第17章 勾股定理压轴题考点训练（教师版）

第十七章 勾股定理压轴题考点训练 1．如图，小红想用一条彩带缠绕易拉罐，正好从点绕到正上方B 点共四圈，已知易拉罐底 面周长是12 m，高是20 m，那么所需彩带最短的是( ) ．13 m B．4 m ．4 m D．52 m 【答】D 【详解】如图， 由图可知，彩带从易拉罐底端的处绕易拉罐4 圈后到达顶端的B 处，将易拉罐表面切开展 开呈长方形，则螺旋线长为四个长方形并排后的长方形的对角线长，设彩带最短长度为 xm， ∵∵易拉罐底面周长是12m，高是20m， ∴x2=(12×4)2+202∴x2=(12×4)2+202， 所以彩带最短是52m． 故选D． 2．在△B 中，B＝20，＝15，D 为B 边上的高，且D＝12，则△B 的周长为( ) ．42 B．60 ．42 或60 D．25 【答】 【详解】如图，∵B=20，=15，D=12， 在Rt△BD 中，BD= = =16， 在Rt△D 中，D= = =9， ∴B=16+9=25 或B=16-6=7， ∴△B=20+16+9+15=60 或△B=20+7+15=42，故选 3．若直角三角形的三边长分别为 、、 ，且、b 都是正整数，则三角形其中一边 的长可能为() ．22 B．32 ．62 D．82 【答】B 【详解】由题可知(-b)2+2=(+b)2，解得=4b，所以直角三角形三边分别为3b，4b，5b，当 b=8 时，4b=32，故选B． 4．我国古代数学家赵爽的“勾股方圆图”是由四个全等的直角三角形与中间的一个小正方 形拼成的一个大正方形(如图所示)，如果大正方形的面积是25，小正方形的面积是1，直 角三角形的两直角边分别是和b，那么b 的值为( ) ．49 B．25 ．12 D．10 【答】 【详解】试题解析：如图，∵大正方形的面积是25， ∴2=25，∴2+b2=2=25， ∵直角三角形的面积是(25-1)÷4=6， 又∵直角三角形的面积是 b=6，∴b=12． 故选 5．如图，是一个三级台阶，它的每一级的长，宽和高分别等于 ， 和 ， 和 是这个台阶的两个相对的端点， 点上有一只蚂蚁，想到 点去吃可口的食物，请你想一 想，这只蚂蚁从 点出发，沿着台阶面爬到 点，最短线路是( ) ． B． ． D． 【答】B 【详解】将台阶展开，如下图，因为=3×3+1×3=12，B=5，所以 =169，所 以B=13(m)，所以蚂蚁爬行的最短线路为13m．故选B． 6．如图，在3×3 的正方形格中标出了∠1 和∠2，则∠1+∠2=_____． 【答】45° 【详解】如图，连接，B． 根据勾股定理，=B= ，B= ． ∵( )2+( )2=( )2，∴∠B=90°，∠B=45°． ∵D∥F，D=F，∴四边形DF 是平行四边形，∴∥DF，∴∠2=∠D(两直线平行，同位角相等)， 在Rt△BD 中，∠1+∠DB=90°(直角三角形中的两个锐角互余)； 又∵∠DB=∠D+∠B，∴∠1+∠B+∠D=90°，∴∠1+∠D=45°， ∠ ∴ 1+∠2=∠1+∠D=45°．故答为45°． 7．长、宽、高分别为4m、3m、12m 的长方体纸盒内可完全放入的棍子最长是_________ m． 【答】13 【详解】详解：如图所示： B=3m，D=4m，B=12m，连接BD、D， 在Rt△BD 中，BD= =5m，在Rt△BD 中，D= =13m． 故这个盒子最长能放13m 的棍子． 故答为13． 8．如图，为矩形BD 内的一点，满足D=，若点到边B 的距离为d，到边D 的距离为3d， 且B=2d，求该矩形对角线的长 ________ 【答】2 d 【详解】∵D=，∴在D 的垂直平分线线上，∠D=∠D， ∵四边形BD 是矩形，∴D=B，∠B=∠D=∠BD=90°， ∠ ∴ D﹣∠D=∠BD﹣∠D，即∠D=∠B， 在△D 和△B 中， , △ ∴D △ ≌B(SS)，∴=B，∴在B 的垂直平分线上， 过作M⊥B 与交D 于M，如图所示：则=B，M⊥D，M=3d，=d， ∴B=M=3d+d=4d，B= = ，∴B=+B=2 d， ∴= =2 d, 故答为2 d． 9．如图，在直角△B 中，∠=90°，=6，B=8，P、Q 分别为边B、B 上的两个动点，若要使 △PQ 是等腰三角形且△BPQ 是直角三角形，则Q =________． 【答】 或 【详解】①如图1 中，当Q=PQ，∠QPB=90°时，设Q=PQ=x， ∵PQ∥，∴△BPQ∽△B，∴ ，∴ ，∴x= ，∴Q= ． ②当Q=PQ，∠PQB=90°时，如图2，设Q=PQ=y． △ ∵BQP∽△B，∴ ，∴ ，∴y= ． 综上所述，满足条件的Q 的值为 或 ． 10．如图， 中， 是 边上的高，将 沿 所在的直线翻折，使点 落在 边上的点 处． 若 ，求 的面积； 求证： ． 【答】(1)126；(2)见解析 【详解】(1)解： 是 边上的高， ， 在 中， ， 在 中， ， (平方单位)． (2)证明： 沿 所在的直线翻折得到 在 中，由勾股定理，得 在 中，由勾股定理，得 ， ． 11．如图是“赵爽弦图”，其中 、 、 和 是四个全等的直角三角 形，四边形BD 和EFG 都是正方形，根据这个图形的面积关系，可以证明勾股定理设 ，取 ． 正方形EFG 的面积为______，四个直角三角形的面积和为______； 求 的值． 【答】4；96 【解析】解：(1)∵E=﹣b=2，∴S 正方形EFG=E2=4．∵D==10，∴S 正方形BD=D2=100，∴四个直 角三角形的面积和=S 正方形BD﹣S 正方形EFG=100 4=96 ﹣ ．故答为4；96； (2)由(1)可知四个直角三角形的面积和为96，∴4× b=96，解得：2b=96．∵2+b2=2=100， ∴(+b)2=2+b2+2b=100+96=196． 点睛：本题主要考查勾股定理的证明及应用，理解图形中四个三角形的面积和等于大正方 形的面积与小正方形面积的差是解题的关键． 12．如图，在 中， 于 ，且 ． ( )求证： ． ( )若 ， 于 ， 为 中点， 与 ， 分别交于点 ， ． ①判断线段 与 相等吗?请说明理由． ②求证： ． 【答】见解析 【解析】( )证明：在 与 中， ，∴ ≌ ，∴ ． ( )① ， 理由：∵ ， ， ∴ ， ， ， ∴ ， ， 在 与 中， ，∴ ≌ ，∴ ． ②证明：如图，连接 ， ， ∵ ， ，∴ 垂直平分 ，∴ ， ∵ 点是 的中点， ，∴ 垂直平分 ，∴ ，∴ ， 在 中， ，∴ ． 13．如图，长方形 的边 ， 在坐标轴上， (0，2)， (4，0)．点 从点 出 发，以每秒1 个单位长度的速度沿射线 方向运动，同时点 从点 出发，以每秒2 个 单位的速度沿射线 方向运动．设点 运动时间为秒( )． (1)当 时，求△ 的周长； (2)当为何值时，△ 是等腰三角形； (3)点 关于 的对称点为 ，当 恰好落在直线 上时，△ 的面积为__________． (直接写出结果) 【答】(1) (2) 或 或 时，△BPQ 是 等腰三角形．(3) ， 【解析】依题意得： (1)当=1 时， ， ， ， ； ∴ (2) ， ， ①当PB=PQ 时， ，化简得： ，解得 ③当BP=BQ 时， ，解得： (舍去)， (舍去) ②当QB=QP 时， ， 化简得： ，解得 ， 综上所述，当 或 或 时，△BPQ 是等腰三 角形． (3) ，