第十二章 全等三角形压轴题考点训练（解析版）

第十二章 全等三角形压轴题考点训练 评卷人 得分 一、单选题 1．如图，在四边形 中， 不能判定 的条件是（ ） ． B． ． D． 【答】B 【分析】根据已知条件，分别添加选项进行排查，即可完成解答；注意BD 是公用边这个 条件 【详解】解：若添加B=D,根据B D ∥，则∠BD= DB ∠ ，依据SS 可得△BD DB ≌△ ，故选项正确； B 若添加D=B,根据B D ∥，则∠DB= BD ∠ ，不能判定△BD DB ≌△ ，故B 选项错误； 若添加 ，则四边形BD 是平行四边形，能判定△BD DB ≌△ ，故选项正确； D 若添加∠=∠，根据B D ∥，则∠BD= DB ∠ ，且BD 公用，能判定△BD DB ≌△ ，故D 选项正确； 故选B 【点睛】本题考查了全等三角形的判定：全等三角形的5 种判定方法中，选用哪一种方法， 取决于题目中的已知条件，若已知两边对应相等，则找它们的夹角或第三边；若已知两角 对应相等，则必须再找一组对边对应相等，且要是两角的夹边，若已知一边一角，则找另 一组角，或找这个角的另一组对应邻边 2．在△B 中，∠=90°，D 为B 的中点，ED B, DE= E ⊥∠ ∠，则 ∠B＝（ ） ．30° B．60° ．80 ° D．50° 【答】B 【详解】试题解析：∵D 为B 的中点，ED⊥B， ∴DE 为线段B 的垂直平分线， ∴E=BE， ∴∠DE=∠DBE， ∴∠DE=∠DBE=∠E， 在Rt△B 中， ∵∠B+∠DBE=90°， ∴∠E+∠DE+∠DBE=90°， 3 ∴∠DBE=90°， ∴∠DBE=30°， ∴∠B=90°-∠DBE=90°-30°=60°． 故选B． 3．如图中，E B ⊥且E＝B，B D ⊥ 且B＝D，若点E、B、D 到直线的距离分别为6、3、2，则 图中实线所围成的阴影部分面积S 是( ) ．50 B．44 ．38 D．32 【答】D 【分析】由已知和图形根据“K”字形全等，用S 可证△FE≌△MB，△D≌△MB，推出 M=EF=6，F=BM=3， M=D=2，BM==3，从而得出F=14，根据阴影部分的面积=S 梯形EFD- S△EF-S△B-S△D 和面积公式代入求出即可． 【详解】∵E⊥B，EF⊥F，BM⊥M， ∴∠F=∠MB=∠EB=90°， ∴∠FE+∠EF=90°，∠EF+∠BM=90°， ∴∠FE=∠BM， 在△FE 和△MB 中 ， ∴△FE≌△MB（S）， ∴M=EF=6，F=BM=3， 同理M=D=2，BM==3， ∴F=3+6+2+3=14， ∴梯形EFD 的面积= = =56， ∴阴影部分的面积=S 梯形EFD-S△EF-S△B-S△D= =32． 故选D． 【点睛】本题考查了三角形的面积，梯形的面积，全等三角形的性质和判定等知识点，关 键是把不规则图形的面积转化成规则图形的面积． 4．如图，在 中， 和 的平分线 相交于点， 交 干E， 交 于F，过点作 于D，下列三个结论：① ；②当 时， ；③若 ，则 ．其中正确的是 （ ） ．①② B．②③ ．①②③ D．①③ 【答】 【分析】由角平分线的定义和三角形内角和定理可求解 和 的关系，即可判定①； 根据 得 ，根据角平分线和三角形内角和定理得 ， 在 上取一点，使 ，利用SS 证明 可得 ，利用 S 可证明 得 ，进而可判定②；作 于， 于M，根 据题意得 ，根据 ，利用三角形面积即可判断③即可 解答． 【详解】解：∵ 和 的平分线 ， 相交于点， ∴ ， ， ∴ = = = ，故①正确； ∵ ， ∴ ， ∵ ， 分别是 和 的平分线， ∴ ， ∴ ， ∴ ， ∴ ， 如图所示，在 上取一点，使 ， ∵ 是 的角平分线， ∴ ， 在 和 中， ∴ ， ∴ ， ∴ ， ∴ ， 在 和 中， ∴ ， ∴ ， ∴ ， 故②正确； 如图所示，作 于， 于M， ∵ 和 的平分线相交于点， ∴点在 的平分线上， ∴ ， ∵ ， ∴ = = ， 故③正确； 综上，①②③正确， 故选：． 【点睛】本题主要考查了三角形内角和定理、三角形全等的判定与性质、角平分线的性质 等知识点，正确添加辅助线是解题的关键． 5．如图，△B 中,=B, B=90°,E ∠ 平分∠B 交B 于E,BD E ⊥于D,连D,下列结论:①B-=E；② ∠DB=135°；③S△E=2 S△DB；④B=3D,其中正确的有（ ） ．4 个 B．3 个 ．2 个 D．1 个 【答】B 【分析】①作高线E，先根据角平分线定理得：E=E，再证明△E E(S) ≌△ 可得：=，根据线段 的和可得结论； ②先证明点，B，D，在以B 为直径的圆上，得∠D= B=45° ∠ ，所以可得∠BD=135°； ③作辅助线，构建全等三角形，证明△E BG ≌△ ，根据等腰三角形三线合一得BD=DG，知道： △BD 和△DG 的面积相等，由此可得： ； ④根据③知：B=G=+G，在△DG 中，可知D>G，从而得结论． 【详解】①过点E 作E B ⊥于，如图1， B=45° ∵∠ ， BE ∴△ 是等腰直角三角形， E=B ∴ ， E ∵平分∠B， E=E ∴ ， E=B ∴ ， 在△E 和△E 中， ∵ ， E E(S) ∴△≌△ ， = ∴， B−=B−=B=E ∴ ， 故①正确； ② B=90° ∵∠ ，BD E ⊥于D， B= DB=90° ∴∠ ∠ ， ∴点，B，D，在以B 为直径的圆上， D= B=45° ∴∠ ∠ ， BD= DB+ D=90°+45°=135° ∴∠ ∠ ∠ 故②正确； ③如图2，延长BD、交于点G， D ∵ 平分∠BG，D BG ⊥ ， BD=DG ∴ ， D ∴ 是Rt△BG 的斜边的中线， D=BD ∴ ， ， DB= DB=225° ∴∠ ∠ ， BG= E=225° ∴∠ ∠ ， =B ∵ ，∠E= BG ∠ ， E BG ∴△≌△ ， ∴ ， 故③正确； ④ B=G=+G ∵ ， BG=2D> ∵ ，D>G， B≠3D ∴ ， 故④错误， 故选B． 【点睛】本题考查了全等三角形的形判定和性质，以及直角三角形斜边上的中线，掌握辅 助线的做法证明三角形全等是解题的关键 6．如图， 中， ， 于 ， 平分 ， 于 ，与 相交于点 ， 是 边的中点，连接 与 相交于点 ，下列结论：① ；② ；③ 是等腰三角形；④ ．正确的有 ( )个． ． 个 B．个 ． 个 D．个 【答】B 【分析】只要证明△BDF D ≌△，△B 是等腰三角形， ，可判断①②③ 正，作GM BD ⊥ 于M，只要明 即可判断④错误 【详解】∵ 平分 ， BE= BE ∴∠ ∠ ，∠EB= EB ∠ ， = B ∴∠∠， B ∴△是等腰三角形 ∵ ∴ D B ∵⊥，BE⊥， BD ∴∠ ＝∠D＝∠EB＝90° + BE ∴∠∠ ＝90°，∠BE+ DFB ∠ ＝90° ∴∠＝∠DFB B ∵∠＝45°，∠BD＝90°， DB ∴∠ ＝90°-45°＝45°＝∠DB BD ∴ ＝D， 在△BDF 和△D 中， BDF D(S) ∴△ ≌△ BF ∴ ＝， ∴ 故①正确， BE ∵∠ ＝∠EB＝225°，BE⊥ ∴∠＝∠B＝675°, 故②正确； BE ∵ 平分∠B，∠B＝45°， BE ∴∠ ＝∠EB＝225°， BDF ∵∠ ＝∠BG＝90° BG ∴∠ ＝∠BFD＝675° DGF ∴∠ ＝∠DFG＝675° DG ∴ ＝DF，故③正确， 作GM B ⊥于M，如图所示： GBM ∵∠ ＝∠GB，G B ⊥ G ∴＝GM＜ DG ∴ ∵ ∴ ， 故④错误； 故答为B 【点睛】本题是三角形综合题，考查了等腰三角形的性质，直角三角形的性质，全等三角 形的性质和判定，正确添加辅助线是解题的关键,难度很大 7．如图，已知，BD 为△B 的角平分线，且BD=B，E 为BD 延长线上的一点，BE=B．下面结 论：①△BD EB ≌△ ② ； =2D ③ ； D=E=E ④ ； ∠BE+ BD=180° ∠ ．其中正确的是（ ） ．①②③ B．①②④ ．①③④ D．②③④ 【答】 【详解】已知BD 为△B 的角平分线，根据角平分线的定义可得∠BD=∠BD， 在△BD 和△EB 中， BD＝B，∠BD＝∠BD，BE＝B， 由SS 可判定△BD≌△EB，即可得①正确，符合题意； 根据已知条件，无法证明=2D，②错误，不符合题意； 已知BD 为△B 的角平分线，BD=B，BE=B，可得∠BD=∠BD=∠BE=∠BE， 再由∠BE=∠BD，∠BE=∠BD+∠DE，∠BD=∠DE+∠BE，∠BD=∠BE，可得∠DE=∠DE，所 以E=E； 再由△BD≌△EB，可得D=E， 所以D=E=E，即③正确，符合题意； 由△BD≌△EB，可得∠BE=∠BD， 所以∠BE+∠BD=∠BD+∠BD=180°，④正确，不符合题意． 故选：． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定及性质、等腰三角形的的性质、三角形外角的性质， 本题中熟练求证三角形全等和熟练运用全等三角形对应角、对应边相等性质是解题的关键． 8．如图，Rt B △中，∠B=90°，∠B 的平分线BE 和∠B 的外角平分线D 相交于点P，分别交和 B 的延长线于E，D，过P 作PF D ⊥ 交的延长线于点，交B 的延长线于点F，连接F 交D 于点 G，则下列结论：①∠PB=45° ② ； PF=P ③ ； BD =B ﹣ ④ ； DG=P+G，其中正确的是（ ） ．1 B．2 ．3 D．4 【答】 【分析】①根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和与角平分线的定义表示 出∠P，再根据角平分线的定义∠BP= B ∠，然后利用三角形的内角和定理整理即可得解； ②先求出∠PB= FPB ∠ ，再利用“角边角”证明△BP 和△FBP 全等，根据全等三角形对应边相 等得到B=BF，P=PF； ③根据直角的关系求出∠P= FDP ∠ ，然后利用“角角边”证明△P 与△FDP 全等，根据全等三 角形对应边相等可得DF=； ④根据PF D ⊥，∠B=90°，可得G D ⊥，然后求出∠DG= DG=45° ∠ ，再根据等角对等边可得 DG=G，再根据等腰直角三角形两腰相等可得G=GF，然后求出DG=G+F，有直角三角形斜边 大于直角边，F＞P，从而得出本小题错误 【详解】解：①∵∠B 的角平分线BE 和∠B 的外角平分线， BP= ∴∠ B ∠， P= ∠ （90°+ B ∠）=45°+ B ∠， 在△BP 中，∠PB=180°- BP- BP ∠ ∠ ， =180°-（45°+ B+90°- B ∠ ∠）- B ∠， =180°-45°- B-90°+ B- ∠ ∠ B ∠， =45°，故本小题正确； ② PF D ∵ ⊥，∠PB=45°（已证）， PB= FPB=45° ∴∠ ∠ ， PB ∵∵ 为∠B 的角平分线， BP= FBP ∴∠ ∠ ， 在△BP 和△FBP 中， ， BP FBP ∴△ ≌△ （S）， B=BF ∴ ，P=PF；故②正确； ③ B=90° ∵∠ ，PF D ⊥， FDP+ P=90° ∴∠ ∠ ，∠P+ P=90° ∠ ， P= FDP ∴∠ ∠ ， PF D ∵ ⊥， P= FPD=90° ∴∠ ∠ ， 在△P 与△FDP 中， P FDP ∴△≌△ （S）， DF= ∴ ， BD=DF+BF ∵ ， BD=+B ∴ ， BD-=B ∴ ，故③小题正确； ④ PF D ∵ ⊥，∠B=90°， G D ∴⊥， P=PF ∵ ，PF D ⊥， PF=45° ∴∠ ， DG= DG=45° ∴∠ ∠ ， DG=G ∴ ， PF=45° ∵∠ ，G D ⊥， DG ∴△ 与△FG 都是等腰直角三角形， DG=G ∴ ，G=GF， DG=G+F ∴ ， F ∵＞P， DG=P+G ∴ 不成立，故本小题错误， 综上所述①②③正确． 故选: 【点睛】本题考查了直角三角形的性质，全等三角形的判定，以及等腰直角三角形的判定 与性质，等角对等边，等边对等角的性质，综合性较强，难度较大，做题时要分清角的关 系与边的关系 9．如图， 为 的角平分线，且 ， 为 延长线上的一点， ， 过 作 ， 为垂足．下列结论：① ；② ；③ ；④ ．其中正确的是（ ） ．①②③ B．①③④ ．①②④ D．①②③④ 【答】D 【分析】易证 ，可得 ， 可得①②正确，再根据 角平分线的性质可求得 ，即③正确，根据③可求得④正确． 【详解】解： 为 的角平分线， ， 在 和 中， ， ，①正确； ， ， ， ， ， ，②正确， ， ， ， ， ， ，③正确； 过 作 ，交 的延长线于点 ， ， 平分 ， ， 在 和 中， ， ， ， 在 和 中， ， ， ， ，④正确； 故选：D． 【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定，全等三角形的对应边、对应角相等的性质， 本题中熟练求证三角形全等和全等三角形对边角、对应边相等的性质是解题的关键． 10．在△B 中，B  90°，B=，D、E 是斜边 B 上两点，且∠DE＝45°，将△D 绕点 顺时针 旋转90° 得到△FB， 连接 EF．下列结论：①BE⊥BF；②△B 的面积等于四边形 FBD 的面 积；③当 BE  D 时，线段 DE 的长度最短．其中正确的个数（ ） ．0 个 B．1 个 ．2 个 D．3 个 【答】D 【分析】由旋转的性质可得∠BF=∠B=45°，可求∠FBE=90°，可得BE⊥BF，故①正确；由 旋转的性质可得△D≌△BF，由面积的和差关系可得△B 的面积等于四边形FBD 的面积，故 ②正确；由“SS”可证△FE≌△DE，可得DE=EF，由勾股定理可得BE2+D2=DE2，即可求解． 【详解】∵∠B=90°，B=， ∴∠B=∠B=45°， ∵将△D 绕点顺时针旋转90°得到△FB， ∴∠BF=∠B=45°， ∴∠FBE=∠BF+∠B=90°， ∴BE⊥BF，故①正确； ∵将△D 绕点顺时针旋转90°得到△FB， ∴△D≌△BF， ∴S△D=S△FB， ∴S△DB+S△D=S△DB+S△BF， ∴△B 的面积等于四边形FBD 的面积，故②正确； ∵△FB≌△D， ∴BF=D，∠D=∠BF，∠DF=90°， ∵∠B=90°，∠DE=45°， ∴∠BE+∠D=45°， ∴∠EF=∠BF+∠BE=∠D+∠BE=45°， 即∠FE=∠DE=45°， 在△FE 和△DE 中 ， ∴△FE≌△DE（SS）， ∴DE=EF， 在Rt△FBE 中，由勾股定理得：BE2+BF2=EF2， ∵BF=D，EF=DE， ∴BE2+D2=DE2， ∵（BE-D）2≥0， ∴BE2+D2≥2BE•D， ∴BE=D 时，BE2+D2有最小值， ∴当BE=D 时，线段DE 的长度最短，故③正确， 故选：D． 【点睛】本题是四边形综合题，考查了等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质， 旋转的性质，勾股定理等知识，证明△FE≌△DE 是解题的关键． 评卷人 得分 二、填空题 11．在Rt△B 中，∠＝90°，∠的平分线D 分对边BD，D 的长度比为3：2，且B＝20m，则点 D 到B 的距离是 m． 【答】8 【分析】根据题意画出图形，过点D 作DE B ⊥于点E，由角平分线的性质可知DE＝D，根 据角平分线D 分对边B 为BD：D＝3：2，且B＝10m 即可得出结论． 【详解】解：如图所示，过点D 作DE B ⊥于点E， D ∵ 是∠B 的平分线，∠＝90°， DE ∴ ＝D． BD ∵ ：D＝3：2，且B＝10m， D ∴＝20× ＝8（m）． 故答为：8． 【点睛】本题考查的是角平分线的性质，熟知角的平分线上的点到角的两边的距离相等是 解答此题的关键． 12．如图， 中， ， ， ，在 上截取 ，使 ，过点 作 的垂线，交 于点 ，连接 ，交 于点 ，交 于点 ， ，则 【答】 【分析】过点D 作DM BD ⊥ ，与BF 延长线交于点M，先证明△BE BGD ≌△ 得到∠EB= DGB ∠ ， 再由平行和对顶角相等得到∠MDG= MGD ∠ ，即MD=MG，在△△BDM 中利用勾股定理算出 MG 的长度，得到BM，再证明△B MBD ≌△ ，从而得出BM=B 即可 【详解】解：∵∥BD，∠B=90°， BD=90° ∴∠ ，即∠1+ 2=90° ∠ ， 又∵BF B ⊥， BF=90° ∴∠ ， 即∠8+ 2=90° ∠ ， BE=BD ∵ ， 8= 1 ∴∠ ∠， 在△BE 和△BGD 中， ， BE BGD ∴△ ≌△ （S）， EB= DGB ∴∠ ∠ 5= 6 ∴∠ ∠，∠6= 7 ∠， MD BD ∵ ⊥ BDM=90° ∴∠ ， B MD ∴∥ ， 5= MDG ∴∠ ∠ ， 7= MDG ∴∠ ∠ MG=MD ∴ ， B=7 ∵ ，BG=4， 设MG=x，在△BDM 中， BD2+MD2=BM2， 即 ， 解得x= ， 在△B 和△MBD 中 , B MBD ∴△≌△ （S） B=BM=BG+MG=4+ = 故答为： 【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，勾股定理，适当添加辅助线构造全等三角 形，利用全等三角形的性质求出待求的线段，难度中等 13．如图，已知P 平分∠B，P∥，PD⊥于点D，PE⊥B 于点E．P＝ ，PD＝6．如果点M 是P 的中点，则DM 的长是 ． 【答】5． 【分析】由角平分线的性质得出∠P= BP ∠ ，P=PD=6，∠PD= PE=90° ∠ ，由勾股定理得出 ，由平行线的性质得出∠P= P ∠，得出∠P= BP ∠ ，证出 ， 得出E=E+=8，由勾股定理求出 ，再由直角三角形斜边上的中线性质 即可得出答． 【详解】∵P 平分∠B，PD⊥于点D，PE⊥B 于点E， ∴∠P＝∠BP，P＝PD＝6，∠PD＝∠PE＝90°， ∴ ， ∵P∥， ∴∠P＝∠P， ∴∠P＝∠BP， ∴ ， ∴ ， ∴ ， 在Rt△PD 中，点M 是P 的中点， ∴ ； 故答为：5． 【点睛】本题考查了勾股定理的应用、角平分线的性质、等腰三角形的判定、直角三角形 斜边上的中线性质、平行线的性质等知识；熟练掌握勾股定理和直角三角形斜边上的中线 性质，证明=P 是解题的关键． 14．如图,为线段E 上一动点(不与． E 重合),在E 同侧分别作等边△B 和等边△DE,D 与BE 交 于点,D 与B 交于点P,BE 与D 交于点Q,连接PQ,以下五个结论： ①D=B