题型11 综合探究题 类型4 与旋转有关的探究题（专题训练）（教师版）

更多资料添加微信号：DEM2008 淘宝搜索店铺：星哲育 址：sp432575988tbm 类型四 与旋转有关的探究题（专题训练） 1．（2023·北京·统考中考真题）在 中、 ， 于点 M，D 是线段 上的动点（不与点M，重合），将线段 绕点D 顺时针旋转 得到线 段 ． (1)如图1，当点E 在线段 上时，求证：D 是 的中点； (2)如图2，若在线段 上存在点F（不与点B，M 重合）满足 ，连接 ， ， 直接写出 的大小，并证明． 【答】(1)见解析 (2) ，证明见解析 【分析】（1）由旋转的性质得 ， ，利用三角形外角的性质求出 ，可得 ，等量代换得到 即可； （2）延长 到使 ，连接 ， ，可得 是 的中位线，然后求出 ，设 ， ，求出 ，证明 ，得到 ，再根据等腰三角形三线合一证明 即可． 【详解】（1）证明：由旋转的性质得： ， ， ∵ ， ∴ ， ∴ ， ∴ ， ∴ ，即D 是 的中点； （2） ； 证明：如图2，延长 到使 ，连接 ， ， ∵ ， 1 更多资料添加微信号：DEM2008 淘宝搜索店铺：星哲育 址：sp432575988tbm ∴ 是 的中位线， ∴ ， ， 由旋转的性质得： ， ， ∴ ， ∵ ， ∴ ， 是等腰三角形， ∴ ， ， 设 ， ，则 ， ， ∴ ， ∴ ， ∵ ， ∴ ， ∴ ， ∴ ， 在 和 中， ， ∴ ， ∴ ， ∵ ， ∴ ，即 ． 【点睛】本题考查了等腰三角形的判定和性质，旋转的性质，三角形外角的性质，三角形 中位线定理以及全等三角形的判定和性质等知识，作出合适的辅助线，构造出全等三角形 是解题的关键． 1 更多资料添加微信号：DEM2008 淘宝搜索店铺：星哲育 址：sp432575988tbm 2(2022·重庆市B 卷)在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC=2❑ √2，D为BC的中点， E，F分别为AC，AD上任意一点，连接EF，将线段EF绕点E顺时针旋转90°得到线段 EG，连接FG，AG． (1)如图1，点E与点C重合，且GF的延长线过点B，若点P为FG的中点，连接PD，求 PD的长； (2)如图2，EF的延长线交AB于点M，点N在AC上，∠AGN=∠AEG且GN=MF， 求证：AM + AF=❑ √2 AE； (3)如图3，F为线段AD上一动点，E为AC的中点，连接BE，H为直线BC上一动点，连 接EH，将△BEH沿EH翻折至△ABC所在平面内，得到△B' EH，连接B' G，直接写 出线段B' G的长度的最小值． 【答】(1)解：如图1，连接CP， 由旋转知，CF=CG，∠FCG=90°， ∴△FCG为等腰直角三角形， ∵点P是FG的中点， ∴CP⊥FG， ∵点D是BC的中点， ∴DP=1 2 BC， 在Rt △ABC中，AB=AC=2❑ √2， ∴BC=❑ √2 AB=4， ∴DP=2； 1 更多资料添加微信号：DEM2008 淘宝搜索店铺：星哲育 址：sp432575988tbm (2)证明：如图2， 过点E作EH ⊥AE交AD的延长线于H， ∴∠AEH=90°， 由旋转知，EG=EF，∠FEG=90°， ∴∠FEG=∠AEH， ∴∠AEG=∠HEF， ∵AB=AC，点D是BC的中点， ∴∠BAD=∠CAD=1 2 ∠BAC=45°， ∴∠H=90°−∠CAD=45°=∠CAD， ∴AE=HE， ∴△EGA≌△EFH (SAS)， ∴AG=FH，∠EAG=∠H=45°， ∴∠EAG=∠BAD=45°， ∵∠AMF=180°−∠BAD−∠AFM=135°−∠AFM， ∵∠AFM=∠EFH， ∴∠AMF=135°−∠EFH， ∵∠HEF=180°−∠EFH−∠H=135°−∠EFH， ∴∠AMF=∠HEF， ∵△EGA≌△EFH， ∴∠AEG=∠HEF， ∵∠AGN=∠AEG， ∴∠AGN=∠HEF， ∴∠AGN=∠AMF， ∵GN=MF， ∴△AGN≌△AMF( AAS)， ∴AG=AM， ∵AG=FH， 1 更多资料添加微信号：DEM2008 淘宝搜索店铺：星哲育 址：sp432575988tbm ∴AM=FH， ∴AF+ AM=AF+FH=AH=❑ √2 AE； (3)解：∵点E是AC的中点， ∴AE=1 2 AC=❑ √2， 根据勾股定理得，BE= ❑ √A E 2+ A B 2=❑ √10， 由折叠直，BE=B' E=❑ √10， ∴点B'是以点E为圆心，❑ √10为半径的圆上， 由旋转知，EF=EG， ∴点G是以点E为圆心，EG为半径的圆上， ∴B' G的最小值为B' E−EG， 要B' G最小，则EG最大，即EF最大， ∵点F在AD上， ∴点在点A或点D时，EF最大，最大值为❑ √2， ∴线段B' G的长度的最小值❑ √10−❑ √2． 3（2023·四川自贡·统考中考真题）如图1，一大一小两个等腰直角三角形叠放在一起， ， 分别是斜边 ， 的中点， ． (1)将 绕顶点 旋转一周，请直接写出点 ， 距离的最大值和最小值； (2)将 绕顶点 逆时针旋转 （如图 ），求 的长． 【答】(1)最大值为，最小值为 (2) 1 更多资料添加微信号：DEM2008 淘宝搜索店铺：星哲育 址：sp432575988tbm 【分析】（1）根据直角三角形斜边上的中线，得出 的值，进而根据题意求得最大 值与最小值即可求解； （2）过点 作 ，交 的延长线于点 ，根据旋转的性质求得 ，进 而得出 ，进而可得 ，勾股定理解 ，即可求解． 【详解】（1）解：依题意， ， ， 当 在 的延长线上时， 的距离最大，最大值为 ， 当 在线段 上时， 的距离最小，最小值为 ； （2）解：如图所示，过点 作 ，交 的延长线于点 ， ∵ 绕顶点 逆时针旋转 ， ∴ ， ∵ ， ∴ ， ∴ ， 1 更多资料添加微信号：DEM2008 淘宝搜索店铺：星哲育 址：sp432575988tbm ∴ ， ∴ ， 在 中， ， 在 中， ， ∴ ． 【点睛】本题考查了直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，勾股定理，旋转的性质， 含30 度角的直角三角形的性质，熟练掌握旋转的性质，勾股定理是解题的关键． 4（湖南省郴州市2021 年中考数学试卷）如图1，在等腰直角三角形 中， ．点 ， 分别为 ， 的中点， 为线段 上一动点（不与点 ， 重合），将线段 绕点 逆时针方向旋转 得到 ，连接 ， ． （1）证明： ； （2）如图2，连接 ， ， 交 于点 ． ①证明：在点 的运动过程中，总有 ； ②若 ，当 的长度为多少时， 为等腰三角形？ 1 更多资料添加微信号：DEM2008 淘宝搜索店铺：星哲育 址：sp432575988tbm 【答】（1）见详解；（2）①见详解；②当 的长度为2 或 时， 为等腰三 角形 【分析】 （1）由旋转的性质得=G，∠G=90°，从而得∠B=∠G，进而即可得到结论； （2）①由 ，得=G，再证明 ，进而即可得到结论；② 为等腰三角形，分3 种情况：（）当∠QG=∠QG=45°时，（b）当 ∠GQ=∠GQ=675°时，（）当∠QG=∠GQ=45°时，分别画出图形求解，即可． 【详解】 解：（1）∵线段 绕点逆时针方向旋转 得到 ， =G ∴ ，∠G=90°， ∵在等腰直角三角形 中， ，B=， ∠B=90°-∠=∠G ∴ ， ∴ ； （2）①∵在等腰直角三角形 中，B=，点 ， 分别为 ， 的中点， E=F ∴ ， 是等腰直角三角形， =G ∵ ，∠B =∠G， ∴ ， ∠E=∠FG=45° ∴ ， ∠FG=∠FG+∠FE=45°+45°=90° ∴ ，即： ； ②∵ ，点 ， 分别为 ， 的中点， E=F=2 ∴ ， ∠G=45° ∵ ， 为等腰三角形，分3 种情况： 1 更多资料添加微信号：DEM2008 淘宝搜索店铺：星哲育 址：sp432575988tbm （）当∠QG=∠QG=45°时，如图，则∠F=90°-45°=45°， ∴平分∠EF， ∴点是EF 的中点， E= ∴ ； （b）当∠GQ=∠GQ=（180°-45°）÷2=675°时，如图，则∠E=∠GQ=675°， ∠E=180°-45°-675°=675° ∴ ， ∠E=∠E ∴ ， E=E=2 ∴ ； （）当∠QG=∠GQ=45°时，点与点F 重合，不符合题意，舍去， 综上所述：当 的长度为2 或 时， 为等腰三角形． 1 更多资料添加微信号：DEM2008 淘宝搜索店铺：星哲育 址：sp432575988tbm 【点睛】 本题主要考查等腰直角三角形的性质，旋转的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理， 熟练掌握全等三角形的判定定理，根据题意画出图形，进行分类讨论，是解题的关键． 5．（2023·辽宁·统考中考真题）在 中， ， ，点 为 的中 点，点 在直线 上（不与点 重合），连接 ，线段 绕点 逆时针旋转 ， 得到线段 ，过点 作直线 ，过点 作 ，垂足为点 ，直线 交直线 于点 ． (1)如图，当点 与点 重合时，请直接写出线段 与线段 的数量关系； (2)如图，当点 在线段 上时，求证： ； (3)连接 ， 的面积记为 ， 的面积记为 ，当 时，请直接写 出 的值． 1 更多资料添加微信号：DEM2008 淘宝搜索店铺：星哲育 址：sp432575988tbm 【答】(1) (2)见解析 (3) 或 【分析】（1）可先证 ，得到 ，根据锐角三角函数，可得到 和 的数量关系，进而得到线段 与线段 的数量关系． （2）可先证 ，得到 ，进而得到 ，问题 即可得证． （3）分两种情况：①点D 在线段 上，过点 作 垂直于 ，交 于点 ，过点 作 垂直于 ，交 于点 ，设 ，利用勾股定理，可用含 的代数式表示 ， 根据三角形面积公式，即可得到答．②点D 在线段 的延长线上，过点 作 垂直于 ，交 延长线于点 ,令 交 于点 ,连接 ,设 ，可证 ，进 一步证得 是等腰直角三角形， ，利用勾股定理，可用含 的代数式表示 ， 根据三角形面积公式，即可得到答 【详解】（1）解： ． 理由如下： 如图，连接 ． 根据图形旋转的性质可知 ． 由题意可知， 为等腰直角三角形， 为等腰直角三角形 斜边 上的中线， ， ． 1 更多资料添加微信号：DEM2008 淘宝搜索店铺：星哲育 址：sp432575988tbm 又 ， ． 在 和 中， ． ， ． ． ． ． （2）解： 为等腰直角三角形 斜边 上的中线， ． ， ． ， ， ． ， ． ， ． 在 和 中， ． ． ． 1 更多资料添加微信号：DEM2008 淘宝搜索店铺：星哲育 址：sp432575988tbm （3）解：当点D 在线段 延长线上时，不满足条件 ，故分两种情况： ①点D 在线段 上，如图，过点 作 垂直于 ，交 于点 ；过点 作 垂直 于 ，交 于点 ． 设 ，则 ． 根据题意可知，四边形 和 为矩形， 为等腰直角三角形． ， ． 由（2）证明可知 ， ． ． ． 根据勾股定理可知 ， 的面积 与 的面积 之比 ②点D 在线段 的延长线上，过点 作 垂直于 ，交 延长线于点 ,令 交 于点 ,连接 ,由题意知，四边形 ， 是矩形， 1 更多资料添加微信号：DEM2008 淘宝搜索店铺：星哲育 址：sp432575988tbm ∵ ∴ 即 又∵ ， ∴ ∴ 而 ∴ ∴ 是等腰直角三角形， 设 ，则 ， ∴ 中， 的面积 与 的面积 之比 【点睛】本题主要考查全等三角形的判定及性质、勾股定理以及图形旋转的性质，灵活利 用全等三角形的判定及性质是解题的关键． 6（2021·四川中考真题）在等腰 中， ，点 是 边上一点（不与点 1 更多资料添加微信号：DEM2008 淘宝搜索店铺：星哲育 址：sp432575988tbm 、 重合），连结 ． （1）如图1，若 ，点 关于直线 的对称点为点 ，结 ， ，则 ________； （2）若 ，将线段 绕点 顺时针旋转 得到线段 ，连结 ． ①在图2 中补全图形； ②探究 与 的数量关系，并证明； （3）如图3，若 ，且 ，试探究 、 、 之间满足的 数量关系，并证明． 【答】（1）30°；（2）①见解析；② ；见解析；（3） ， 见解析 【分析】 （1）先根据题意得出△B 是等边三角形，再利用三角形的外角计算即可 （2）①按要求补全图即可 ②先根据已知条件证明△B 是等边三角形，再证明 ，即可得出 （3）先证明 ，再证明 ，得出 ，从而证明 1 更多资料添加微信号：DEM2008 淘宝搜索店铺：星哲育 址：sp432575988tbm ，得出 ，从而证明 【详解】 解：（1）∵ ， △B ∴ 是等边三角形 ∠B=60° ∴ ∵点 关于直线 的对称点为点 B⊥DE ∴ ， ∴ 故答为： ； （2）①补全图如图2 所示； ② 与 的数量关系为： ； 证明：∵ ， ． ∴ 为正三角形， 又∵ 绕点 顺时针旋转 ， ∴ ， ， ∵ ， ， ∴ ， ∴ ， 1 更多资料添加微信号：DEM2008 淘宝搜索店铺：星哲育 址：sp432575988tbm ∴ ． （3）连接 ． ∵ ， ，∴ ． ∴ ． 又∵ ， ∴ ， ∴ ．∵ ，∴ ， ∴ ， ∴ ， ∴ ， ． ∵ ， ∴ ． 又∵ ， 1 更多资料添加微信号：DEM2008 淘宝搜索店铺：星哲育 址：sp432575988tbm ∴ ． 【点睛】 本题考查相似三角形的证明及性质、全等三角形的证明及性质、三角形的外角、轴对称， 熟练进行角的转换是解题的关键，相似三角形的证明是重点 7．（2023·四川乐山·统考中考真题）在学习完《图形的旋转》后，刘老师带领学生开展了 一次数学探究活动 【问题情境】 刘老师先引导学生回顾了华东师大版材七年级下册第 页“探索”部分内容： 如图，将一个三角形纸板 绕点 逆时针旋转 到达 的位置，那么可以得到： ， ， ； ， ， （ ） 刘老师进一步谈到：图形的旋转蕴含于自然界的运动变化规律中，即“变”中蕴含着“不 变”，这是我们解决图形旋转的关键；故数学就是一门哲学． 【问题解决】 （1）上述问题情境中“（ ）”处应填理由：____________________； （2）如图，小王将一个半径为 ，圆心角为 的扇形纸板 绕点 逆时针旋转 到达扇形纸板 的位置． 1 更多资料添加微信号：DEM2008 淘宝搜索店铺：星哲育 址：sp432575988tbm ①请在图中作出点 ； ②如果 ，则在旋转过程中，点 经过的路径长为__________； 【问题拓展】 小李突发奇想，将与（2）中完全相同的两个扇形纸板重叠，一个固定在墙上，使得一边位 于水平位置，另一个在弧的中点处固定，然后放开纸板，使其摆动到竖直位置时静止，此 时，两个纸板重叠部分的面积是多少呢？如图所示，请你帮助小李解决这个问题． 【答】问题解决（1）旋转前后的图形对应线段相等，对应角相等 （2）①见解析；② 问题拓展： 【分析】问题解决（1）根据旋转性质得出旋转前后的图形对应线段相等，对应角相等； （2）①分别作 和 的垂直平分线，两垂直平分线的交点即为所求点；②根据弧长公 式求解即可； 问题拓展，连接 ，交 于 ，连接 ， ， ，由旋转得 ， ，在 和 中求出 和 的长，可以求出 1 更多资料添加微信号：DEM2008 淘宝搜索店铺：星哲育 址：sp432575988tbm ，再证明 ，即可求出最后结果． 【详解】解：【问题解决】（1）旋转前后的图形对应线段相等，对应角相等 （2）①下图中，点为所求 ②连接 ， ， 扇形纸板 绕点 逆时针旋转 到达扇形纸板 的位置， ， , ， 设 ， ， ， 在旋转过程中，点 经过的路径长为以点 为圆心，圆心角为 ， 为半径的所对应的 弧长， 点 经过的路径长 ； 【问题拓展】解：连接 ，交 于 ，连接 ， ， 如图所示 1 更多资料添加微信号：DEM2008 淘宝搜索店铺：星哲育 址：sp432575988tbm ． 由旋转得 ， ． 在 中， ． 在 中， ， ， ． ． ． ， 在 和 中， ， 又 ， ， ． 又 ， 1 更多资料添加微信号：DEM2008 淘宝搜索店铺：星哲育 址：sp432575988tbm ， ． 【点睛】本题考查了旋转的性质，弧长公式，解直角三角形，三角形全等的性质与判定， 解题的关键是抓住图形旋转前后的对应边相等，对应角相等，正确作出辅助线构造出直角 三角形． 8（2021·浙江嘉兴市·中考真题）小王在学习浙版九上课本第72 页例2 后，进一步开展探 究活动：将一个矩形 绕点 顺时针旋转 ，得到矩形 [探究1]如图1，当 时，点 恰好在 延长线上．若 ，求B 的长． [探究2]如图2，连结 ，过点 作 交 于点 ．线段 与 相等吗？请说明理由． [探究3]在探究2 的条件下，射线 分别交 ， 于点 ， （如图3）， 1 更多资料添加微信号：DEM2008 淘宝搜索店铺：星哲育 址：sp432575988tbm ， 存在一定的数量关系，并加以证明． 【答】[探究1] ；[探究2] ，证明见解析；[探究3] ，证明见解析 【分析】 [探究1] 设 ，根据旋转和矩形的性质得出 ，从而得出 ，得出比例式 ，列出方程解方程即可； [探究2] 先利用SS 得出 ，得出 ， ，再结合已知条件得出 ，即可得出 ； [探究3] 连结 ，先利用SSS 得出 ，从而证得 ，再利用 两角对应相等得出 ，得出 即可得出结论． 【详解】 [探究1]如图1， 1 更多资料添加微信号：DEM2008 淘宝搜索店铺：星哲育 址：sp432575988tbm 设 ． ∵矩形 绕点 顺时针旋转 得到矩形 ， ∴点 ， ， 在同一直线上． ∴ ， ， ∴ ． ∵ ， ∴ ． 又∵点 在 延长线上， ∴ ， ∴ ，∴ ． 解得 ， （不合题意，舍去） ∴ ． [探究2] ． 证明：如图2，连结 ． 1 更多资料添加微信号：DEM2008 淘宝搜索店铺：星哲育 址：sp432575988tbm ∵ ， ∴ ． ∵ ， ， ， ∴ ． ∴ ， ， ∵ ， ， ∴ ， ∴ ． [探究3]关系式为 ． 证明：如图3，连结 ． ∵ ， ， ， ∴ ． 1 更多资料添加微信号：DEM2008 淘宝搜索店铺：星哲育 址：sp432575988tbm ∴ ， ∵ ， ， ∴ ， ∴ ．