第15章 分式压轴题考点训练（教师版）

第十五章 分式压轴题考点训练 1．关于x 的分式方程 解为非负数，关于x 的不等式组 至少 有四个整数解，则满足条件的所有整数的积为( ) ．3 B．2 ．6 D．0 【答】B 【详解】解：解分式方程 得 ， ，且 ， 且 ， ， 解不等式组 得 ， 不等式至少有四个整数解， ， 解得 ， 满足条件的 的整数有1，2， 满足条件的所有整数 的积为2， 故选：B． 2．若关于x 的不等式组 有解，且关于y 的分式方程 有正整数 解，则满足条件的所有整数的和为( ) ．2 B．5 ．6 D．9 【答】 【详解】 解不等式①得：x≤2， 解不等式②得： ， ∵不等式组有解， ∴ ， ∴ ， 解分式方程 得： 解得： ∵分式方程有正整数解，且 ∴ 、3 ∴满足条件的所有整数为2、4 ∴满足条件的所有整数的和为2+4=6 故选： 3．若关于x 的分式方程 的解为非负数，且关于y 的不等式组 有3 个整数解，则所有满足条件的整数的值之和为( ) ．19 B．22 ．30 D．33 【答】B 【详解】解：解分式方程可得： ，且 ∵解为非负数， ∴得： ，即 且 ， 解不等式组 ， 解不等式①得： ， 解不等式②得： ， ∴不等式组的解集为： ， ∵有3 个整数解， ∴ ，3，4，即 利用不等式性质，将其两边先同时减1，再乘以3，可得 ， 综上所述：的整数值可以取10、12， ∴其和为22， 故选：B 4．若整数使得关于x 的不等式组 解集为 ，使得关于y 的分式方程 ＝ +2 的解为正数，则所有满足条件的整数的和为( ) ．﹣21 B．﹣20 ．﹣17 D．﹣16 【答】D 【详解】解：解不等式 ，得 ， 解不等式 ，得 ， ∵该不等式组的解集为 ， ∴ ，解得 ， ∵关于y 的分式方程 ＝ +2 的解为正数， ∴ ， ∴ 且 ，解得 且 ， ∴的取值范围为 且 ， ∴符合条件的整数有：-6、-5、-3、-2、-1、0、1， 所有整数相加的和为： ． 故选：D． 5．腊味食品是川渝人民的最爱，去年12 月份，某销售商出售腊肠、腊舌、腊肉的数量之 比为 ，腊肠、腊舌、腊肉的单价之比为 ．今年1 月份，该销售商将腊肠单价 上调 ，腊舌、腊肉的单价不变，并加大了宣传力度，预计今年1 月份的营业额将会增 加，其中腊肉增加的营业额占总增加营业额的 ，今年1 月份腊肉的营业额将达到今年1 月份总营业额的 ．若腊舌今年1 月份增加的营业额与今年1 月份总营业额之比为 ， 则今年1 月份出售腊肠与腊肉的数量之比是__________． 【答】20：21 【详解】解：设去年12 月份腊肠的单价为3x，则去年12 月份腊舌，腊肉的单价分别为 3x，2x，今年1 月份腊肠的单价为36x，去年12 月份腊肠的销售数量为3y，则腊舌，腊肉 的销售数量分别为5y、3y，1 月份腊肉增加的营业额为z，则总增加营业额为4z， ∴去年12 月份的销售额为 ，1 月份腊肉的销售额为 ， ∴今年1 月份的总销售额为 ， ∵今年1 月份腊肉的营业额将达到今年1 月份总营业额的 ， ∴ ， ∴ (经检验，符合分式方程有意义的条件)， ∴今年1 月份的总销售额为 ，腊肉的销售额 ∵腊舌今年1 月份增加的营业额与今年1 月份总营业额之比为1：5， ∴腊舌今年1 月份增加的营业额为 ， ∴腊舌今年1 月份的营业额为 ， ∴腊肠今年1 月份的营业额为 ， 设今年1 月份出售腊肠与腊肉的数量分别为和b， ∴ ， ∴ ， ∴ ， 故答为：20：21． 6．若正数，b，满足b1， ，则 ______． 【答】 【详解】解：解法一：因为 所以 ， 解得 ． 故答为： ． 解法二：由 ，得 ， 因此 ， ． 由此可得 ， ． 所以 故答为： ． 7．若关于x 的分式方程 的解是非负数，则m 的取值范围是________． 【答】m≤6 且m≠4 【详解】解：关于x 的分式方程 的解为：x＝6−m， ∵分式方程有可能产生增根2， 6− ∴ m≠2， ∴m≠4， ∵关于x 的分式方程 的解是非负数， 6− ∴ m≥0， 解得：m≤6， 综上，m 的取值范围是：m≤6 且m≠4． 故答为：m≤6 且m≠4． 8．已知 ，则 的值______． 【答】为-1 或3 【详解】∵ ， ≠0 ∴ ，b≠0，≠0，d≠0， + ∴b+=dm，+b+d=m，++d=bm，b++d=m， 3(+ ∴ b++d)=m(+b++d)， (+ ∴b++d)(m-3)=0， 当+b++d=0 时， +b+=-d，+b+d=-，++d=-b，b++d=-， ∴m=-1； 当+b++d≠0 时， m-3=0，m=3， 综上，m=-1 或m=3． 故答为：为-1 或3． 9．当 分别取2017、2016、2015、 、2、1 时，计算分式 值，所得结果相加的和 为___． 【答】 【详解】解： ， 把1、2、3、 、2016、2017 分别代入 得， 、 、 、 、 、 ， 所得结果相加的和为 ， 故答为： ． 10．已知 ，则 ______． 【答】 【详解】 ， ， ， ， 故答为： ． 11．已知正整数x，y 满足 ，则符合条件的x，y 的值有______组． 【答】2 【详解】解：∵x，y 均为正整数， ∴ ， ， ∴ ， ∴ ，解得 ， 结合 ，可知符合条件的x 的值为：1、2、3、4、5、6、7、8、9， 对应的y 的值为：9、 、 、 、 、 、 、 、， ∴符合条件的x、y 的值为 ， ， ∴符合条件的x，y 的值有2 组． 故答为：2． 12．观察下列等式： ， ， ， 把以上三个等式两边分别相加得： ． 这种求和的方法称为裂项求和法：裂项法的实质是将数列中的每项分解，然后重新组合， 使之能消去一些项，最终达到求和的目的． (1)猜想并写出： ＝______． (2)规律应用：计算： ； (3)拓展提高：计算： ． 【答】(1) ；(2) ；(3) 【解析】(1) ∵ = ， 故答为： ． (2) = = = ． (3) = = = = = ． 13．阅读材料，下列关于 的方程： 的解为： ， ； 的解为： ， ； 的解为： ， ； 的解为： ， ； 根据这些材料解决下列问题： (1)方程 的解是____________； (2)方程 的解是____________； (3)解方程： ． 【答】(1) ， (2) ， (3) ， 【解析】(1) 解：方程 的解为 ， 故答为： ， (2) 由方程 可得 或 ， 解得 ， ， 故答为： ， (3) 将方程 变形为 ， 可得 或 ， 解得 ， 14．某学校2021 年在某商场购买甲、乙两种不同的足球，购买甲种足球共花费4000 元， 购买乙种足球共花费2800 元，购买甲种足球数量是购买乙种足球数量的2 倍．且购买一个 乙种足球比购买一个甲种足球多花20 元； (1)求购买一个甲种足球、一个乙种足球各需多少元； (2)2022 年这所学校决定再次购买甲、乙两种足球共50 个．恰逢该商场对两种足球的售价 进行调整，甲种足球售价比第一次购买时提高了10%，乙种足球售价比第一次购买时降低 了10%．如果此次购买甲、乙两种足球的总费用不超过2910 元，那么这所学校最多可购买 多少个乙种足球？ 【答】(1)一个甲种足球需50 元，一个乙种足球需70 元； (2)这所学校最多可购买20 个乙种足球 【解析】(1) (1)设甲种足球每个x 元，则乙种足球每个 元，由题意得： ， 解得：x=50， 经检验，x=50 是原方程的解， 50+20=70( ∴ 元)． 答：一个甲种足球需50 元，一个乙种足球需70 元． (2) (2)设购买乙种足球m 个， ， ， 由题意得： ， ． 答：这所学校最多可购买20 个乙种足球． 15．某商店决定购进、B 两种纪念品．已知每件种纪念品的价格比每件B 种纪念品的价格 多5 元，用800 元购进种纪念品的数量与用400 元购进B 种纪念品的数量相同． (1)求购进、B 两种纪念品每件各需多少元？ (2)若该商店决定购进这两种纪念品共100 件，考虑市场需求和资金周转，用于购买这100 件纪念品的资金不少于800 元，且不超过850 元，那么该商店共有几种进货方？ (3)已知商家出售一件种纪念品可获利m 元，出售一件B 种纪念品可获利(6﹣m)元，试问在 (2)的条件下，商家采用哪种方可获利最多？(商家出售的纪念品均不低于成本价) 【答】(1)购进 种纪念品每件需要10 元， 种纪念品每件需要5 元；(2)共有11 种进货方； (3)当 ； 种70 件， 种30 件时可获利最多；当 ， 种60 件， 种40 件时 可获利最多 【详解】解：(1)设购进 种纪念品每件价格为 元， 种纪念币每件价格为 元，根据 题意可知： ，解得： ， ． 答：购进 种纪念品每件需要10 元， 种纪念品每件需要5 元． (2)设购进 种纪念品 件，则购进 种纪念品 件，根据题意可得： ， 解得： ， 只能取正整数， ，共有11 种情况， 故该商店共有11 种进货方分别为： 种70 件， 种30 件； 种69 件， 种31 件； 种 68 件， 种32 件； 种67 件， 种33 件； 种66 件， 种34 件； 种65 件， 种35 件； 种64 件， 种36 件； 种63 件， 种37 件； 种62 件， 种38 件； 种61 件， 种39 件； 种60 件， 种40 件． (3)销售总利润为 ， 商家出售的纪念品均不低于成本价， ， 根据一次函数的性质， 当 时，即 ， 随着 增大而增大， 当 时， 取到最大值； 即方为： 种70 件， 种30 件时可获利最多； 当 时，即 ， 随着 增大而减小， 当 时， 取到最大值； 即方为： 种60 件， 种40 件时可获利最多．