第12章 全等三角形压轴题考点训练（教师版）

第十二章 全等三角形压轴题考点训练 1．已知：如图，∠GB，∠B 的平分线相交于点F，BE⊥F 于，若∠FB=40°，∠BF 的度数为( ) ．40° B．50° ．55° D．60° 【答】B 【详解】解：作FZ⊥E 于Z，FY⊥B 于Y，F⊥B 于， ∵F 平分∠B，FZ⊥E，F⊥B， ∴FZ=F， 同理F=FY， ∴FZ=FY． ∵FZ⊥E，FY⊥B， ∴∠FZ=∠FY， ∵∠FB=40°， ∴∠B=80°， ∴∠ZY=100°， ∴∠BF=50°． 故选B． 2．如图，D 是△B 的角平分线，DF⊥B，垂足为F，且DE＝DG，则∠ED＋∠GD 和是( ) ．180° B．200° ．210° D．240° 【答】 【详解】解：过 点作 于 ，如图， 是 的角平分线， ， ， ， 在 和 中， ， ， ， ， ． 故选：． 3．如图，已知∠BD= D=9° ∠ ，D E, ⊥且B+=BE，则∠B 的大小是( ) ．42° B．44° ．46 ° D．48° 【答】D 【详解】如图，延长B 到F，使F=，连接EF， ∵B+=BE， ∴B+F=BE，即BF=BE， ∴∠F=∠BEF= ， ∵D⊥E，∴∠DE=90°， ∵∠BD=∠D=9°， ∴∠FE=180°-(∠BD+∠DE)=180°-(9°+90°)=81°， ∠E=∠DE-∠D=90°-9°=81°， ∴∠FE=∠E， 在△FE 和△E 中， ，∴△FE≌△E(SS)，∴∠F=∠E， 又∵∠E 为△B 的外角， ∴∠E=∠B+∠B=∠B+18°，∴∠F=∠B+18°， ∴∠B+18°= ，解得∠B=48°． 故选D 4．如图，在 中， ， ， 平分 ， 于 ，若 ， 则 为______． 【答】4 【详解】解：延长B，E 交于点F， ∵∠B＝90°， ， ∴∠B=∠BE=∠F， ∵∠BD+∠DB＝90°，∠DE+∠F＝90°， ∵∠DB=∠DE， ∴∠BD＝∠F， 在△BD 和△F 中 ∴△BD≌△F， ∴BD＝F=8， ∵BD 平分∠B， ∴∠BE＝∠BE， ∵E⊥BD， ∴∠BEF＝∠BE＝90° 在△BEF 和△BE 中 ∴△BEF≌△BE， ∴EF＝E， ∴E F=4． 故答为：4 5．如图， 为等腰 的高，其中 分别为线段 上的 动点，且 ，当 取最小值时， 的度数为_____． 【答】 【详解】解：如图1，作 ，且 ，连接 交 于M，连接 ， 是等腰三角形， ， ， ， ， ， ， ， 在 与 中， ， ， ∴当F 为 与 的交点时，如图2， 的值最小， 此时 ， ， 故答为： ． 6．如图，把两块大小相同的含45°的三角板F 和三角板FB 如图所示摆放，点D 在边上， 点E 在边B 上，且∠FE＝13°，∠FD＝32°，则∠DE 的度数为_______． 【答】 【详解】作F 垂直于FE，交于点， ∵ 又∵ ， ∴ ∵ ，F=F ∴ ∴F=FE ∵ ∵ ∴ 又∵DF=DF ∴ ∴ ∵ ∴ ∵ ∴ ∴ ，故答为： ． 7．如图，在 中， ，BD 平分 ，E 是B 上一点，且 ， 连接DE，过E 作 ，垂足为F，延长EF 交B 于点G．现给出以下结论：① ；② ；③ ；④ ．其中正确的是______．(写出 所有正确结论的序号) 【答】①③④ 【详解】 ∵BD 平分 ， ∴ ， ∵ ， ∴ 又∵ ， ∴ ， ∴ ,故①正确； 过D 作DM⊥B， ∵ ， ∴ ， 又∵BD 平分 ， ∴ ， 在 中： ， ∴ ，故②说法错误； ∵ ， ∴ ， 在四边形DFG 中 ， ， ∴ ， ∵ ， ∴ ， ∴ ， 即 ，故③正确； 设 ，则 ， ∵ ， ∴ ， 在 中， ， ∴ ， ∵ ， ∴ ，故④正确． 故答为：①③④． 8．如图，三角形B 中，BD 平分 ，若 ，则 _______． 【答】8 【详解】解：如图，延长D 交B 与点E， ∵BD 平分 ∴ ∵BD=BD ∴ ∴B=BE ∴ ∵ ∴ ∴ ∵D=DE， ∴ ∴ 故答为：8． 9．如图，在 和 中， ， ， ， ，以 点 为顶点作 ，两边分别交 ， 于点 ， ，连接 ，则 的周 长为______． 【答】4 【详解】延长至E，使E=BM，连接DE． BD=D ∵ ，且∠BD=140°， DB= DB=20° ∴∠ ∠ ， =40° ∵∠ ，B==2， B= B=70° ∴∠ ∠ ， MBD= B+ DB=90° ∴∠ ∠ ∠ ， 同理可得∠D=90°， ED= D= MBD=90° ∴∠ ∠ ∠ ， 在△BDM 和△DE 中， ， BDM DE(SS) ∴△ ≌△ ， MD=ED ∴ ，∠MDB= ED ∠ ， MDE= BD=140° ∴∠ ∠ ， MD=70° ∵∠ ， ED=70°= MD ∴∠ ∠ ， 在△MD 和△ED 中， ， MD ED(SS) ∴△ ≌△ ， M=E=+E ∴ ， M ∴△ 的周长=M+M+=M++E+=M+++BM=B+=4； 故答为：4． 10．(1)如图1，△B 中，D 为中线，求证：B+＞2D； (2)如图2，△B 中，D 为B 的中点，DE⊥DF 交B、于E、F．求证：BE+F＞EF． 【答】(1)证明见解析；(2)证明见解析． 【详解】(1)如图，延长 至点E，使 ． ∵D 为中线， ∴ ． ∴在 和 中， ， ∴ ， ∴ ． ∵在 中， ， ∴ ． (2)如图，延长 至点G，使 ，连接G，EG． ∵D 为中线， ∴ ． ∴在 和 中， ， ∴ ， ∴ ． ∵ ， ∴ ， ∴在 和 中， ， ∴ ， ∴ ． ∵在 中， ， ∴ ． 11．问题背景：课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题：如图1，△B 中，若B＝4，＝ 3，求B 边上的中线D 的取值范围．小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法： 延长D 到点E，使DE＝D，则得到△D △ ≌EDB，小明证明△BED △ ≌D 用到的判定定理是： (用字母表示)； 问题解决：小明发现：解题时，条件中若出现“中点”“中线”字样，可以考虑延长中线 构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论集合到同一个三角形中．请写出小明 解决问题的完整过程； 拓展应用：以△B 的边B，为边向外作△BE 和△D，B＝E，＝D，∠BE＝∠D＝90°，M 是B 中 点，连接M，DE．当M＝3 时，求DE 的长． 【答】问题背景： SS；问题解决：完整过程见解析；拓展应用： DE＝6． 【详解】问题背景：如图1，延长D 到点E，使DE＝D，连接BE， ∵D 是△B 的中线， ∴BD＝D， 在△D 和△EDB 中， ， ∴△D≌△EDB(SS)， 故答为：SS； 问题解决：如图1，延长D 到点E，使DE＝D，连接BE， ∵D 是△B 的中线，∴BD＝D， 在△D≌△EDB 中， ， ∴△D≌△EDB(SS)， ∴BE＝， 在△BE 中，B﹣BE＜E＜B+BE， ∵B＝4，＝3， 4 3 ∴﹣＜E＜4+3，即1＜E＜7， ∵DE＝D， ∴D＝ E， ∴ ＜D＜ ； 拓展应用：如图2，延长M 到，使得M＝M，连接B， 由问题背景知，△BM≌△M(SS)， ∴B＝，∠M＝∠BM， // ∴B， ∵＝D， ∴B＝D， // ∵B， ∴∠B+∠B＝180°， ∵∠BE＝∠D＝90°， ∴∠B+∠ED＝180°， ∴∠B＝∠ED， 在△B 和△ED 中， ， ∴△B≌△ED(SS)， ∴＝DE， ∵M＝M， ∴DE＝＝2M， ∵M＝3， ∴DE＝6． 12．如图，在△B 中，∠B、∠B 的平分线交于点D，延长BD 交于E，G、F 分别在BD、B 上，连接DF、GF，其中∠＝2∠BDF，GD＝DE． (1)当∠＝80°时，求∠ED 的度数； (2)求证：F＝FG＋E． 【答】(1) ；(2)证明见解析 【解析】(1)解：在△B 中，∵∠＝80°， ∴ ， ∠B、∠B 的平分线交于点D， ， ， ∠ED= DB+ DB ∠ ∠ ； (2) 解：在线段 上取一点 ，使 ，连接 ，如图所示： 平分 ， ， 在 和 中， ， ， ， ， ， 为 的一个外角， ， 为 的一个外角， ， 平分 ， ， ， ∠＝2∠BDF， 在 和 中， ， ， ， ， ． 13．如图，B 中，D 平分∠B ，DG B ⊥且平分 B ，DE B ⊥ 于 E ，DF ⊥于 F ． (1)说明 BE  F 的理由； (2)如果 B  5 ，  3 ，求 E 、 BE 的长． 【答】(1)见解析；(2) BE  1 ， E  4 ． 【详解】(1)证明：连接BD，D， D 平分B，DEB，DF， DEDF，BEDFD90， DGB 且平分B， BDD， 在RtBED 与RtFD 中， RtBED≌RtFD(L)， BEF； (2)解：在ED 和FD 中， ED≌FD(S)， EF， 设BEx，则Fx， B5，3，EBBE，FF， 5x3x，解得：x1， BE1，EBBE514． 14．数学课上，张老师出示了问题：如图1，四边形BD 是正方形， ， ， ∥ ， ∥ 点E 是 边B 的中点． ，且EF 交正方形外角 的角平分线F 于点F，求证：E=EF． 经过思考，小明展示了一种正确的解题思路：取B 的中点M，连接ME，则M=E，易证 ，所以 ． 在此基础上，同学们作了进一步的研究： (1) 小颖提出：如图2，如果把“点E 是边B 的中点”改为“点E 是边B 上(除B，外)的任意 一点”，其它条件不变，那么结论“E=EF”仍然成立，你认为小颖的观点正确吗？如果正确， 写出证明过程；如果不正确，请说明理由； (2)小华提出：如图3，点E 是B 的延长线上(除点外)的任意一点，其他条件不变，结论 “E=EF”仍然成立．你认为小华的观点正确吗？如果正确，写出证明过程；如果不正确，请 说明理由． 【答】(1)正确．证明见解析；②正确证明见解析 【详解】试题分析：(1)在B 上取一点M，使M=E，连接ME，根据已知条件利用S 判定 △ME EF ≌△ ，因为全等三角形的对应边相等，所以E=EF． (2)在B 的延长线上取一点，使=E，连接E，根据已知利用S 判定△E EF ≌△ ，因为全等三角形 的对应边相等，所以E=EF． 试题解析：(1)正确． 证明：在B 上取一点M，使M=E，连接ME． BM=BE ∴ ， BME=45° ∴∠ ， ME=135° ∴∠ ， F ∵是外角平分线， DF=45° ∴∠ ， EF=135° ∴∠ ， ME= EF ∴∠ ∠ ， EB+ BE=90° ∵∠ ∠ ，∠EB+ EF=90° ∠ ， BE= EF ∴∠ ∠ ， ME EF(S) ∴△ ≌△ ， E=EF ∴ ． (2)正确． 证明：在B 的延长线上取一点．使=E，连接E． B=BE ∴ ， = E=45° ∴∠∠ ， F ∵平分∠DG， FE=45° ∴∠ ， = EF ∴∠∠ ， ∵四边形BD 是正方形， D BE ∴∥ ， DE= BE ∴∠ ∠ ， 即∠DE+90°= BE+90° ∠ ， E= EF ∴∠ ∠ ， E EF(S) ∴△≌△ ， E=EF ∴ ． 15．如图，在△B 中，∠B 的平分线BD 交∠B 的平分线E 于点． (1)求证： ． (2)如图1，若∠=60°，请直接写出BE，D，B 的数量关系． (3)如图2，∠=90°，F 是ED 的中点，连接F． ①求证：B−BE−D=2F． ②延长F 交B 于点G，若F=2，△DE 的面积为10，直接写出G 的长． 【答】(1)见解析；(2)BE+D=B，；(3)①见解析；② 【解析】(1)证明：∵BD 平分∠B，E 平分∠B， ∴∠B= ∠B，∠B= ∠B， ∴∠B=180°−(∠B+∠B) =180°− (∠B+∠B) =180°− (180°− ) ∠ = +90° ∠ ； (2)解：BE+D=B． 在B 上截取BM=BE，连接M，如图： ∵∠B= +90°=120° ∠ ， ∴∠BE=60°， ∵BD 平分∠B， ∴∠EB=∠MB， ∴△BE≌△BM， ∴∠BE=∠BM=60°， ∴∠M=∠D=60°， ∵为∠DM 的角平分线， ∴∠D=∠M， 在△D 与△M 中， ， ∴△D≌△M (S)， ∴M=D， ∴B=BM+M=BE+D； (3)①证明：如图，延长F 到点M，使MF=F，连接EM， ∴M=2F． ∵F 是ED 的中点， ∴EF=DF， ∵∠DF=∠EFM， ∴△DF≌△MEF(SS)， ∴D=EM． 过点作E，BD 的垂线，分别交B 于点K，， ∴∠K+∠K=90°． =90° ∵∠ ， ∴∠E+∠E=90° ∵∠E=∠K， ∴∠E=∠K， ∴∠BE=∠BK， ∴△BE≌△BK(S)， 同理可得△D≌△， ∴E=K，D==EM，BE=BK，D=． 由(1)可知∠DE=∠B= ×90°+90°=135°， ∴∠BE=∠D=45°， ∴∠EM=∠K=45°， ∴△ME≌△K， ∴K=M， ∴K=2F． ∵B−BK−=K=2E， ∴B−BE−D=K=2F； ②解：∵△ME≌△K， ∴∠EM=∠K， ∴FG⊥B． 由①可知K=2F=4，△DF≌△MEF， ∴S△DE=S△ME=S△K=10， ∴K×G× =10， ∴G=5．