题型11 综合探究题 类型2 与动点有关的探究题（专题训练）（学生版）

更多资料添加微信号：DEM2008 淘宝搜索店铺：星哲育 址：sp432575988tbm 类型二 与动点有关的探究题（专题训练） 1．（2023·浙江绍兴·统考中考真题）在平行四边形 中（顶点 按逆时针方向 排列）， 为锐角，且 ． (1)如图1，求 边上的高 的长． (2) 是边 上的一动点，点 同时绕点 按逆时针方向旋转 得点 ． ①如图2，当点 落在射线 上时，求 的长． ②当 是直角三角形时，求 的长． 1 更多资料添加微信号：DEM2008 淘宝搜索店铺：星哲育 址：sp432575988tbm 2 在数学兴趣小组活动中，小亮进行数学探究活动． （1） 是边长为3 的等边三角形，E 是边 上的一点，且 ，小亮以 为 边作等边三角形 ，如图1，求 的长； （2） 是边长为3 的等边三角形，E 是边 上的一个动点，小亮以 为边作等 边三角形 ，如图2，在点E 从点到点的运动过程中，求点F 所经过的路径长； （3） 是边长为3 的等边三角形，M 是高 上的一个动点，小亮以 为边作等 边三角形 ，如图3，在点M 从点到点D 的运动过程中，求点所经过的路径长； （4）正方形 的边长为3，E 是边 上的一个动点，在点E 从点到点B 的运动过 1 更多资料添加微信号：DEM2008 淘宝搜索店铺：星哲育 址：sp432575988tbm 程中，小亮以B 为顶点作正方形 ，其中点F、G 都在直线 上，如图4，当点E 到达点B 时，点F、G、与点B 重合．则点所经过的路径长为______，点G 所经过的路径 长为______． 3．（2023·湖南郴州·统考中考真题）已知 是等边三角形，点 是射线 上的一个 动点，延长 至点 ，使 ，连接 交射线 于点 ． (1)如图1，当点 在线段 上时，猜测线段 与 的数量关系并说明理由； (2)如图2，当点 在线段 的延长线上时， ①线段 与 的数量关系是否仍然成立？请说明理由； ②如图3，连接 ．设 ，若 ，求四边形 的面积． 4（2021·浙江中考真题）已知在 中， 是 的中点， 是 延长线上的一 点，连结 ． 1 更多资料添加微信号：DEM2008 淘宝搜索店铺：星哲育 址：sp432575988tbm （1）如图1，若 ，求 的长． （2）过点 作 ，交 延长线于点 ，如图2 所示．若 ，求证： ． （3）如图3，若 ，是否存在实数 ，当 时， ？若 存在，请直接写出 的值；若不存在，请说明理由． 5．（2023·辽宁大连·统考中考真题）综合与实践 问题情境：数学活动课上，王老师给同学们每人发了一张等腰三角形纸片探究折叠的性质． 已知 ，点 为 上一动点，将 以 为对称轴翻折．同学们经过 思考后进行如下探究： 独立思考：小明：“当点 落在 上时， ．” 小红：“若点 为 中点，给出 与 的长，就可求出 的长．” 实践探究：奋进小组的同学们经过探究后提出问题1，请你回答： 问题1：在等腰 中， 由 翻折得到． （1）如图1，当点 落在 上时，求证： ； （2）如图2，若点 为 中点， ，求 的长． 问题解决：小明经过探究发现：若将问题1 中的等腰三角形换成 的等腰三角形， 1 更多资料添加微信号：DEM2008 淘宝搜索店铺：星哲育 址：sp432575988tbm 可以将问题进一步拓展． 问题2：如图3，在等腰 中， ．若 ， 则求 的长． 6（2021·浙江中考真题）问题：如图，在 中， ， ， ， 的平分线E，BF 分别与直线D 交于点E，F，求EF 的长． 答： ． 探究：（1）把“问题”中的条件“ ”去掉，其余条件不变． ①当点E 与点F 重合时，求B 的长； ②当点E 与点重合时，求EF 的长． （2）把“问题”中的条件“ ， ”去掉，其余条件不变，当点，D，E，F 相邻两点间的距离相等时，求 的值． 1 更多资料添加微信号：DEM2008 淘宝搜索店铺：星哲育 址：sp432575988tbm 7．（2023·重庆·统考中考真题）在 中， ， ，点 为线段 上一动点，连接 ． (1)如图1，若 ， ，求线段 的长． (2)如图2，以 为边在 上方作等边 ，点 是 的中点，连接 并延长，交 的延长线于点 ． 若 ，求证： ． (3)在 取得最小值的条件下，以 为边在 右侧作等边 ．点 为 所在直线 上一点，将 沿 所在直线翻折至 所在平面内得到 ． 连接 ，点 1 更多资料添加微信号：DEM2008 淘宝搜索店铺：星哲育 址：sp432575988tbm 为 的中点，连接 ，当 取最大值时，连接 ，将 沿 所在直线翻折至 所在平面内得到 ，请直接写出此时 的值． 8 如图1，在矩形纸片BD 中，B＝3m，D＝5m，折叠纸片使B 点落在边D 上的E 处， 折痕为PQ，过点E 作EF B 交PQ 于F，连接BF． （1）求证：四边形BFEP 为菱形； （2）当点E 在D 边上移动时，折痕的端点P、Q 也随之移动； ①当点Q 与点重合时（如图2），求菱形BFEP 的边长； ②若限定P、Q 分别在边B、B 上移动，求出点E 在边D 上移动的最大距离． 9．（2023·四川成都·统考中考真题）探究式学习是新课程倡导的重要学习方式，某兴趣小 组拟做以下探究． 在 中， ，D 是 边上一点，且 （为正整数），E 是 边上的动点，过点D 作 的垂线交直线 于点F． 【初步感知】 1 更多资料添加微信号：DEM2008 淘宝搜索店铺：星哲育 址：sp432575988tbm (1)如图1，当 时，兴趣小组探究得出结论： ，请写出证明过程． 【深入探究】 (2)①如图2，当 ，且点F 在线段 上时，试探究线段 之间的数量关系， 请写出结论并证明； ②请通过类比、归纳、猜想，探究出线段 之间数量关系的一般结论（直接写 出结论，不必证明） 【拓展运用】 (3)如图3，连接 ，设 的中点为M．若 ，求点E 从点运动到点的过程中， 点M 运动的路径长（用含的代数式表示）． 10（2021·山东中考真题）如图，已知正方形BD，点E 是B 边上一点，将△BE 沿直线E 折叠，点B 落在F 处，连接BF 并延长，与∠DF 的平分线相交于点，与E，D 分别相交于 点G，M，连接 （1）求证：G＝G； （2）若B＝3，BE＝1，求点D 到直线B 的距离； （3）当点E 在B 边上（端点除外）运动时，∠B 的大小是否变化？为什么？ 1 更多资料添加微信号：DEM2008 淘宝搜索店铺：星哲育 址：sp432575988tbm 11（2021·湖南中考真题）如图，在 中，点 为斜边 上一动点，将 沿直线 折叠，使得点 的对应点为 ，连接 ， ， ， ． （1）如图①，若 ，证明： ． （2）如图②，若 ， ，求 的值． （3）如图③，若 ，是否存在点 ，使得 ．若存在，求此时 的值；若不存在，请说明理由． 12 如图1 和图2，在△B 中，B＝，B＝8，t¿ 3 4 ．点K 在边上，点M，分别在B，B 上， 1 更多资料添加微信号：DEM2008 淘宝搜索店铺：星哲育 址：sp432575988tbm 且M＝＝2．点P 从点M 出发沿折线MB B ﹣ 匀速移动，到达点时停止；而点Q 在边上随 P 移动，且始终保持∠PQ＝∠B． （1）当点P 在B 上时，求点P 与点的最短距离； （2）若点P 在MB 上，且PQ 将△B 的面积分成上下4：5 两部分时，求MP 的长； （3）设点P 移动的路程为x，当0≤x≤3 及3≤x≤9 时，分别求点P 到直线的距离（用含 x 的式子表示）； （4）在点P 处设计并安装一扫描器，按定角∠PQ 扫描△PQ 区域（含边界），扫描器随点 P 从M 到B 再到共用时36 秒．若K¿ 9 4 ，请直接写出点K 被扫描到的总时长． 13 如图，点P、Q 分别是等边△B 边B、B 上的动点（端点除外），点P、点Q 以相同的 速度，同时从点、点B 出发． （1）如图1，连接Q、P．求证：△BQ △P ≌ ； （2）如图1，当点P、Q 分别在B、B 边上运动时，Q、P 相交于点M，∠QM 的大小是 否变化？若变化，请说明理由；若不变，求出它的度数； （3）如图2，当点P、Q 在B、B 的延长线上运动时，直线Q、P 相交于M，∠QM 的大 小是否变化？若变化，请说明理由；若不变，求出它的度数． 14 如图1，平面直角坐标系xy 中，等腰△B 的底边B 在x 轴上，B＝8，顶点在y 的正半 1 更多资料添加微信号：DEM2008 淘宝搜索店铺：星哲育 址：sp432575988tbm 轴上，＝2，一动点E 从（3，0）出发，以每秒1 个单位的速度沿B 向左运动，到达B 的 中点停止．另一动点F 从点出发，以相同的速度沿B 向左运动，到达点停止．已知点E、 F 同时出发，以EF 为边作正方形EFG，使正方形EFG 和△B 在B 的同侧，设运动的时间 为t 秒（t≥0）． （1）当点落在边上时，求t 的值； （2）设正方形EFG 与△B 重叠面积为S，请问是否存在t 值，使得S¿ 91 36 ？若存在，求出 t 值；若不存在，请说明理由； （3）如图2，取的中点D，连结D，当点E、F 开始运动时，点M 从点出发，以每秒2 ❑ √5个单位的速度沿D D D D ﹣ ﹣ ﹣ 运动，到达点停止运动．请问在点E 的整个运动过程中， 点M 可能在正方形EFG 内（含边界）吗？如果可能，求出点M 在正方形EFG 内（含边 界）的时长；若不可能，请说明理由． 15 已知：如图，在四边形BD 和Rt△EBF 中，B∥D，D＞B，点在EB 上，∠B＝∠EBF 1 更多资料添加微信号：DEM2008 淘宝搜索店铺：星哲育 址：sp432575988tbm ＝90°，B＝BE＝8m，B＝BF＝6m，延长D 交EF 于点M．点P 从点出发，沿方向匀 速运动，速度为2m/s；同时，点Q 从点M 出发，沿MF 方向匀速运动，速度为1m/s． 过点P 作G⊥B 于点，交D 于点G．设运动时间为t（s）（0＜t＜5）． 解答下列问题： （1）当t 为何值时，点M 在线段Q 的垂直平分线上？ （2）连接PQ，作Q⊥F 于点，当四边形PQ 为矩形时，求t 的值； （3）连接Q，Q，设四边形QG 的面积为S（m2），求S 与t 的函数关系式； （4）点P 在运动过程中，是否存在某一时刻t，使点P 在∠FE 的平分线上？若存在，求 出t 的值；若不存在，请说明理由． 16 如图，菱形BD 的边长为1，∠B＝60°，点E 是边B 上任意一点（端点除外），线段 E 的垂直平分线交BD，E 分别于点F，G，E，EF 的中点分别为M，． （1）求证：F＝EF； （2）求M+G 的最小值； （3）当点E 在B 上运动时，∠EF 的大小是否变化？为什么？ 17 如图1，在矩形BD 中，B＝6，B＝8，动点P，Q 分别从点，点同时以每秒1 个单位 1 更多资料添加微信号：DEM2008 淘宝搜索店铺：星哲育 址：sp432575988tbm 长度的速度出发，且分别在边，B 上沿→，→B 的方向运动，当点Q 运动到点B 时，P， Q 两点同时停止运动．设点P 运动的时间为t（s），连接PQ，过点P 作PE⊥PQ，PE 与边B 相交于点E，连接QE． （1）如图2，当t＝5s 时，延长EP 交边D 于点F．求证：F＝E； （2）在（1）的条件下，试探究线段Q，QE，E 三者之间的等量关系，并加以证明； （3）如图3，当t＞9 4 s 时，延长EP 交边D 于点F，连接FQ，若FQ 平分∠FP，求AF CE 的值． 1