第1章 有理数压轴题考点训练（教师版）

第一章 有理数压轴题考点训练 1．设||=4，|b|=2，且|+b|=－(+b)，则－b 所有值的和为( ) ．－8 B．－6 ．－4 D．－2 【答】 【详解】∵|+b|=－(+b)，∴+b≤0，∵||=4，|b|=2，∴=±4，b=±2，∴=－4，b=±2， 当=－4，b=－2 时，-b=－2； 当=－4，b=2 时，-b=－6； 故－b 所有值的和为：－2+(－6)=－8．故选． 2．实数 在数轴上的对应点的位置如图所示，若 ，则，B，，D 四个点 中可能是原点的为( ) ．点 B．B 点 ．点 D．D 点 【答】D 【详解】解：根据数轴可知 ， ①若原点的位置为点时，x＞0，则 ， ， ， ∴ ，舍去； ②若原点的位置为B 点或点时， ， 则 或 ， ，∴ ，舍去； ③若原点的位置为D 点时， ，则 ， ∴ ，符合条件，∴最有可能是原点的是D 点，故选：D． 3．如图，，B，，D 是数轴上四个点，点表示数为10，E 点表示的数为 ，则数 所对应的点在线段( )上． ． B． ． D． 【答】 【详解】 点表示数为10，E 点表示的数为 在B 段 故选： 4．计算 的结果是( ) ． B． ． D． 【答】D 【详解】解： = = ， = = ，故选：D． 5．如图，在一个由六个圆圈组成的三角形里，把-1，-2，-3，-4，-5，-6 这6 个数分别填入 图中圆圈里，要求三角形每条边上的三个数的和S 都相等，那么S 的最大值是( ) ．-9 B．-10 ．-12 D．-13 【答】 【详解】解：六个数的和为： ， 最大三个数的和为： ，， S= ． 填数如图： 故选． 6．|x 2|+| ﹣ x 4|+| ﹣ x 6|+| ﹣ x 8| ﹣ 的最小值是， ，那么 的值为( ) ．﹣2 B．﹣1 ．0 D．不确定 【答】 【详解】解：∵|x 2|+| ﹣ x 4|+| ﹣ x 6|+| ﹣ x 8| ﹣ 的最小值是， ∴当 时，|x 2|+| ﹣ x 4|+| ﹣ x 6|+| ﹣ x 8| ﹣ 有最小值8，∴ ， ∵ ， ∴ ， ∴ ， ∴ ， ，∴ ， ， ∴ ∴ = = = = =0； 故选：． 7．若|x|＝11，|y|＝14，|z|＝20，且|x+y|＝x+y，|y+z|＝﹣(y+z)，则x+y﹣z＝_____． 【答】45 或23 【详解】解：∵|x|＝11，|y|＝14，|z|＝20， ∴x＝±11，y＝±14，z＝±20． | ∵x+y|＝x+y，|y+z|＝﹣(y+z)， ∴x+y≥0，y+z≤0． ∵x+y≥0．∴x＝±11，y＝14． ∵y+z≤0，∴z＝﹣20 当x＝11，y＝14，z＝﹣20 时，x+y﹣z＝11+14+20＝45； 当x＝﹣11，y＝14，z＝﹣20 时，x+y﹣z＝﹣11+14+20＝23． 故答为：45 或23． 8．若||+|b|=|+b|，则、b 满足的关系是_____． 【答】、b 同号或、b 有一个为0 或同时为0 【详解】∵||+|b|=|+b|， ∴、b 满足的关系是、b 同号或、b 有一个为0，或同时为0， 故答为、b 同号或、b 有一个为0，或同时为0． 9．计算： _________． 【答】 【详解】解：设 ，则 ， ∴原式= = = = 故答为： 10．已知，b，，d 表示4 个不同的正整数，满足+b2+3+d4＝90，其中d＞1，则+2b+3+4d 的 最大值是_____． 【答】81 【详解】解：∵，b，，d 表示4 个不同的正整数，且+b2+3+d4＝90，其中d＞1， ∴d4＜90，则d＝2 或3， 3＜90，则＝1，2，3 或4， b2＜90，则b＝1，2，3，4，5，6，7，8，9， ＜90，则＝1，2，3，…，89， 4 ∴d≤12，3≤12，2b≤18，≤89， ∴要使得+2b+3+4d 取得最大值， 则取最大值时，＝90 ( ﹣b2+3+d4)取最大值， ∴b，，d 要取最小值，则d 取2，取1，b 取3， ∴的最大值为90 (3 ﹣ 2+13+24)＝64， +2 ∴ b+3+4d 的最大值是64+2×3+3×1+4×2＝81， 故答为：81． 11．如图，将一个半径为1 个单位长度的圆片上的点放在原点，并把圆片沿数轴滚动1 周， 点到达点 的位置，则点 表示的数是 _______；若起点开始时是与—1 重合的，则滚动2 周后点 表示的数是______． 【答】 或 或 【详解】解：因为半径为1 的圆的周长为2 ， 所以每滚动一周就相当于圆上的点平移了 个单位，滚动2 周就相当于平移了 个单位； 当圆向左滚动一周时，则'表示的数为 ， 当圆向右滚动一周时，则'表示的数为 ； 当点开始时与 重合时， 若向右滚动两周，则'表示的数为 ， 若向左滚动两周，则'表示的数为 ； 故答为： 或 ； 或 ． 12．已知 ， ， ，…，依此类推，则 _______． 【答】 【详解】因为 ， 所以 = =-1， = =-1， = =-2， ， 所以为奇数时， ，为偶数时， ， 所以 - =-1009， 故答为：-1009． 13．问题提出：学习了||为数轴上表示的点到原点的距离之后，小凡所在数学兴趣小组对 数轴上分别表示数和数b 的两个点，B 之间的距离进行了探究： (1)利用数轴可知5 与1 两点之间距离是 ；一般的，数轴上表示数m 和数的两点之间 距离为 ． 问题探究：(2)请求出|x 3|+| ﹣ x 5| ﹣ 的最小值． 问题解决：(3)如图在十四运的场地建设中有一条直线主干道L，L 旁依次有3 处防疫物资放 置点，B，，已知B＝800 米，B＝1200 米，现在设计在主干道L 旁修建防疫物资配发点 P，问P 建在直线L 上的何处时，才能使得配发点P 到三处放置点路程之和最短？最短路 程是多少？ 【答】(1)4， ；(2)2；(3)B，2000 米， 【详解】解：(1)数轴上表示5 和1 的两点距离为4，数轴上表示数m 和数的两点之间距离 为 ； 故答为：4， ； (2) | ∵x 3| ﹣ 表示x 的点到3 的点的距离，|x 5| ﹣ 表示x 的点到5 的点的距离， 到数轴上两个点距离之和最小的点取在这两点之间，最小距离即是这两个点的距离， | ∴x 3|+| ﹣ x 5| ﹣ 的最小值为 ， (3)∵到数轴上三个点距离之和最小的点即是中间那个点，最小值是左右两边二点之间的距 离， ∴当配发点P 在点B 时，到三处放置点路程之和最短； 即：最小距离和=B+B= 800 米+1200 米=2000 米． 14．如图，在数轴上点表示数，B 点表示数b，且、b 满足 ． 求、B 两点之间的距离； 点、D 在线段B 上，为14 个单位长度，BD 为8 个单位长度，求线段D 的长； 在 的条件下，动点P 以3 个单位长度秒的速度从点出发沿正方向运动，同时点Q 以2 个单位长度秒的速度从D 点出发沿正方向运动，求经过几秒，点P、点Q 到点的距 离相等． 【答】 ； ； 经过 或10 秒，点P、点Q 到点的距离相等． 【详解】 ． ， ， 即： ， ； ； 点、D 在线段B 上， ， ， ， ， ； 设经过t 秒，点P、Q 到点的距离相等， ， ， ， 当点P、Q 重合时， ， 即： ， 解得， ， 当点是PQ 的中点时， 有 ，即， ， ， 解得， ， 答：经过 或10 秒，点P、点Q 到点的距离相等． 15．我国著名数学家华罗庚说过“数缺形时少直观，形少数时难入微”．数轴是一个非常 重要的数学工具，它使数和数轴上的点建立起对应关系，揭示了数与点之间的内在联系， 它是“数形结合”的基础． 例如，式子 的几何意义是数轴上 所对应的点与2 所对应的点之间的距离；因为 ，所以 的几何意义就是数轴上 所对应的点与-1 所对应的点之间的距 离． 结合数轴与绝对值的知识回答下列问题： (1)若 ，则 ； 的最小值是 ． (2)若 ，则 的值为 ；若 ，则 的值为 ． (3)是否存在 使得 取最小值，若存在，直接写出这个最小值及此时 的取值情况；若不存在，请说明理由． 【答】(1)5 或-1；5；(2) 或4； 或 ；(3) 的最小值为17，此时 【详解】解：(1)∵ ，∴ ，∴ ，∴ 或 ； 设点表示的数为-2，B 点表示的数为3，P 点表示的数为x， ∴ 表示的意义即为数轴上一点P 到的距离和到B 的距离之和， 如图所示，当P 在B 之间(包含、B)时， ； 当P 在点左侧时 ； 同理当P 在B 点右侧时 ； ∴ 的最小值为5， 故答为：5 或-1；5； (2)设点表示的数为-2，B 点表示的数为3，P 点表示的数为x， 由(1)可知当当P 在B 之间(包含、B)时， ，当P 在点左侧时 ，当P 在B 点右侧时 ∵ ， ∴当P 在点左侧时 即 ， ∴ ； 同理当P 在B 点右侧时 即 ， ∴ ； ∴当 时， 或4； 当 时， ∵ ， ∴ ， 解得 符合题意； 当 时， ∵ ， ∴ ， 解得 符合题意； 当 时 ∵ ， ∴ ， 解得 不符合题意； 当 时 ∵ ， ∴ ， 解得 不符合题意； ∴综上所述，当 ， 或 ； 故答为： 或4； 或 ； (3)当 时， ∴ ， 当 时， ∴ ， 当 时 ∴ ， 当 时 ∴ ， ∴此时 ∴综上所述， 的最小值为17，此时 ．