) (2)见详解 (3)见详解 【分析】（1）根据题意可进行求解； （2）由折叠的性质可知 ， ，然后可得 ，则有 是 等边三角形，进而问题可求证； （3）连接 ，根据等腰三角形性质证明 ，根据平行线的性 1 更多资料添加微信号：DEM2008 淘宝搜索店铺：星哲育 址：sp432575988tbm 质证明 ，证明 ，得出 ， 即可证明 ． 【详解】（1）解：由题意可知 ； （2）证明：由折叠的性质可得： ， ， ， ， ∴ ， ， ∴ 是等边三角形， ∵ ， ， ∴ ， ∵四边形 是矩形， ∴ ， ∴ ， ∴ ； （3）证明：连接 ，如图所示： 由折叠的性质可知： ， ， ， ∵折痕 ， ， ∴ ， ∵四边形 为矩形， ∴ ， ∴ ， 1 更多资料添加微信号：DEM2008 淘宝搜索店铺：星哲育 址：sp432575988tbm ∵ ， ∴ ， ∴ ， ∵在 和 中， ， ∴ ， ∴ ， ∴ ， ∴ ， ∴ 是 的一条三等分线． 【点睛】本题主要考查折叠的性质、线段垂直平分线的性质、等腰三角形的性质与判定及 矩形的性质，三角形全等的判定和性质，作出辅助线，熟练掌握折叠的性质，证明， 是解题的关键． 6(2022·重庆市卷)如图，在锐角△ABC中，∠A=60°，点D，E分别是边AB，AC上 一动点，连接BE交直线CD于点F． (1)如图1，若AB> AC，且BD=CE，∠BCD=∠CBE，求∠CFE的度数； (2)如图2，若AB=AC，且BD=AE，在平面内将线段AC绕点C顺时针方向旋转60°得 到线段CM，连接MF，点N是MF的中点，连接CN .在点D，E运动过程中，猜想线段 BF，CF，CN之间存在的数量关系，并证明你的猜想； (3)若AB=AC，且BD=AE，将△ABC沿直线AB翻折至△ABC所在平面内得到 △ABP，点H是AP的中点，点K是线段PF上一点，将△PHK沿直线HK翻折至△PHK 所在平面内得到△QHK，连接PQ .在点D，E运动过程中，当线段PF取得最小值，且 1 更多资料添加微信号：DEM2008 淘宝搜索店铺：星哲育 址：sp432575988tbm QK ⊥PF时，请直接写出PQ BC 的值． 【答】解：(1)如图1中，在射线CD上取一点K，使得CK=BE， 在△BCE和△CBK中， { BC=CB ∠BCK=∠CBE BE=CK ， ∴△BCE≌△CBK (SAS)， ∴BK=CE，∠BEC=∠BKD， ∵CE=BD， ∴BD=BK， ∴∠BKD=∠BDK=∠ADC=∠CEB， ∵∠BEC+∠AEF=180°， ∴∠ADF+∠AEF=180°， 1 更多资料添加微信号：DEM2008 淘宝搜索店铺：星哲育 址：sp432575988tbm ∴∠A+∠EFD=180°， ∵∠A=60°， ∴∠EFD=120°， ∴∠CFE=180°−120°=60°； (2)结论：BF+CF=2CN． 理由：如图2中，∵AB=AC，∠A=60°， ∴△ABC是等边三角形， ∴AB=CB，∠A=∠CBD=60°， ∵AE=BD， ∴△ABE≌△BCD(SAS)， ∴∠BCF=∠ABE， ∴∠FBC+∠BCF=60°， ∴∠BFC=120°， 如图2−1中，延长CN到Q，使得NQ=CN，连接FQ， ∵NM=NF，∠CNM=∠FNQ，CN=NQ， ∴△CNM≌△QNF(SAS)， ∴FQ=CM=BC， 延长CF到P，使得PF=BF，则△PBF是等边三角形， ∴∠PBC+∠PCB=∠PCB+∠FCM=120°， ∴∠PFQ=∠FCM=∠PBC， ∵PB=PF， 1 更多资料添加微信号：DEM2008 淘宝搜索店铺：星哲育 址：sp432575988tbm ∴△PFQ≌△PBC(SAS)， ∴PQ=PC，∠CPB=∠QPF=60°， ∴△PCQ是等边三角形， ∴BF+CF=PC=QC=2CN． (3)由(2)可知∠BFC=120°， ∴点F的运动轨迹为红色圆弧(如图3−1中)， ∴P，F，O三点共线时，PF的值最小， 此时tan∠APK= AO AP = 2 ❑ √3， ∴∠HPK >45°， ∵QK ⊥PF， ∴∠PKH=∠QKH=45°， 如图3−2中，过点H作HL⊥PK于点L，设PQ交KH题意点J，设HL=LK=2， PL=❑ √3，PH=❑ √7，KH=2❑ √2， ∵S△PHK=1 2 ⋅PK ⋅HL=1 2 ⋅KH ⋅PJ， ∴PQ=2 PJ=2× 2(2+❑ √3) 2❑ √2 =2❑ √2+❑ √6 ∴PQ BC =2❑ √2+❑ √6 2❑ √7 =2❑ √14+❑ √42 14 ． 1 更多资料添加微信号：DEM2008 淘宝搜索店铺：星哲育 址：sp432575988tbm 7(2022·广东省深圳市)(1)发现：如图①所示，在正方形ABCD中，E为AD边上一点， 将△AEB沿BE翻折到△BEF处，延长EF交CD边于G点．求证：△BFG≌△BCG； (2)探究：如图②，在矩形ABCD中，E为AD边上一点，且AD=8，AB=6.将△AEB沿 BE翻折到△BEF处，延长EF交BC边于G点，延长BF交CD边于点H，且FH=CH，求 AE的长． (3)拓展：如图③，在菱形ABCD中，AB=6，E为CD边上的三等分点，∠D=60° .将 △ADE沿AE翻折得到△AFE，直线EF交BC于点P，求PC的长． 【答】(1)证明：∵将△AEB沿BE翻折到△BEF处，四边形ABCD是正方形， ∴AB=BF，∠BFE=∠A=90°， ∴∠BFG=90°=∠C， ∵AB=BC=BF，BG=BG， ∴Rt △BFG≌Rt △BCG( HL)； (2)解：延长BH，AD交于Q，如图： 设FH=HC=x， 1 更多资料添加微信号：DEM2008 淘宝搜索店铺：星哲育 址：sp432575988tbm 在Rt △BCH中，BC 2+C H 2=B H 2， ∴8 2+x 2=(6+x) 2， 解得x=7 3， ∴DH=DC−HC=11 3 ， ∵∠BFG=∠BCH=90°，∠HBC=∠FBG， ∴△BFG∽△BCH， ∴BF BC = BG BH = FG HC ，即 6 8= BG 6+ 7 3 = FG 7 3 ， ∴BG=25 4 ，FG=7 4 ， ∵EQ/¿GB，DQ/¿CB， ∴△EFQ∽△GFB，△DHQ∽△CHB， ∴BC DQ = CH DH ，即8 DQ = 7 3 6−7 3 ， ∴DQ=88 7 ， 设AE=EF=m，则DE=8−m， ∴EQ=DE+DQ=8−m+ 88 7 =144 7 −m， ∵△EFQ∽△GFB， 1 更多资料添加微信号：DEM2008 淘宝搜索店铺：星哲育 址：sp432575988tbm ∴EQ BG = EF FG ，即 144 7 −m 25 4 = m 7 4 ， 解得m=9 2， ∴AE的长为9 2； (3)解：(Ⅰ)当DE=1 3 DC=2时，延长FE交AD于Q，过Q作QH ⊥CD于H，如图： 设DQ=x，QE= y，