题型11 综合探究题（复习讲义）（教师版）

更多资料添加微信号：DEM2008 淘宝搜索店铺：星哲育 址：sp432575988tbm 题型十一综合探究题（复习讲义） 【考点总结|典例分析】 一、命题内容及趋势： (1)从数量角度反映变化规律的函数类题型： (2)以直角坐标系为载体的几何类题型： (3)以“几何变换”为主体的几何类题型： (4)以“存在型探索性问题”为主体的综合探究题： (5)以“动点问题”为主的综合探究题： 二、需要注意的问题及建义： (1)在复习中要更多关注“几何变换”，强化对图形变换的理解。 加强对图形的旋转、平移、对称多种变换的研究，对不同层次的学生进行分层拔高，使每 一个学生都有较大的提升空间。 (2)让学生参与数学思维活动，经历问题解决的整个过程。 复习中应多引导学生运用“运动的观点”来分析图形，要多引导学生学会阅读、审题、获 取信息，养成多角度、多侧面分析问题的习惯，逐步提高学生的数学能力。 (3)要特别重视“函数图像变换型”问题学的研究。 通过开展“函数图像变化”的专题学，树立函数图像间相互转换的思维，尽量减少学生对 函数“数形”认知的欠缺，比如，平时渗透抛物线的轴对称、旋转等知识点。当某个函数 图像经过变换出现多个函数图像时，要引导学生从图形间的相互联系中寻找切入点，排除 1 更多资料添加微信号：DEM2008 淘宝搜索店铺：星哲育 址：sp432575988tbm 识图的干扰，对图像所蕴含的信息进行横向挖掘和纵向突破，将“有效探索”进行到底。 此类试题考查的思路是从知识转向能力，从传统应用转向信息构建，这就提醒我们课堂上 重要的不是讲解，而是点拨、引导、提升，一定要从重视知识积累转向问题探究的过程， 关注学生自主探究能力的培养。 (4)突出数学核心概念、思想、方法的考查。 中学数学核心概念、思想方法是数学知识的精髓，也势必会成为考查综合应用能力的重要 载体，这包括方程、不等式、函数，以及基本几何图形的性质、图形的变化、图形与坐标 知识之间横纵向的联系，也包括中学数学中常用的重要数学思想。如：函数与方程思想、 数形结合、分类讨论思想很化归与转换思想。而数学基本方法是数学的具体表现，具有模 式化和可操作性，常用的基本方法有配方法、换元法、待定系数法、归纳法和割补法。 1．（2023·浙江绍兴·统考中考真题）在平行四边形 中（顶点 按逆时针方向 排列）， 为锐角，且 ． (1)如图1，求 边上的高 的长． (2) 是边 上的一动点，点 同时绕点 按逆时针方向旋转 得点 ． ①如图2，当点 落在射线 上时，求 的长． ②当 是直角三角形时，求 的长． 【答】(1)8 1 更多资料添加微信号：DEM2008 淘宝搜索店铺：星哲育 址：sp432575988tbm (2)① ；② 或 【分析】（1）利用正弦的定义即可求得答； （2）①先证明 ，再证明 ，最后利用相似三角形对应边 成比例列出方程即可； ②分三种情况讨论完成，第一种： 为直角顶点；第二种： 为直角顶点；第三种， 为直角顶点，但此种情况不成立，故最终有两个答． 【详解】（1）在 中， ， 在 中， ． （2）①如图1，作 于点 ，由（1）得， ，则 ， 作 交 延长线于点 ，则 ， ∴ ． ∵ ∴ ． 由旋转知 ， ∴ ． 设 ，则 ． ∵ ， 1 更多资料添加微信号：DEM2008 淘宝搜索店铺：星哲育 址：sp432575988tbm ∴ ， ∴ ， ∴ ，即 ， ∴ ， ∴ ． ②由旋转得 ， ， 又因为 ，所以 ． 情况一：当以 为直角顶点时，如图2． ∵ ， ∴ 落在线段 延长线上． ∵ ， ∴ ， 由（1）知， ， ∴ ． 情况二：当以 为直角顶点时，如图3． 1 更多资料添加微信号：DEM2008 淘宝搜索店铺：星哲育 址：sp432575988tbm 设 与射线 的交点为 ， 作 于点 ． ∵ ， ∴ ， ∵ ， ∴ ， ∴ ． 又∵ ， ∴ ， ∴ ． 设 ，则 ， ∴ ∵ ， ∴ ， ∴ ， ∴ ， ∴ ， 化简得 ， 1 更多资料添加微信号：DEM2008 淘宝搜索店铺：星哲育 址：sp432575988tbm 解得 ， ∴ ． 情况三：当以 为直角顶点时， 点 落在 的延长线上，不符合题意． 综上所述， 或 ． 【点睛】本题考查了平行四边形的性质，正弦的定义，全等的判定及性质，相似的判定及 性质，理解记忆相关定义，判定，性质是解题的关键． 2(2022·重庆市卷)如图，在锐角△ABC中，∠A=60°，点D，E分别是边AB，AC上 一动点，连接BE交直线CD于点F． (1)如图1，若AB> AC，且BD=CE，∠BCD=∠CBE，求∠CFE的度数； (2)如图2，若AB=AC，且BD=AE，在平面内将线段AC绕点C顺时针方向旋转60°得 到线段CM，连接MF，点N是MF的中点，连接CN .在点D，E运动过程中，猜想线段 BF，CF，CN之间存在的数量关系，并证明你的猜想； (3)若AB=AC，且BD=AE，将△ABC沿直线AB翻折至△ABC所在平面内得到 △ABP，点H是AP的中点，点K是线段PF上一点，将△PHK沿直线HK翻折至△PHK 所在平面内得到△QHK，连接PQ .在点D，E运动过程中，当线段PF取得最小值，且 QK ⊥PF时，请直接写出PQ BC 的值． 【答】解：(1)如图1中，在射线CD上取一点K，使得CK=BE， 1 更多资料添加微信号：DEM2008 淘宝搜索店铺：星哲育 址：sp432575988tbm 在△BCE和△CBK中， { BC=CB ∠BCK=∠CBE BE=CK ， ∴△BCE≌△CBK (SAS)， ∴BK=CE，∠BEC=∠BKD， ∵CE=BD， ∴BD=BK， ∴∠BKD=∠BDK=∠ADC=∠CEB， ∵∠BEC+∠AEF=180°， ∴∠ADF+∠AEF=180°， ∴∠A+∠EFD=180°， ∵∠A=60°， ∴∠EFD=120°， ∴∠CFE=180°−120°=60°； (2)结论：BF+CF=2CN． 理由：如图2中，∵AB=AC，∠A=60°， ∴△ABC是等边三角形， ∴AB=CB，∠A=∠CBD=60°， ∵AE=BD， ∴△ABE≌△BCD(SAS)， ∴∠BCF=∠ABE， ∴∠FBC+∠BCF=60°， ∴∠BFC=120°， 1 更多资料添加微信号：DEM2008 淘宝搜索店铺：星哲育 址：sp432575988tbm 如图2−1中，延长CN到Q，使得NQ=CN，连接FQ， ∵NM=NF，∠CNM=∠FNQ，CN=NQ， ∴△CNM≌△QNF(SAS)， ∴FQ=CM=BC， 延长CF到P，使得PF=BF，则△PBF是等边三角形， ∴∠PBC+∠PCB=∠PCB+∠FCM=120°， ∴∠PFQ=∠FCM=∠PBC， ∵PB=PF， ∴△PFQ≌△PBC(SAS)， ∴PQ=PC，∠CPB=∠QPF=60°， ∴△PCQ是等边三角形， ∴BF+CF=PC=QC=2CN． (3)由(2)可知∠BFC=120°， ∴点F的运动轨迹为红色圆弧(如图3−1中)， ∴P，F，O三点共线时，PF的值最小， 此时tan∠APK= AO AP = 2 ❑ √3， ∴∠HPK >45°， ∵QK ⊥PF， ∴∠PKH=∠QKH=45°， 如图3−2中，过点H作HL⊥PK于点L，设PQ交KH题意点J，设HL=LK=2， 1 更多资料添加微信号：DEM2008 淘宝搜索店铺：星哲育 址：sp432575988tbm PL=❑ √3，PH=❑ √7，KH=2❑ √2， ∵S△PHK=1 2 ⋅PK ⋅HL=1 2 ⋅KH ⋅PJ， ∴PQ=2 PJ=2× 2(2+❑ √3) 2❑ √2 =2❑ √2+❑ √6 ∴PQ BC =2❑ √2+❑ √6 2❑ √7 =2❑ √14+❑ √42 14 ． 3．（2023·甘肃武威·统考中考真题）【模型建立】 （1）如图1， 和 都是等边三角形，点 关于 的对称点 在 边上． ①求证： ； ②用等式写出线段 ， ， 的数量关系，并说明理由． 【模型应用】 （2）如图2， 是直角三角形， ， ，垂足为 ，点 关于 的对 称点 在 边上．用等式写出线段 ， ， 的数量关系，并说明理由． 【模型迁移】 （3）在（2）的条件下，若 ， ，求 的值． 1 更多资料添加微信号：DEM2008 淘宝搜索店铺：星哲育 址：sp432575988tbm 【答】（1）①见解析；② ，理由见解析；（2） ，理由见 解析；（3） 【分析】（1）①证明： ，再证明 即可；②由 和 关于 对称，可得 ．证明 ，从而可得结论； （2）如图，过点 作 于点 ，得 ，证明 ， ．可得 ，证明 ， ，可得 ，则 ，可得 ，从而可得结论； （3）由 ，可得 ，结合 ，求解 ， ，如图，过点 作 于点 ．可得 ， ，可得 ，再利用余弦的定义可得答． 【详解】（1）①证明：∵ 和 都是等边三角形， ∴ ， ， ， ∴ ， ∴ ， 1 更多资料添加微信号：DEM2008 淘宝搜索店铺：星哲育 址：sp432575988tbm ∴ ． ∴ ． ② ．理由如下： ∵ 和 关于 对称， ∴ ． ∵ ， ∴ ． ∴ ． （2） ．理由如下： 如图，过点 作 于点 ，得 ． ∵ 和 关于 对称， ∴ ， ． ∵ ， ∴ ， ∴ ． 1 更多资料添加微信号：DEM2008 淘宝搜索店铺：星哲育 址：sp432575988tbm ∴ ． ∵ 是直角三角形， ， ∴ ， ， ∴ ， ∴ ， ∴ ， ∴ ， ∴ ， ∴ ． ∴ ，即 ． （3）∵ ， ∴ ， ∵ ， ∴ ， ∴ ． 如图，过点 作 于点 ． 1 更多资料添加微信号：DEM2008 淘宝搜索店铺：星哲育 址：sp432575988tbm ∵ ， ∴ ， ． ∴ ． ∴ ． 【点睛】本题考查的是全等三角形的判定与性质，等边三角形的性质，勾股定理的应用， 轴对称的性质，锐角三角函数的灵活应用，本题难度较高，属于中考压轴题，作出合适的 辅助线是解本题的关键． 4(2022·广东省深圳市)(1)发现：如图①所示，在正方形ABCD中，E为AD边上一点， 将△AEB沿BE翻折到△BEF处，延长EF交CD边于G点．求证：△BFG≌△BCG； (2)探究：如图②，在矩形ABCD中，E为AD边上一点，且AD=8，AB=6.将△AEB沿 BE翻折到△BEF处，延长EF交BC边于G点，延长BF交CD边于点H，且FH=CH，求 AE的长． (3)拓展：如图③，在菱形ABCD中，AB=6，E为CD边上的三等分点，∠D=60° .将 △ADE沿AE翻折得到△AFE，直线EF交BC于点P，求PC的长． 【答】(1)证明：∵将△AEB沿BE翻折到△BEF处，四边形ABCD是正方形， ∴AB=BF，∠BFE=∠A=90°， 1 更多资料添加微信号：DEM2008 淘宝搜索店铺：星哲育 址：sp432575988tbm ∴∠BFG=90°=∠C， ∵AB=BC=BF，BG=BG， ∴Rt △BFG≌Rt △BCG( HL)； (2)解：延长BH，AD交于Q，如图： 设FH=HC=x， 在Rt △BCH中，BC 2+C H 2=B H 2， ∴8 2+x 2=(6+x) 2， 解得x=7 3， ∴DH=DC−HC=11 3 ， ∵∠BFG=∠BCH=90°，∠HBC=∠FBG， ∴△BFG∽△BCH， ∴BF BC = BG BH = FG HC ，即 6 8= BG 6+ 7 3 = FG 7 3 ， ∴BG=25 4 ，FG=7 4 ， ∵EQ/¿GB，DQ/¿CB， ∴△EFQ∽△GFB，△DHQ∽△CHB， 1 更多资料添加微信号：DEM2008 淘宝搜索店铺：星哲育 址：sp432575988tbm ∴BC DQ = CH DH ，即8 DQ = 7 3 6−7 3 ， ∴DQ=88 7 ， 设AE=EF=m，则DE=8−m， ∴EQ=DE+DQ=8−m+ 88 7 =144 7 −m， ∵△EFQ∽△GFB， ∴EQ BG = EF FG ，即 144 7 −m 25 4 = m 7 4 ， 解得m=9 2， ∴AE的长为9 2； (3)解：(Ⅰ)当DE=1 3 DC=2时，延长FE交AD于Q，过Q作QH ⊥CD于H，如图： 1 更多资料添加微信号：DEM2008 淘宝搜索店铺：星哲育 址：sp432575988tbm 设DQ=x，QE= y，则AQ=6−x， ∵CP/¿ DQ， ∴△CPE∽△QDE， ∴CP DQ = CE DE =2， ∴CP=2 x， ∵△ADE沿AE翻折得到△AFE， ∴EF=DE=2，AF=AD=6，∠QAE=∠FAE， ∴AE是△AQF的角平分线， ∴AQ AF =QE EF ，即6−x 6 = y 2 ①， ∵∠D=60°， ∴DH=1 2 DQ=1 2 x，HE=DE−DH=2−1 2 x，HQ=❑ √3 DH= ❑ √3 2 x， 在Rt △HQE中，H E 2+H Q 2=EQ 2， ∴(1−1 2 x) 2+( ❑ √3 2 x) 2= y 2②， 联立①②可解得x= 3 4 ， ∴CP=2 x=3 2； (Ⅱ)当CE=1 3 DC=2时，延长FE交AD延长线于Q'，过D作DN ⊥AB交BA延长线于N， 如图： 1 更多资料添加微信号：DEM2008 淘宝搜索店铺：星哲育 址：sp432575988tbm 同理∠Q' AE=∠EAF， ∴AQ' AF =Q' E EF ，即6+x 6 = y 4 ， 由HQ' 2+H D 2=Q' D 2得：( ❑ √3 2 x) 2+( 1 2 x+4) 2= y 2， 可解得x=12 5 ， ∴CP=1 2 x=6 5， 综上所述，CP的长为3 2或6 5． 5．（2023·湖北随州·统考中考真题）1643 年，法国数学家费马曾提出一个著名的几何问题： 给定不在同一条直线上的三个点，B，，求平面上到这三个点的距离之和最小的点的位置， 意大利数学家和物理学家托里拆利给出了分析和证明，该点也被称为“费马点”或“托里 拆利点”，该问题也被称为“将军巡营”问题． (1)下面是该问题的一种常见的解决方法，请补充以下推理过程：（其中①处从“直角”和 “等边”中选择填空，②处从“两点之间线段最短”和“三角形两边之和大于第三边”中 选择填空，③处填写角度数，④处填写该三角形的某个顶点） 当 的三个内角均小于 时， 如图1，将 绕，点顺时针旋转 得到 ，连接 ， 1 更多资料添加微信号：DEM2008 淘宝搜索店铺：星哲育 址：sp432575988tbm 由 ，可知 为 ① 三角形，故 ，又 ，故 ， 由 ② 可知，当B，P， ，在同一条直线上时， 取最小值，如图2，最小值 为 ，此时的P 点为该三角形的“费马点”，且有 ③ ； 已知当 有一个内角大于或等于 时，“费马点”为该三角形的某个顶点．如图 3，若 ，则该三角形的“费马点”为 ④ 点． (2)如图4，在 中，三个内角均小于 ，且 ，已知点P 为 的“费马点”，求 的值； (3)如图5，设村庄，B，的连线构成一个三角形，且已知 ．现欲建一中转站P 沿直线向，B，三个村庄铺设电 缆，已知由中转站P 到村庄，B，的铺设成本分别为元/ ，元/ ， 元/ ，选取合 适的P 的位置，可以使总的铺设成本最低为___________元．（结果用含的式子表示） 【答】(1)①等边；②两点之间线段最短；③ ；④． (2) (3) 1 更多资料添加微信号：DEM2008 淘宝搜索店铺：星哲育 址：sp432575988tbm 【分析】（1）根据旋转的性质和两点之间线段最短进行推理分析即可得出结论； （2）根据（1）的方法将 绕，点顺时针旋转 得到 ，即可得出可知当B， P， ，在同一条直线上时， 取最小值，最小值为 ，在根据 可证明 ，由勾股定理求 即可， （3）由总的铺设成本 ，通过将 绕，点顺时针旋转 得到 ，得到等腰直角 ，得到 ，即可得出当B，P， ，在同一条直 线上时， 取最小值，即 取最小值为 ，然后根据已知和 旋转性质求出 即可． 【详解】（1）解：∵ ， ∴ 为等边三角形； ∴ ， ， 又 ，故 ， 由两点之间线段最短可知，当B，P， ，在同一条直线上时， 取最小值， 最小值为 ，此时的P 点为该三角形的“费马点”， ∴ ， ， ∴ ， ， 又∵ ， ∴ ， ∴ ， ∴ ； ∵ ， ∴ ， ， ∴ ， ， ∴三个顶点中，顶点到另外两个顶点的距离和最小． 又∵已知当 有一个内角大于或等于 时，“费马点”为该三角形的某个顶点． ∴该三角形的“费马点”为点， 故答为：①等边；②两点之间线段最短；③ ；④ ． 1 更多资料添加微信号：DEM2008 淘宝搜索店铺：星哲育 址：sp432575988tbm （2）将 绕，点顺时针旋转 得到 ，连接 ， 由（1）可知当B，P， ，在同一条直线上时， 取最小值，最小值为 ， ∵ ， ∴ ， 又∵ ∴ ， 由旋转性质可知： ， ∴ ， ∴ 最小值为， （3）∵总的铺设成本 ∴当 最小时，总的铺设成本最低， 将 绕，点顺时针旋转 得到 ，连接 ， 由旋转性质可知： ， ， ， ， ∴ ， ∴ ， 当B，P， ，在同一条直线上时， 取最小值，即 取最小 值为 ， 1 更多资料添加微信号：DEM2008 淘宝搜索店铺：星哲育 址：sp432575988tbm 过点 作 ，垂足为 ， ∵ ， ， ∴ ， ∴ ， ∴ ， ∴ ， ∴ 的最小值为 总的铺设成本 （元） 故答为： 【点睛】本题考查了费马点求最值问题，涉及到的知识点有旋转的性质，等边三角形的判 定与性质，勾股定理，以及两点之间线段最短等知识点，读懂题意，利用旋转作出正确的 辅助线是解本题的关键． 6(2022·重庆市B 卷)在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC=2❑ √2，D为BC的中点， E，F分别为AC，AD上任意一点，连接EF，将线段EF绕点E顺时针旋转90°得到线段 EG，连接FG，AG． (1)如图1，点E与点C重合，且GF的延长线过点B，若点P为FG的中点，连接PD，求 PD的长； (2)如图2，EF的延长线交AB于点M，点N在AC上，∠AGN=∠AEG且GN=MF， 1