第11章 三角形压轴题考点训练（教师版）

第十一章 三角形压轴题考点训练 1．如图，在第1 个△1B 中，∠B＝30°，1B＝B；在边1B 上任取一点D，延长1到2，使12＝ 1D，得到第2 个△12D；在边2D 上任取一点E，延长12到3，使23＝2E，得到第3 个△23E，… 按此做法继续下去，则第2021 个三角形中以2020为顶点的底角度数是( ) ．( )2020•75° B．( )2020•65° ．( )2021•75 D．( )2021•65° 【答】 【详解】解∶∵∠B=30°，1B=B，∴∠B1=∠，30°+∠B1+∠=180°． ∴2∠B1=150°．∴∠B1= ×150°=75°． ∵12=1D，∴∠D21=∠1D2．∴∠B1=∠D21+∠2D1=2∠D21． ∠ ∴ D21= ∠B1= × ×150°．同理可得：∠E32= ∠D21= × × ×150°．… 以此类推，以为顶点的内角度数是 ． ∴以2021为顶点的内角度数是 ． 故选 ． 2．如图在△B 中，B，分别平分∠B，∠B，交于，E 为外角∠D 的平分线，B 的延长线交E 于点E，记∠B=∠1，∠BE=∠2，则以下结论①∠1=2∠2，②∠B=3∠2，③∠B=90°+∠1，④ ∠B=90°+∠2 正确的是( ) ．①②③ B．①③④ ．①④ D．①②④ 【答】 【详解】∵B，分别平分∠B，∠B， ∠ ∴ B= ∠B，∠B= ∠B， ∠ ∵ B+∠B+∠1=180°， ∠ ∴ B+∠B=180°-∠1， ∠ ∴ B+∠B= (∠B+∠B)= (180°-∠1)=90°- ∠1， ∠ ∴ B=180°-∠B-∠B=180°-(90°- ∠1)=90°+ ∠1， ∠ ∵ D=∠B+∠1，E 平分∠D， ∠ ∴ ED= ∠D= (∠B+∠1)， ∠ ∵ ED=∠B+∠2， ∠ ∴ 2= ∠1，即∠1=2∠2， ∠ ∴ B=90°+ ∠1=90°+∠2， ∴①④正确，②③错误， 故选 3．如图，在 中， 平分 ， 于点 ． 的角平分线 所在直线 与射线 相交于点 ，若 ，且 ，则 的度数为( ) ． B． ． D． 【答】 【详解】∵ 平分 ， 平分 ∴ ， 设 ∵ ∴可以假设 ， ∴ ∵ ∴ ∴ 设 ，则 ∴ ∴ ∵ ∴ 故答选： 4．如图，D∥B，∠D＝∠B，点E 是边D 上一点，连接E 交B 的延长线于点，点F 是边B 上 一点，使得∠FBE＝∠FEB，作∠FE 的角平分线EG 交B 于点G．若∠BEG＝40°，则∠DE 的 度数为( ) ．50° B．75° ．100° D．125° 【答】 【详解】解：设∠FBE=∠FEB=α，则∠FE=2α， ∠FE 的角平分线为EG，设∠GE=∠GEF=β， ∵D∥B，∴∠B+∠BD=180°， ∠ ∵ D=∠B，∴∠D+∠BD=180°，∴B∥D， ∠ ∵ BEG=40°，∴∠BEG=∠FEG-∠FEB=β-α=40°， ∠ ∵ EF=180°-∠FEG-∠EG=180°-2β， 在△EF 中，180°-2β+2α+∠FE=180°，∴∠FE=2β-2α=2(β-α)=80°， ∵B∥D，∴∠E=∠FE=80°，∴∠DE=180°-∠E=100°． 故选：． 5．如图，B⊥F，∠B、∠、∠D、∠E、∠F 的关系为( ) ．∠B+∠+∠D+∠E+∠F＝270° B．∠B+∠﹣∠D+∠E+∠F＝270° ．∠B+∠+∠D+∠E+∠F＝360° D．∠B+∠﹣∠D+∠E+∠F＝360° 【答】B 【详解】解：连接D， 在△DM 中，∠DM+∠MD+∠MD＝180°， 在△D 中，∠D+∠D+∠D＝180°， ∠ ∴ DM+∠MD+∠MD+∠DM+∠D+∠D＝360°， ∠ ∵ MD+∠D＝360°﹣∠BF， ∠ ∴ DM+∠D+∠MD+360°﹣∠BF＝360°， ∵B⊥F， ∠ ∴ BF＝90°， ∠ ∴ DM+∠D＝90°﹣∠MD， ∠ ∵ DM＝∠1，∠D＝∠2， ∠ ∵ 1＝180°﹣∠B﹣∠，∠2＝180°﹣∠E﹣∠F， ∠ ∴ 1+∠2＝360° ( ﹣∠B+∠+∠E+∠F)， ∴90°﹣∠MD＝360° ( ﹣∠B+∠+∠E+∠F)， ∠ ∴ B+∠+∠E+∠F﹣∠MD＝270°． 故选：B． 6．如图，点D，E 分别是△B 边B，上一点，BD＝2D，E＝E，连接D，BE 交于点F，若 △B 的面积为18，则△BDF 与△EF 的面积之差S△BDF S ﹣ △EF 等于( ) ．3 B． ． D．6 【答】 【详解】解：∵ ， ∴ ， ∵ ， ， ， ∴ ， ∴ ①， 同理，∵ ， ， ∴ ， ，∴ ，∴ ②， 由①-②得： ． 故选：． 7．如图， 是 的中线，点F 在 上，延长 交 于点D．若 ，则 ______． 【答】 【详解】解：连接ED 是 的中线， ， 设 ， 与 是等高三角形， ，故答为： ． 8．如图，在 中， ， 、 分别平分 、 ，M、、Q 分别在 、 、 的延长线上， 、 分别平分 、 ， 、 分别平分 、 ，则 _______． 【答】52° 【详解】解： 、 分别平分 、 ， ， ， ， ， 即 ， ， ， 、 分别平分 、 ， ， ， ， ，∴ ， ∴ ， 、 分别平分 、 ， ， ， ∴ ， ， 故答为：52°． 9．如图，在 中，点D，点E 分别是和B 上的点，且满足 ， ，过 点的直线l 平行B，射线BD 交E 于点，交直线l 于点 若 的面积为12，则四边形 ED 的面积为____________． 【答】 【详解】如图，连接， ∵D=3D，∴D：D=1：3，∴ ， ， ， ∵ ，∴ ， ， ∵F∥B，∴ ，∴ ，∴ ， ， ∵E=2BE，∴BE：E=1：2，∴ ， ， ∴ ， ， ∴ ， 即 ， ∴ ，即 ， ∴ ， ∵ ， ∴ ， ∴S 四边形ED ． 故答为： ． 10．如图，在 中， ， 和 的平分线交于点 ，得 和 的平分线交于点 ，得 和 的平分线交于点 ，得 和 的平分线交于点 ，得 ，则 ________度． 【答】 【详解】解：∵B1平分∠B，1平分∠D， ∠ ∴ 1D= ∠D，∠1B= ∠B． ∠ ∵ 1=∠1D-∠1B， ∠ ∴ 1= ∠D− B= ∠． 同理可证：∠2= ∠1． ∠ ∴ 2= • ∠= ( )2∠． 以此类推，∠=( )∠． 当=2022，∠2021=( )2022∠=( )2022•m°=( )°． 故答为： ． 11．如图，在 中， ，在 边上取点 ，使得 ，连接 ． 点 、 分别为 、 边上的点，且 ，将 沿直线 翻折，使点 落在 边上的点 处，若 ，则 的度数为_______． 【答】 【详解】 折叠 ， 设 ， ， 是 的一个外角， ，即 ① 即 即 ② ② -①得 即 故答为： 12．已知：在 中， 平分 ， 平分 ， 、 交于点 ． (1)如图1：若 ，求 的度数； (2)如图2：点 是 延长线上一点，连接 、 ， ，求证： ； (3)如图3：在(2)的条件下，过点 作 ，交 于点 ，点 在线段 的延长线 上，连接 ，若 ， ， ，求 的度 数． 【答】(1) ；(2)证明见解析；(3)64° 【解析】(1)证明：∵ 、 分别平分 与 ∴ ， ， 在 中， ， ∴ ∴ ∴ (2)证明：∵ 是 得一个外角，∴ ， ∵ ，∴ ，∴ ． (3)解： ， ， ∵ 平分 ， 平分 ， ∴设 ， ，∴ ， ∵ ， ∴ ， ∵ ， ∴ ∴ ， ∴ ∵ ， ， 而 ∴ ∴ ∴ 13．如图，B  D，垂足为 ，点 P、Q 分别在射线 、 上运动(点 P、Q 都不与点 重合)， QE 是∠QP 的平分线． (1)如图 1，在点 P、Q 的运动过程中，若直线 QE 交∠DPQ 的平分线于点． ①当∠PQB＝60°时，∠PE＝ °； ②随着点 P、Q 分别在 、 的运动，∠PE 的大小是否是定值？如果是定值，请求出∠PE 的 度数；如果不是定值，请说明理由； (2)如图 2，若 QE 所在直线交∠QP 的平分线于点 E 时,将△EFG 沿 FG 折叠，使点 E 落在四 边形PFGQ 内点E′ 的位置，猜测∠PFE′与∠QGE′ 之间的数量关系，并说明理由． 【答】(1)①45°；②∠PE 是一个定值，∠PE =45°，理由见解析 (2) ，理由见解析 【解析】(1)解：①∵B⊥D，∴∠PQ=90°，∴∠PQ+∠QP=90°， ∠ ∵ PQB=60°，∴∠QP=30°，∠QP=120°， ∵EQ 平分∠QP，P 平分∠QP，∴ ， ， ∴ ，故答为：45； ∠ ② PE 是一个定值，∠PE =45°，理由如下： ∵B⊥D，∴∠PQ=90°， ∠ ∴ PQ+∠QP=90°，∴∠QP=90°-∠PQ，∠QP=180°-∠PQ， ∵EQ 平分∠QP，P 平分∠QP， ∴ ， ， ∴ ； (2)解： ，理由如下： 如图所示，连接 ， ∵B⊥D， ∠ ∴ PQ=90°， ∠ ∴ PQ+∠QP=90°， ∠ ∵ PQ+∠QP=180°，∠PQ+∠PQ=180°， ∴180°-∠PQ+180°-∠PQ=90°， ∠ ∴ PQ+∠PQ=270°， ∵QE，PE 分别平分∠PQ，∠PQ， ∴ ， ∴ ， ∠ ∴ PEQ=180°-∠EPQ-∠EQP=45°， 由折叠的性质可知 ， ∵ ， ∴ ， ∴ ， ∵ ， ∴ ． 14．阅读下列材料： 阳阳同学遇到这样一个问题：如图1，在 中 ， 是 的高， 是 边上一点， 、 分别与直线 ， 垂直，垂足分别为点 、 ． 求证： ． 阳阳发现，连接 ，有 ，即 ．由 ，可得 ． 他又画出了当点 在 的延长线上，且上面问题中其他条件不变时的图形，如图2 所示， 他猜想此时 、 、 之间的数量关系是： ． 请回答： (1)请补全阳阳同学证明猜想的过程； 证明：连接 ． ________， ________ ________． ， ． (2)参考阳阳同学思考问题的方法，解决下列问题： 在 中， ， 是 的高． 是 所在平面上一点， 、 、 分别与直线 、 、 垂直，垂足分别为点 、 、 ． ①如图3，若点 在 的内部，猜想 、 、 、 之间的数量关系并写出推理 过程． ②若点 在如图4 所示的位置，利用图4 探究得此时 、 、 、 之间的数量关 系是：_______．(直接写出结论即可) 【答】(1)S△PB；P；PM；(2)①BD＝PM＋P＋PQ，证明见解析②BD＝PM＋PQ−P． 【详解】解：(1)证明：连接P．∵S△B＝S△P−S△PB，∴ •BD＝ •P− B•PM． ∵B＝，∴BD＝P−PM．故答为：S△PB；P；PM； (2)①BD＝PM＋P＋PQ； 如图3，连接P、BP、P， ∵S△B＝S△P＋S△PB＋S△BP，∴ •BD＝ •P＋ B•PM＋ B•PQ， ∵B＝＝B，∴BD＝PM＋P＋PQ； ②BD＝PM＋PQ−P；如图4，连接P、BP、P，∵S△B＝S△PB＋S△BP−S△P． ∴ •BD＝ B•PM＋ B•PQ− •P， ∵B＝＝B，∴BD＝PM＋PQ−P． 15．如图1，B 与D 相交于点，若 ， ， 和 的平分线P 和P 相交于点P，并且与D、B 分别相交于M、．试求： (1) 的度数； (2)设 ， ， ， ，其他条件不变，如图 2，试问 与 、 之间存在着怎样的数量关系(用 、 表示 )，直接写出结论． 【答】(1)33°；(2) ． 【详解】解：(1)∵P 是∠DB 的角平分线，P 是∠DB 的角平分线 ∠ ∴ DP=PB，∠DP=∠PB ∠ ∵ P+∠PB=∠B+∠PB，∠P+∠PD=∠D+∠DP ∠ ∴ P+∠PB+∠P+∠PD=∠B+∠PB+∠D+∠DP ∴2∠P=∠B+∠D ∠ ∵ B=28°，∠D=38° ∠ ∴ P=33° (2) ∠P= ∠ ∵ P+∠PD=∠D+∠DP ∠ ∴ PD-∠DP=∠D-∠P ∠ ∵ D+∠D=∠B+∠B ∠ ∴ DB-∠DB=∠B-∠D ∵ ， ∠ ∴ DB-∠DB=3(∠DP-∠DP) ∠ ∴ B-∠D=3(∠P-∠D) ∵ ， ∠ ∴ P=