题型11 综合探究题 类型4 与旋转有关的探究题（专题训练）（学生版）

更多资料添加微信号：DEM2008 淘宝搜索店铺：星哲育 址：sp432575988tbm 类型四 与旋转有关的探究题（专题训练） 1．（2023·北京·统考中考真题）在 中、 ， 于点 M，D 是线段 上的动点（不与点M，重合），将线段 绕点D 顺时针旋转 得到线 段 ． (1)如图1，当点E 在线段 上时，求证：D 是 的中点； (2)如图2，若在线段 上存在点F（不与点B，M 重合）满足 ，连接 ， ， 直接写出 的大小，并证明． 1 更多资料添加微信号：DEM2008 淘宝搜索店铺：星哲育 址：sp432575988tbm 2(2022·重庆市B 卷)在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC=2❑ √2，D为BC的中点， E，F分别为AC，AD上任意一点，连接EF，将线段EF绕点E顺时针旋转90°得到线段 EG，连接FG，AG． (1)如图1，点E与点C重合，且GF的延长线过点B，若点P为FG的中点，连接PD，求 PD的长； (2)如图2，EF的延长线交AB于点M，点N在AC上，∠AGN=∠AEG且GN=MF， 求证：AM + AF=❑ √2 AE； (3)如图3，F为线段AD上一动点，E为AC的中点，连接BE，H为直线BC上一动点，连 接EH，将△BEH沿EH翻折至△ABC所在平面内，得到△B' EH，连接B' G，直接写 出线段B' G的长度的最小值． 3（2023·四川自贡·统考中考真题）如图1，一大一小两个等腰直角三角形叠放在一起， ， 1 更多资料添加微信号：DEM2008 淘宝搜索店铺：星哲育 址：sp432575988tbm 分别是斜边 ， 的中点， ． (1)将 绕顶点 旋转一周，请直接写出点 ， 距离的最大值和最小值； (2)将 绕顶点 逆时针旋转 （如图 ），求 的长． 4（湖南省郴州市2021 年中考数学试卷）如图1，在等腰直角三角形 中， ．点 ， 分别为 ， 的中点， 为线段 上一动点（不与点 ， 重合），将线段 绕点 逆时针方向旋转 得到 ，连接 ， ． （1）证明： ； （2）如图2，连接 ， ， 交 于点 ． 1 更多资料添加微信号：DEM2008 淘宝搜索店铺：星哲育 址：sp432575988tbm ①证明：在点 的运动过程中，总有 ； ②若 ，当 的长度为多少时， 为等腰三角形？ 5．（2023·辽宁·统考中考真题）在 中， ， ，点 为 的中 点，点 在直线 上（不与点 重合），连接 ，线段 绕点 逆时针旋转 ， 得到线段 ，过点 作直线 ，过点 作 ，垂足为点 ，直线 交直线 于点 ． (1)如图，当点 与点 重合时，请直接写出线段 与线段 的数量关系； (2)如图，当点 在线段 上时，求证： ； (3)连接 ， 的面积记为 ， 的面积记为 ，当 时，请直接写 出 的值． 1 更多资料添加微信号：DEM2008 淘宝搜索店铺：星哲育 址：sp432575988tbm 6（2021·四川中考真题）在等腰 中， ，点 是 边上一点（不与点 、 重合），连结 ． （1）如图1，若 ，点 关于直线 的对称点为点 ，结 ， ，则 ________； （2）若 ，将线段 绕点 顺时针旋转 得到线段 ，连结 ． ①在图2 中补全图形； ②探究 与 的数量关系，并证明； （3）如图3，若 ，且 ，试探究 、 、 之间满足的 1 更多资料添加微信号：DEM2008 淘宝搜索店铺：星哲育 址：sp432575988tbm 数量关系，并证明． 7．（2023·四川乐山·统考中考真题）在学习完《图形的旋转》后，刘老师带领学生开展了 一次数学探究活动 【问题情境】 刘老师先引导学生回顾了华东师大版材七年级下册第 页“探索”部分内容： 如图，将一个三角形纸板 绕点 逆时针旋转 到达 的位置，那么可以得到： ， ， ； ， ， （ ） 刘老师进一步谈到：图形的旋转蕴含于自然界的运动变化规律中，即“变”中蕴含着“不 变”，这是我们解决图形旋转的关键；故数学就是一门哲学． 1 更多资料添加微信号：DEM2008 淘宝搜索店铺：星哲育 址：sp432575988tbm 【问题解决】 （1）上述问题情境中“（ ）”处应填理由：____________________； （2）如图，小王将一个半径为 ，圆心角为 的扇形纸板 绕点 逆时针旋转 到达扇形纸板 的位置． ①请在图中作出点 ； ②如果 ，则在旋转过程中，点 经过的路径长为__________； 【问题拓展】 小李突发奇想，将与（2）中完全相同的两个扇形纸板重叠，一个固定在墙上，使得一边位 于水平位置，另一个在弧的中点处固定，然后放开纸板，使其摆动到竖直位置时静止，此 时，两个纸板重叠部分的面积是多少呢？如图所示，请你帮助小李解决这个问题． 1 更多资料添加微信号：DEM2008 淘宝搜索店铺：星哲育 址：sp432575988tbm 8（2021·浙江嘉兴市·中考真题）小王在学习浙版九上课本第72 页例2 后，进一步开展探 究活动：将一个矩形 绕点 顺时针旋转 ，得到矩形 [探究1]如图1，当 时，点 恰好在 延长线上．若 ，求B 的长． [探究2]如图2，连结 ，过点 作 交 于点 ．线段 与 相等吗？请说明理由． [探究3]在探究2 的条件下，射线 分别交 ， 于点 ， （如图3）， ， 存在一定的数量关系，并加以证明． 1 更多资料添加微信号：DEM2008 淘宝搜索店铺：星哲育 址：sp432575988tbm 9．（2023·浙江绍兴·统考中考真题）在平行四边形 中（顶点 按逆时针方向 排列）， 为锐角，且 ． (1)如图1，求 边上的高 的长． (2) 是边 上的一动点，点 同时绕点 按逆时针方向旋转 得点 ． ①如图2，当点 落在射线 上时，求 的长． ②当 是直角三角形时，求 的长． 10（2021·浙江中考真题）如图，在菱形 中， 是锐角，E 是 边上的动 点，将射线 绕点按逆时针方向旋转，交直线 于点F． 1 更多资料添加微信号：DEM2008 淘宝搜索店铺：星哲育 址：sp432575988tbm （1）当 时， ①求证： ； ②连结 ，若 ，求 的值； （2）当 时，延长 交射线 于点M，延长 交射线 于点，连 结 ，若 ，则当 为何值时， 是等腰三角形． 11（2023·四川南充·统考中考真题）如图，正方形 中，点 在边 上，点 是 1 更多资料添加微信号：DEM2008 淘宝搜索店铺：星哲育 址：sp432575988tbm 的中点，连接 ， ． (1)求证： ； (2)将 绕点 逆时针旋转，使点 的对应点 落在 上，连接 ．当点 在边 上 运动时（点 不与 ， 重合），判断 的形状，并说明理由． (3)在（2）的条件下，已知 ，当 时，求 的长． 12 在等腰△B 中，＝B， 是直角三角形，∠DE＝90°，∠DE＝ ∠B，连接BD， 1 更多资料添加微信号：DEM2008 淘宝搜索店铺：星哲育 址：sp432575988tbm BE，点F 是BD 的中点，连接F． （1）当∠B＝45°时． ①如图1，当顶点D 在边上时，请直接写出∠EB 与∠B 的数量关系是 ．线段BE 与 线段F 的数量关系是 ； ②如图2，当顶点D 在边B 上时，（1）中线段BE 与线段F 的数量关系是否仍然成立？ 若成立，请给予证明，若不成立，请说明理由； 学生经过讨论，探究出以下解决问题的思路，仅供大家参考： 思路一：作等腰△B 底边上的高M，并取BE 的中点，再利用三角形全等或相似有关知识 来解决问题； 思路二：取DE 的中点G，连接G，G，并把 绕点逆时针旋转90°，再利用旋转性 质、三角形全等或相似有关知识来解快问题． （2）当∠B＝30°时，如图3，当顶点D 在边上时，写出线段BE 与线段F 的数量关系， 并说明理由． 13．（2023·江苏扬州·统考中考真题）【问题情境】 在综合实践活动课上，李老师让同桌两位同学用相同的两块含 的三角板开展数学探究 1 更多资料添加微信号：DEM2008 淘宝搜索店铺：星哲育 址：sp432575988tbm 活动，两块三角板分别记作 和 ，设 ． 【操作探究】 如图1，先将 和 的边 、 重合，再将 绕着点按顺时针方向旋转， 旋转角为 ，旋转过程中 保持不动，连接 ． (1)当 时， ________；当 时， ________ ； (2)当 时，画出图形，并求两块三角板重叠部分图形的面积； (3)如图2，取 的中点F，将 绕着点旋转一周，点F 的运动路径长为________． 1 更多资料添加微信号：DEM2008 淘宝搜索店铺：星哲育 址：sp432575988tbm 14（2021·江苏中考真题）已知正方形BD 与正方形EFG，正方形EFG 绕点旋转一周． (1)如图①，连接BG、F，求 的值； (2)当正方形EFG 旋转至图②位置时，连接F、BE，分别去F、BE 的中点M、，连接 M、试探究：M 与BE 的关系，并说明理由； (3)连接BE、BF，分别取BE、BF 的中点、Q，连接Q，E=6，请直接写出线段Q 扫过 的面积． 1 更多资料添加微信号：DEM2008 淘宝搜索店铺：星哲育 址：sp432575988tbm 15（2023·湖南·统考中考真题）（1）[问题探究] 如图1，在正方形 中，对角线 相交于点．在线段 上任取一点P（端点除 外），连接 ． ①求证： ； ②将线段 绕点P 逆时针旋转，使点D 落在 的延长线上的点Q 处．当点P 在线段 上的位置发生变化时， 的大小是否发生变化？请说明理由； ③探究 与 的数量关系，并说明理由． （2）[迁移探究] 如图2，将正方形 换成菱形 ，且 ，其他条件不变．试探究 与 的数量关系，并说明理由． 1 更多资料添加微信号：DEM2008 淘宝搜索店铺：星哲育 址：sp432575988tbm 16 如图，正方形BD 中，P 是对角线上的一个动点（不与、重合），连结BP，将BP 绕 点B 顺时针旋转90°到BQ，连结QP 交B 于点E，QP 延长线与边D 交于点F． （1）连结Q，求证：P＝Q； （2）若P¿ 1 4 ，求E：B 的值； （3）求证：PF＝EQ． 1 更多资料添加微信号：DEM2008 淘宝搜索店铺：星哲育 址：sp432575988tbm 17．（2023·湖北随州·统考中考真题）1643 年，法国数学家费马曾提出一个著名的几何问 题：给定不在同一条直线上的三个点，B，，求平面上到这三个点的距离之和最小的点的 位置，意大利数学家和物理学家托里拆利给出了分析和证明，该点也被称为“费马点”或 “托里拆利点”，该问题也被称为“将军巡营”问题． (1)下面是该问题的一种常见的解决方法，请补充以下推理过程：（其中①处从“直角”和 “等边”中选择填空，②处从“两点之间线段最短”和“三角形两边之和大于第三边”中 选择填空，③处填写角度数，④处填写该三角形的某个顶点） 当 的三个内角均小于 时， 如图1，将 绕，点顺时针旋转 得到 ，连接 ， 由 ，可知 为 三角形，故 ，又 ，故 ， 由 ② 可知，当B，P， ，在同一条直线上时， 取最小值，如图2，最小值 为 ，此时的P 点为该三角形的“费马点”，且有 ； 已知当 有一个内角大于或等于 时，“费马点”为该三角形的某个顶点．如图 3，若 ，则该三角形的“费马点”为 点． (2)如图4，在 中，三个内角均小于 ，且 ，已知点P 为 的“费马点”，求 的值； 1 更多资料添加微信号：DEM2008 淘宝搜索店铺：星哲育 址：sp432575988tbm (3)如图5，设村庄，B，的连线构成一个三角形，且已知 ．现欲建一中转站P 沿直线向，B，三个村庄铺设电 缆，已知由中转站P 到村庄，B，的铺设成本分别为元/ ，元/ ， 元/ ，选取合 适的P 的位置，可以使总的铺设成本最低为___________元．（结果用含的式子表示） 18 如图1，在等腰直角三角形D 中，∠D＝90°，D＝4．点E 是D 的中点，以DE 为边作 正方形DEFG，连接G，E．将正方形DEFG 绕点D 顺时针旋转，旋转角为α（0°＜α＜ 90°）． （1）如图2，在旋转过程中， ①判断△GD 与△ED 是否全等，并说明理由； ②当E＝D 时，G 与EF 交于点，求G 的长． （2）如图3，延长E 交直线G 于点P． ①求证：G⊥P； ②在旋转过程中，线段P 的长度是否存在最大值？若存在，求出最大值；若不存在，请说 明理由． 1 更多资料添加微信号：DEM2008 淘宝搜索店铺：星哲育 址：sp432575988tbm 19．（2023·湖北黄冈·统考中考真题）【问题呈现】 和 都是直角三角形， ，连接 ， ，探究 ， 的位置关系． (1)如图1，当 时，直接写出 ， 的位置关系：____________； (2)如图2，当 时，（1）中的结论是否成立？若成立，给出证明；若不成立，说明理 由． 【拓展应用】 (3)当 时，将 绕点旋转，使 三点恰好在同一直线上， 求 的长． 1 更多资料添加微信号：DEM2008 淘宝搜索店铺：星哲育 址：sp432575988tbm 20．（2023·内蒙古赤峰·统考中考真题）数学兴趣小组探究了以下几何图形．如图①，把 一个含有 角的三角尺放在正方形 中，使 角的顶点始终与正方形的顶点 重合， 绕点 旋转三角尺时， 角的两边 ， 始终与正方形的边 ， 所在直线分别 相交于点 ， ，连接 ，可得 ． 【探究一】如图②，把 绕点逆时针旋转 得到 ，同时得到点 在直线 上．求证： ； 【探究二】在图②中，连接 ，分别交 ， 于点 ， ．求证： ； 【探究三】把三角尺旋转到如图③所示位置，直线 与三角尺 角两边 ， 分别 交于点 ， ．连接 交 于点 ，求 的值． 1