题型11 综合探究题 类型1 非动态探究题（专题训练）（教师版）

更多资料添加微信号：DEM2008 淘宝搜索店铺：星哲育 址：sp432575988tbm 类型一 非动态探究题（专题训练） 1．（2023·湖北宜昌·统考中考真题）如图，在正方形 中，E，F 分别是边 ， 上的点，连接 ， ， ． (1)若正方形 的边长为2，E 是 的中点． ①如图1，当 时，求证： ； ②如图2，当 时，求 的长； (2)如图3，延长 ， 交于点G，当 时，求证： ． 【答】(1)①详见解析；② (2)详见解析 【分析】（1）①由 ，证明 ，可得结论；②如 图，延长 ， 交于点G 作 ，垂足为，证明 ，可得 ，可得 ，设 可得 ，可得 ，可得 ，证明 ， 可得 ，从而可得答； （2）如图，延长 ，作 ，垂足为，证明 ，设 1 更多资料添加微信号：DEM2008 淘宝搜索店铺：星哲育 址：sp432575988tbm ，可得 ，由 ， 可得 ，可得 ，由 可得 ，可得 ，证明 ，可得 ， ， 从而可得答． 【详解】（1）解：如图， 正方形 中， ， ① ， ∴ ， ， ， ②如图， 延长 ， 交于点G， 作 ，垂足为， 且 ， 1 更多资料添加微信号：DEM2008 淘宝搜索店铺：星哲育 址：sp432575988tbm ， ， ， ， 方法一：设 ， ∴ ， ∴ ， 在 中， ， ， ， 方法二：在 中，由 ，设 ， ， ， ， 又 且 ， ， 1 更多资料添加微信号：DEM2008 淘宝搜索店铺：星哲育 址：sp432575988tbm ， ， ； （2）如图 延长 ，作 ，垂足为， 且 ， ， 设 ， ， ， 在 中， ， ， ， ， 1 更多资料添加微信号：DEM2008 淘宝搜索店铺：星哲育 址：sp432575988tbm ， ， 在 中， ， ， ， ，则 ， 又 且 ， ， ， ， ， ， ． 【点睛】本题考查的是正方形的性质，勾股定理的应用，相似三角形的判定与性质，锐角 三角函数的应用，本题计算量大，对学生的要求高，熟练的利用参数建立方程是解本题的 关键． 2(2021·四川省达州市)某数学兴趣小组在数学课外活动中，对多边形内两条互相垂直的线 段做了如下探究： 1 更多资料添加微信号：DEM2008 淘宝搜索店铺：星哲育 址：sp432575988tbm 【观察与猜想】 (1)如图1，在正方形ABCD中，点E，F分别是AB，AD上的两点，连接DE，CF， DE⊥CF，则DE CF 的值为______ ； (2)如图2，在矩形ABCD中，AD=7，CD=4，点E是AD上的一点，连接CE，BD，且 CE⊥BD，则CE BD 的值为______ ； 【类比探究】 (3)如图3，在四边形ABCD中，∠A=∠B=90°，点E为AB上一点，连接DE，过点C 作DE的垂线交ED的延长线于点G，交AD的延长线于点F，求证：DE⋅AB=CF ⋅AD； 【拓展延伸】 (4)如图4，在Rt △ABD中，∠BAD=90°，AD=9，tan∠ADB=1 3，将△ABD沿 1 更多资料添加微信号：DEM2008 淘宝搜索店铺：星哲育 址：sp432575988tbm BD翻折，点A落在点C处得△CBD，点E，F分别在边AB，AD上，连接DE，CF， DE⊥CF． ①求DE CF 的值； ②连接BF，若AE=1，直接写出BF的长度． 解：(1)如图1，设DE与CF交于点G， ∵四边形ABCD是正方形， ∴∠A=∠FDC=90°，AD=CD， ∵DE⊥CF， ∴∠DGF=90°， ∴∠ADE+∠CFD=90°，∠ADE+∠AED=90°， ∴∠CFD=∠AED， 在△AED和△DFC中， { ∠A=∠FDC ∠CFD=∠AED AD=CD ， ∴△AED≌△DFC( AAS)， ∴DE=CF， ∴DE CF =1； (2)如图2，设DB与CE交于点G， 1 更多资料添加微信号：DEM2008 淘宝搜索店铺：星哲育 址：sp432575988tbm ∵四边形ABCD是矩形， ∴∠A=∠EDC=90°， ∵CE⊥BD， ∴∠DGC=90°， ∴∠CDG+∠ECD=90°，∠ADB+∠CDG=90°， ∴∠ECD=∠ADB， ∵∠CDE=∠A， ∴△DEC∽△ABD， ∴CE BD = DC AD = 4 7 ， 故答为：4 7 ． (3)证明：如图3，过点C作CH ⊥AF交AF的延长线于点H， ∵CG⊥EG， 1 更多资料添加微信号：DEM2008 淘宝搜索店铺：星哲育 址：sp432575988tbm ∴∠G=∠H=∠A=∠B=90°， ∴四边形ABCH为矩形， ∴AB=CH，∠FCH +∠CFH=∠DFG+∠FDG=90°， ∴∠FCH=∠FDG=∠ADE，∠A=∠H=90°， ∴△DEA∽△CFH， ∴DE CF = AD CH ， ∴DE CF = AD AB ， ∴DE⋅AB=CF ⋅AD； (4)①如图4，过点C作CG⊥AD于点G，连接AC交BD于点H，CG与DE相交于点O， ∵CF ⊥DE，GC ⊥AD， ∴∠FCG+∠CFG=∠CFG+∠ADE=90°， ∴∠FCG=∠ADE，∠BAD=∠CGF=90°， ∴△DEA∽△CFG， ∴DE CF = AD CG ， 在Rt △ABD中，tan∠ADB=1 3，AD=9， ∴AB=3， 1 更多资料添加微信号：DEM2008 淘宝搜索店铺：星哲育 址：sp432575988tbm 在Rt △ADH中，tan∠ADH=1 3， ∴AH DH =1 3， 设AH=a，则DH=3a， ∵A H 2+D H 2=A D 2， ∴a 2+(3a) 2=9 2， ∴a= 9 10 ❑ √10(负值舍去)， ∴AH= 9 10 ❑ √10，DH=27 10 ❑ √10， ∴AC=2 AH=9 5 ❑ √10， ∵S△ADC=1 2 AC ⋅DH=1 2 AD⋅CG， ∴1 2 × 9 5 ❑ √10× 27 10 ❑ √10=1 2 ×9CG， ∴CG=27 5 ， ∴DE CF = AD CG = 9 27 5 =5 3； ②∵AC=9 5 ❑ √10，CG=27 5 ，∠AGC=90°， ∴AG= ❑ √A C 2−C G 2=❑ √( 9 5 ❑ √10) 2−( 27 5 ) 2=9 5 ， 由①得：△DEA∽△CFG， ∴CF DE = FG AE ， 1 更多资料添加微信号：DEM2008 淘宝搜索店铺：星哲育 址：sp432575988tbm 又∵DE CF =5 3，AE=1， ∴FG=3 5， ∴AF=AG−FG=9 5−3 5=6 5， ∴BF= ❑ √A B 2+ A F 2=❑ √3 2+( 6 5 ) 2=3 5 ❑ √29． 3．（2023·甘肃武威·统考中考真题）【模型建立】 （1）如图1， 和 都是等边三角形，点 关于 的对称点 在 边上． ①求证： ； ②用等式写出线段 ， ， 的数量关系，并说明理由． 【模型应用】 （2）如图2， 是直角三角形， ， ，垂足为 ，点 关于 的对 称点 在 边上．用等式写出线段 ， ， 的数量关系，并说明理由． 【模型迁移】 （3）在（2）的条件下，若 ， ，求 的值． 【答】（1）①见解析；② ，理由见解析；（2） ，理由见 解析；（3） 【分析】（1）①证明： ，再证明 即可；②由 和 关于 对称，可得 ．证明 ，从而可得结论； 1 更多资料添加微信号：DEM2008 淘宝搜索店铺：星哲育 址：sp432575988tbm （2）如图，过点 作 于点 ，得 ，证明 ， ．可得 ，证明 ， ，可得 ，则 ，可得 ，从而可得结论； （3）由 ，可得 ，结合 ，求解 ， ，如图，过点 作 于点 ．可得 ， ，可得 ，再利用余弦的定义可得答． 【详解】（1）①证明：∵ 和 都是等边三角形， ∴ ， ， ， ∴ ， ∴ ， ∴ ． ∴ ． ② ．理由如下： ∵ 和 关于 对称， ∴ ． 1 更多资料添加微信号：DEM2008 淘宝搜索店铺：星哲育 址：sp432575988tbm ∵ ， ∴ ． ∴ ． （2） ．理由如下： 如图，过点 作 于点 ，得 ． ∵ 和 关于 对称， ∴ ， ． ∵ ， ∴ ， ∴ ． ∴ ． ∵ 是直角三角形， ， ∴ ， ， ∴ ， ∴ ， ∴ ， ∴ ， ∴ ， 1 更多资料添加微信号：DEM2008 淘宝搜索店铺：星哲育 址：sp432575988tbm ∴ ． ∴ ，即 ． （3）∵ ， ∴ ， ∵ ， ∴ ， ∴ ． 如图，过点 作 于点 ． ∵ ， ∴ ， ． ∴ ． ∴ ． 【点睛】本题考查的是全等三角形的判定与性质，等边三角形的性质，勾股定理的应用， 轴对称的性质，锐角三角函数的灵活应用，本题难度较高，属于中考压轴题，作出合适的 1 更多资料添加微信号：DEM2008 淘宝搜索店铺：星哲育 址：sp432575988tbm 辅助线是解本题的关键． 4（2021·湖北中考真题）问题提出 如图（1），在 和 中， ， ， ，点 在 内部，直线 与 交于点 ，线段 ， ， 之间存在怎样的数量关系？ 问题探究 （1）先将问题特殊化．如图（2），当点 ， 重合时，直接写出一个等式， 表示 ， ， 之间的数量关系； （2）再探究一般情形．如图（1），当点 ， 不重合时，证明（1）中的结论仍然成立． 问题拓展 如图（3），在 和 中， ， ， （ 是常数），点 在 内部，直线 与 交于点 ，直接写出一 个等式，表示线段 ， ， 之间的数量关系． 【答】（1） ．（2）见解析；问题拓展： ． 【分析】 （1）先证明△BE △D, ≌ 得到F=BE，BF-BE=BF-F=EF= ； （2）过点 作 交 于点 ，证明 ， ， 1 更多资料添加微信号：DEM2008 淘宝搜索店铺：星哲育 址：sp432575988tbm 是等腰直角三角形即可；利用前面的方法变全等为相似证明即可． 【详解】 问题探究 （1） ．理由如下：如图（2）， ∠B=∠EF=90° ∵ ， ∠BE=∠F ∴ ， B= ∵ ，E=F， △BE △F ≌ ， BE=F ∴ ， BF-BE=BF-F=EF= ∴ ； （2）证明：过点 作 交 于点 ，则 ， ∴ ． ∵ ， ∴ ． 又∵ ， ， ∴ ， ∴ ． 1 更多资料添加微信号：DEM2008 淘宝搜索店铺：星哲育 址：sp432575988tbm ∴ ． ∴ ， ， ∴ 是等腰直角三角形． ∴ ． ∴ ． 问题拓展 ．理由如下： ∠B=∠ED=90° ∵ ， ∠BE=∠D ∴ ， B=k ∵ ，E=kD， △BE∽△D ∴ ， ∠EB=∠F ∴ ， 过点 作 交 于点M，则 ， ∴ ． △BM∽△F ∴ ， 1 更多资料添加微信号：DEM2008 淘宝搜索店铺：星哲育 址：sp432575988tbm BM:F=B:=M:F=k ∴ ， BM=kF,M=kF ∴ ， BF-BM=MF ∴ ，MF= = BF- kF = ∴ ． 【点睛】 本题考查了等腰直角三角形的性质，三角形全等的判定和性质，三角形相似的判定和性质， 勾股定理，熟练掌握三角形全等的判定，三角形相似的判定，勾股定理是解题的关键． 5．（2023·湖北武汉·统考中考真题）问题提出：如图（1）， 是菱形 边 上一点， 是等腰三角形， ， 交 于点 ，探究 与 的数量关系． 问题探究： (1)先将问题特殊化，如图（2），当 时，直接写出 的大小； (2)再探究一般情形，如图（1），求 与 的数量关系． 问题拓展： (3)将图（1）特殊化，如图（3），当 时，若 ，求 的值． 1 更多资料添加微信号：DEM2008 淘宝搜索店铺：星哲育 址：sp432575988tbm 【答】(1) (2) (3) 【分析】（1）延长 过点F 作 ，证明 即可得出结论． （2）在 上截取 ，使 ，连接 ，证明 ，通过边和角的关 系即可证明． （3）过点作 的垂线交 的延长线于点 ，设菱形的边长为 ，由（2）知， ，通过相似求出 ，即可解出． 【详解】（1）延长 过点F 作 ， ∵ ， ， ∴ ， 在 和 中 ∴ ， ∴ ， ， ∴ ， ∴ ， ∴ ． 1 更多资料添加微信号：DEM2008 淘宝搜索店铺：星哲育 址：sp432575988tbm 故答为： ． （2）解：在 上截取 ，使 ，连接 ． ， ， ． ， ． ． ， ． ． （3）解：过点 作 的垂线交 的延长线于点 ，设菱形的边长为 ， ． 在 中， ， 1 更多资料添加微信号：DEM2008 淘宝搜索店铺：星哲育 址：sp432575988tbm ． ，由（2）知， ． ． ， ， ， 在 上截取 ，使 ，连接 ，作 于点． 由（2）知， ， ∴ ， ∵ ， ∴ ， ． ∵ ， ∴ ， ∵ ， ∴ ． ． 1 更多资料添加微信号：DEM2008 淘宝搜索店铺：星哲育 址：sp432575988tbm 【点睛】此题考查菱形性质、三角形全等、三角形相似，解题的关键是熟悉菱形性质、三 角形全等、三角形相似． 6（2021·浙江中考真题）（证明体验） （1）如图1， 为 的角平分线， ，点E 在 上， ． 求证： 平分 ． （思考探究） （2）如图2，在（1）的条件下，F 为 上一点，连结 交 于点G．若 ， ， ，求 的长． （拓展延伸） （3）如图3，在四边形 中，对角线 平分 ，点E 在 上， ．若 ，求 的长． 1 更多资料添加微信号：DEM2008 淘宝搜索店铺：星哲育 址：sp432575988tbm 【答】（1）见解析；（2） ；（3） 【分析】 （1）根据SS 证明 ，进而即可得到结论； （2）先证明 ，得 ，进而即可求解； （3）在 上取一点F，使得 ，连结 ，可得 ，从而得 ，可得 ， ，最后证明 ，即可求解． 【详解】 解：（1）∵ 平分 ， ∴ ， ∵ ， ∴ ， ∴ ， ∴ ， ∴ ，即 平分 ； （2）∵ ， ∴ ， 1 更多资料添加微信号：DEM2008 淘宝搜索店铺：星哲育 址：sp432575988tbm ∵ ， ∴ ， ∴ ． ∵ ， ∴ ． ∵ ， ∴ ； （3）如图，在 上取一点F，使得 ，连结 ． ∵ 平分 ， ∴ ∵ ， ∴ ， ∴ ． 1 更多资料添加微信号：DEM2008 淘宝搜索店铺：星哲育 址：sp432575988tbm ∵ ， ∴ ． ∵ ， ∴ ， ∴ ． ∵ ， ∴ ． ∵ ， 又∵ ， ∴ ∴ ， ∴ ， ∴ ． 【点睛】 本题主要考查全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，添加辅助线，构造全 等三角形和相似三角形，是解题的关键． 7．（2023·山东·统考中考真题）（1）如图1，在矩形 中，点 ， 分别在边 ， 上， ，垂足为点 ．求证： ． 1 更多资料添加微信号：DEM2008 淘宝搜索店铺：星哲育 址：sp432575988tbm 【问题解决】 （2）如图2，在正方形 中，点 ， 分别在边 ， 上， ，延长 到 点 ，使 ，连接 ．求证： ． 【类比迁移】 （3）如图3，在菱形 中，点 ， 分别在边 ， 上， ， ， ，求 的长． 【答】（1）见解析 （2）见解析 （3）3 【分析】（1）由矩形的性质可得 ，则 ，再由 ，可得 ，则 ，根据等角的余角相等得 ，即可得证； （2）利用“ ”证明 ，可得 ，由 ，可得 ，利 用“ ”证明 ，则 ，由正方形的性质可得 ，根据 平行线的性质，即可得证； （3）延长 到点 ，使 ，连接 ，由菱形的性质可得 ， ，则 ，推出 ，由全等的性质可得 ， ，进而推出 是等边三角形，再根据线段的和差关系计 算求解即可． 【详解】（1）证明： 四边形 是矩形， ， ， 1 更多资料添加微信号：DEM2008 淘宝搜索店铺：星哲育 址：sp432575988tbm ， ， ， ， ； （2）证明： 四边形 是正方形， ， ， ， ， ， ， 又 ， ， 点 在 的延长线上， ， ， ， ， ， ； （3）解：如图，延长 到点 ，使 ，连接 ， 四边形 是菱形， ， ， ， 1 更多资料添加微信号：DEM2008 淘宝搜索店铺：星哲育 址：sp432575988tbm ， ， ， ， ， 是等边三角形， ， ． 【点睛】本题是四边形综合题，主要考查了矩形的性质，正方形的性质，菱形的性质，相 似三角形的判定，全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，熟练掌握这些知 识点并灵活运用是解题的关键． 8（2021·安徽中考真题）如图1，在四边形BD 中， ，点E 在边B 上， 且 ， ，作 交线段E 于点F，连接BF． （1）求证： ； （2）如图2，若 ， ， ，求BE 的长； （3）如图3，若BF 的延长线经过D 的中点M，求 的值． 【答】（1）见解析；（2）6；（3） 【分析】 1 更多资料添加微信号：DEM2008 淘宝搜索店铺：星哲育 址：sp432575988tbm （1）根据平行线的性质及已知条件易证 ， ，即可得 ， ；再证四边形FD 是平行四边形即可得 ，所以 ，根据SS 即可证得 ； （2）证明 ，利用相似三角形的性质即可求解； （3）延长BM、ED 交于点G．易证 ，可得 ；设 ， ， ，由此可得 ， ；再证明 ，根据全等三角形的性质可得 ．证明 ，根据相似三角形的性质可得 ，即 ，解 方程求得x 的值，继而求得 的值． 【详解】 （1）证明： ， ； ， ， ， ， ， ， ， ， 1 更多资料添加微信号：DEM2008 淘宝搜索店铺：星哲育 址：sp432575988tbm ， ， 四边形FD 是平行四边形 在 与 中． ， （2） ， ， 在 中， ， ， ， 又 ， ， ， 在 与 中． 1 更多资料添加微信号：DEM2008 淘宝搜索店铺：星哲育 址：sp432575988tbm ， ； ； ， ； ， ； ， ， 或 （舍）； （3）延长BM、ED 交于点G．