题型11 综合探究题 类型3 与折叠有关的探究题（专题训练）（学生版）

更多资料添加微信号：DEM2008 淘宝搜索店铺：星哲育 址：sp432575988tbm 类型三 与折叠有关的探究题（专题训练） 1．（2023·山东枣庄·统考中考真题）问题情境：如图1，在 中， ， 是 边上的中线．如图2，将 的两个顶点B，分别沿 折叠后均与点D 重合，折痕分别交 于点E，G，F，． 猜想证明： (1)如图2，试判断四边形 的形状，并说明理由． 问题解决； (2)如图3，将图2 中左侧折叠的三角形展开后，重新沿 折叠，使得顶点B 与点重合， 折痕分别交 于点M，， 的对应线段交 于点K，求四边形 的面积． 1 更多资料添加微信号：DEM2008 淘宝搜索店铺：星哲育 址：sp432575988tbm 2 在我们学习过的数学科书中，有一个数学活动，若身旁没有量角器或三角尺，又需要作 等大小的角，可以采用如下方法： 操作感知： 第一步：对折矩形纸片 ，使 与 重合，得到折痕 ，把纸片展开（如图 13-1）． 第二步：再一次折叠纸片，使点 落在 上，并使折痕经过点 ，得到折痕 ，同时 得到线段 （如图13-2）． 猜想论证： （1）若延长 交 于点 ，如图13-3 所示，试判定 的形状，并证明你的结 论． 拓展探究： （2）在图13-3 中，若 ，当 满足什么关系时，才能在矩形纸片 中剪出符（1）中的等边三角形 ？ 1 更多资料添加微信号：DEM2008 淘宝搜索店铺：星哲育 址：sp432575988tbm 3．（2023·辽宁大连·统考中考真题）综合与实践 问题情境：数学活动课上，王老师给同学们每人发了一张等腰三角形纸片探究折叠的性质． 已知 ，点 为 上一动点，将 以 为对称轴翻折．同学们经过 思考后进行如下探究： 独立思考：小明：“当点 落在 上时， ．” 小红：“若点 为 中点，给出 与 的长，就可求出 的长．” 实践探究：奋进小组的同学们经过探究后提出问题1，请你回答： 问题1：在等腰 中， 由 翻折得到． （1）如图1，当点 落在 上时，求证： ； （2）如图2，若点 为 中点， ，求 的长． 问题解决：小明经过探究发现：若将问题1 中的等腰三角形换成 的等腰三角形， 可以将问题进一步拓展． 问题2：如图3，在等腰 中， ．若 ， 1 更多资料添加微信号：DEM2008 淘宝搜索店铺：星哲育 址：sp432575988tbm 则求 的长． 4（2021·山西中考真题）综合与实践，问题情境：数学活动课上，老师出示了一个问题： 如图①，在 中， ，垂足为 ， 为 的中点，连接 ， ，试 猜想 与 的数量关系，并加以证明； 独立思考：（1）请解答老师提出的问题； 实践探究：（2）希望小组受此问题的启发，将 沿着 （ 为 的中点）所 在直线折叠，如图②，点 的对应点为 ，连接 并延长交 于点 ，请判断 与 的数量关系，并加以证明； 问题解决：（3）智慧小组突发奇想，将 沿过点 的直线折叠，如图③，点的对 应点为 ，使 于点 ，折痕交 于点 ，连接 ，交 于点 ． 该小组提出一个问题：若此 的面积为20，边长 ， ，求图中阴 影部分（四边形 ）的面积．请你思考此问题，直接写出结果． 1 更多资料添加微信号：DEM2008 淘宝搜索店铺：星哲育 址：sp432575988tbm 5．（2023·广西·统考中考真题）【探究与证明】 折纸，操作简单，富有数学趣味，我们可以通过折纸开展数学探究，探索数学奥秘． 【动手操作】如图1，将矩形纸片 对折，使 与 重合，展平纸片，得到折痕 ；折叠纸片，使点B 落在 上，并使折痕经过点，得到折痕 ，点B，E 的对应点 分别为 ， ，展平纸片，连接 ， ， ． 请完成： 1 更多资料添加微信号：DEM2008 淘宝搜索店铺：星哲育 址：sp432575988tbm (1)观察图1 中 ， 和 ，试猜想这三个角的大小关系； (2)证明（1）中的猜想； 【类比操作】如图2，为矩形纸片 的边 上的一点，连接 ，在 上取一点 P，折叠纸片，使B，P 两点重合，展平纸片，得到折痕 ；折叠纸片，使点B，P 分别落 在 ， 上，得到折痕l，点B，P 的对应点分别为 ， ，展平纸片，连接， ． 请完成： (3)证明 是 的一条三等分线． 6(2022·重庆市卷)如图，在锐角△ABC中，∠A=60°，点D，E分别是边AB，AC上 一动点，连接BE交直线CD于点F． (1)如图1，若AB> AC，且BD=CE，∠BCD=∠CBE，求∠CFE的度数； (2)如图2，若AB=AC，且BD=AE，在平面内将线段AC绕点C顺时针方向旋转60°得 到线段CM，连接MF，点N是MF的中点，连接CN .在点D，E运动过程中，猜想线段 BF，CF，CN之间存在的数量关系，并证明你的猜想； (3)若AB=AC，且BD=AE，将△ABC沿直线AB翻折至△ABC所在平面内得到 △ABP，点H是AP的中点，点K是线段PF上一点，将△PHK沿直线HK翻折至△PHK 所在平面内得到△QHK，连接PQ .在点D，E运动过程中，当线段PF取得最小值，且 QK ⊥PF时，请直接写出PQ BC 的值． 1 更多资料添加微信号：DEM2008 淘宝搜索店铺：星哲育 址：sp432575988tbm 7(2022·广东省深圳市)(1)发现：如图①所示，在正方形ABCD中，E为AD边上一点， 将△AEB沿BE翻折到△BEF处，延长EF交CD边于G点．求证：△BFG≌△BCG； (2)探究：如图②，在矩形ABCD中，E为AD边上一点，且AD=8，AB=6.将△AEB沿 BE翻折到△BEF处，延长EF交BC边于G点，延长BF交CD边于点H，且FH=CH，求 AE的长． (3)拓展：如图③，在菱形ABCD中，AB=6，E为CD边上的三等分点，∠D=60° .将 △ADE沿AE翻折得到△AFE，直线EF交BC于点P，求PC的长． 1 更多资料添加微信号：DEM2008 淘宝搜索店铺：星哲育 址：sp432575988tbm 8(2021·湖北省荆州市)在矩形ABCD中，AB=2，AD=4，F是对角线AC上不与点A， C重合的一点，过F作FE⊥AD于E，将△AEF沿EF翻折得到△GEF，点G在射线AD 上，连接CG． (1)如图1，若点A的对称点G落在AD上，∠FGC=90°，延长GF交AB于H，连接CH． ①求证：△CDG∽△GAH； ②求tan∠GHC． (2)如图2，若点A的对称点G落在AD延长线上，∠GCF=90°，判断△GCF与△AEF 是否全等，并说明理由． 1 更多资料添加微信号：DEM2008 淘宝搜索店铺：星哲育 址：sp432575988tbm 9(2022·四川省成都市)在矩形ABCD的CD边上取一点E，将△BCE沿BE翻折，使点C 恰好落在AD边上点F处． (1)如图1，若BC=2BA，求∠CBE的度数； (2)如图2，当AB=5，且AF ⋅FD=10时，求BC的长； (3)如图3，延长EF，与∠ABF的角平分线交于点M，BM交AD于点N，当 NF=AN +FD时，求AB BC 的值． 1 更多资料添加微信号：DEM2008 淘宝搜索店铺：星哲育 址：sp432575988tbm 10 在矩形ABCD中，E为DC边上一点，把△ADE沿AE翻折，使点D恰好落在BC边上 的点F． (1)求证：△ABF∽△FCE； (2)若AB=2❑ √3，AD=4，求EC的长； (3)若AE−DE=2 EC，记∠BAF=α，∠FAE=β，求tanα+tanβ的值． 1 更多资料添加微信号：DEM2008 淘宝搜索店铺：星哲育 址：sp432575988tbm 11 已知：在矩形 中， ， ， 是 边上的一个动点，将矩形 折叠，使点 与点 重合，点 落在点 处，折痕为 ． （1）如图1，当点 与点 重合时，则线段 _______________， ___________ __； 1 更多资料添加微信号：DEM2008 淘宝搜索店铺：星哲育 址：sp432575988tbm （2）如图2，当点 与点 ， 均不重合时，取 的中点 ，连接并延长 与 的延长线交于点 ，连接 ， ， ． ①求证：四边形 是平行四边形： ②当 时，求四边形 的面积． 12（2021·湖南中考真题）如图，在 中，点 为斜边 上一动点，将 1 更多资料添加微信号：DEM2008 淘宝搜索店铺：星哲育 址：sp432575988tbm 沿直线 折叠，使得点 的对应点为 ，连接 ， ， ， ． （1）如图①，若 ，证明： ． （2）如图②，若 ， ，求 的值． （3）如图③，若 ，是否存在点 ，使得 ．若存在，求此时 的值；若不存在，请说明理由． 1 更多资料添加微信号：DEM2008 淘宝搜索店铺：星哲育 址：sp432575988tbm 13（2021·浙江中考真题）（推理） 如图1，在正方形BD 中，点E 是D 上一动点，将正方形沿着BE 折叠，点落在点F 处， 连结BE，F，延长F 交D 于点G． （1）求证： ． （运用） （2）如图2，在（推理）条件下，延长BF 交D 于点．若 ， ，求线段 DE 的长． （拓展） （3）将正方形改成矩形，同样沿着BE 折叠，连结F，延长F，BF 交直线D 于G，两点， 若 ， ，求 的值（用含k 的代数式表示）． 1 更多资料添加微信号：DEM2008 淘宝搜索店铺：星哲育 址：sp432575988tbm 14（2021·湖北中考真题）在矩形 中， ， ， 是对角线 上不 与点 ， 重合的一点，过 作 于 ，将 沿 翻折得到 ，点 在射线 上，连接 ． （1）如图1，若点 的对称点 落在 上， ，延长 交 于 ，连 接 ． ①求证： ； ②求 ． （2）如图2，若点 的对称点 落在 延长线上， ，判断 与 是否全等，并说明理由． 1 更多资料添加微信号：DEM2008 淘宝搜索店铺：星哲育 址：sp432575988tbm 15 如图，在△B 中，B＝4❑ √2，∠B＝45°，∠＝60°． （1）求B 边上的高线长． （2）点E 为线段B 的中点，点F 在边上，连结EF，沿EF 将△EF 折叠得到△PEF． ①如图2，当点P 落在B 上时，求∠EP 的度数． ②如图3，连结P，当PF⊥时，求P 的长． 1