第13章 轴对称压轴题考点训练（教师版）

第十三章 轴对称压轴题考点训练 1．如图，将 沿 翻折，使其顶点 均落在点 处，若 ， 则 的度数为( ) ． B． ． D． 【答】B 【详解】解：延长 交 于点 ， ∵将 沿 ， 翻折，顶点 ， 均落在点 处， ∴ ， ， ∴ ， ∵ ， ∴ ， 由三角形外角定理可知： ， ， ∴ 即： ， ∴ ， ∴ ， 故选： ． 2．将长为2、宽为(大于1 且小于2)的长方形纸片按如图①所示的方式折叠并压平，剪下一 个边长等于长方形宽的正方形，称为第一次操作；再把剩下的长方形按如图②所示的方式 折叠并压平，剪下个边长等于此时长方形宽的正方形，称为第二次操作；如此反复操作下 去…，若在第次操作后，剩下的长方形恰为正方形，则操作终止．当＝3 时，的值为( ) ．18 或15 B．15 或12 ．15 D．12 【答】B 【详解】解：第1 次操作，剪下的正方形边长为，剩下的长方形的长宽分别为、2﹣，由1 ＜＜2，得＞2﹣；第2 次操作，剪下的正方形边长为2﹣，所以剩下的长方形的两边分别 为2﹣、﹣(2 ) ﹣＝2 2 ﹣， ①当2 2 ﹣＜2﹣，即＜ 时， 则第3 次操作时，剪下的正方形边长为2 2 ﹣，剩下的长方形的两边分别为2 2 ﹣、(2 ) (2 ﹣﹣ 2) ﹣ ＝4 3 ﹣，则2 2 ﹣＝4 3 ﹣，解得＝12； ②2 2 ﹣＞2﹣，即＞ 时 则第3 次操作时，剪下的正方形边长为2﹣，剩下的长方形的两边分别为2﹣、(2 2) (2 ﹣ ﹣ ) ﹣＝3 4 ﹣，则2﹣＝3 4 ﹣，解得＝15． 故选：B． 3．如图，在 中， ， 平分 ，过点作 于点D，过点D 作 ，分别交 、 于点E、F，若 ，则 的长为( ) ．10 B．8 ．7 D．6 【答】D 【详解】如图，延长 、 交于点G ∵ 平分 ， 于点D ∴ ，D 是 的中点 ∵ E 是 的中点，F 是 的中点， 是 的中位线， 是 的中位线 ∴ 又∵ ∴ ∴ ∴ ∴ 故选：D 4．如图，在△B 中，分别以点和点B 为圆心，大于 B 的长为半径画弧，两弧相交于点 M、，作直线M，交B 于点D，连接D，若△D 的周长为14，B=8，则的长为 ．5 B．6 ．7 D．8 【答】B 【详解】根据题意可得M 是直线B 的中点 的周长为 已知 ，故选B 5．如图，在等边△B 中，BF 是边上的中线，点D 在BF 上，连接D，在D 的右侧作等边 △DE，连接EF，当△EF 周长最小时，∠FE 的大小是( ) ．30° B．45° ．60° D．90° 【答】D 【详解】解：∵△B，△DE 都是等边三角形， ∴B=，D=E，∠B=∠DE=∠B=60°， ∴∠BD=∠E，∴△BD≌△E，∴∠BD=∠E， ∵F=F，∴∠BD=∠BD=∠E=30°， ∴点E 在射线E 上运动(∠E=30°)， 作点关于直线E 的对称点M，连接FM 交E 于E′，此时E + ′ FE′的值最小， = ∵M，∠M=60°， ∴△M 是等边三角形， ∵F=F，∴FM⊥，∴∠FE =90° ′ ， 故选D． 6．已知一个等腰三角形内角的度数之比为 ，则它的顶角的度数为( ) ． B． ． D． 【答】D 【详解】根据等腰三角形的角分为顶角和底角，分类讨论为： 设顶角为x，底角为4x，则根据三角形的内角和可得x+4x+4x=180°，解得x=20°； 设底角为x，顶角为4x，则x+x+4x=180°，解得x=30°，则顶角为4x=120° 故选D 7．在正方形BD 所在平面上找点P，使得△PB、△PB 、△PD、△PD 均为等腰三角形，则 满足条件的点P( )个． ．10 B．9 ．5 D．1 【答】B 【详解】如图，共有9 个符合要求的点P，故选B 8．如图，已知∠M＝30°，点1，2，3，…在射线上，点B1，B2，B3，…在射线M 上，△1B12， △2B23，△3B34，…均为等边三角形，若2＝4，则△B+1的边长为_____． 【答】2． 【详解】解：∵△1B12是等边三角形，∴1B1＝2B1， ∵∠M＝30°， ∵2＝4，∴1＝1B1＝2，∴2B1＝2， ∵△2B23、△3B34是等边三角形， ∴1B1∥2B2∥3B3，B12∥B23，∴2B2＝2B12，B33＝2B23， ∴3B3＝4B12＝8，4B4＝8B12＝16，5B5＝16B12＝32， 以此类推△B+1的边长为 2． 故答为：2． 9．如图△B 中，∠B=78°，B=，P 为△B 内一点，连BP，P，使∠PB=9°，∠PB=30°，连P，则 ∠BP 的度数为_______． 【答】69° 【详解】在B 下方取一点D，使得三角形BD 为等边三角形，连接DP、D ∴D=B=， ∴ ∵ ∴ ∴ 又∵ ∴△BD≌△BP， ∴P=D， 又∵ ∴△DP 是等边三角形， ∴△PD≌△P， ∴ ∴ 故答为69° 10．在锐角△B 中，∠B=60°，B=2m，BD 平分∠B 交于点D，点M，分别是BD 和B 边上的动 点，则M+M 的最小值是_____． 【答】 ． 【详解】如图，在B 上截取BE=B，连接E． B ∵∠的平分线交于点D， EBM= BM ∴∠ ∠ ， 在△BME 与△BM 中， ， BME BM ∴△ ≌△ ， ME=M ∴ ． M+M=M+ME≥E ∴ ． M+M ∴ 有最小值． 当E 是点到直线B 的距离时，E 最小， B=60° ∵∠ ，B=2m， ∴当E B ⊥时，可得E= ， M+M ∴ 的最小值是 ． 故答为： ． 11．如图，已知∠B＝30°，平分∠B，在上有一点M，M＝10 m，现要在，上分别找点 Q，，使QM＋Q 最小，则其最小值为________ ． 【答】5m 【详解】解：作M 关于的对称点P，过P 作P⊥于，交于Q，则此时QM+Q 的值最小， B=30° ∵∠ ，平分∠B，在上有一点M， ∴、B 关于对称， P ∴点在B 上， P=M=10 ∴ m，QM=PQ，∠P=90°， P= ∵ P= ×10=5m， QM+Q=PQ+Q=P=5 ∴ m， 故答为5m． 12．如图,在等腰直角三角形B 中, =90 ∠ ，=B=4，点D 是B 的中点，E， F 在射线与射线B 上 运动，且满足E=F，∠EDF=90°；当点E 运动到与点的距离为1 时，则△DEF 的面积为_______ ____ 【答】 或 【详解】解：①E 在线段上．在△DE 和△DF 中，∵D=D，∠=∠DF，E=F， ∴△DE≌△DF(SS)，∴同理△DE≌△BDF，∴四边形EDF 面积是△B 面积的一半．∵E=1，∴F=4 1=3 ﹣ ，∴△EF 的面积= E•F= ，∴△DEF 的面积= × × ﹣ = ． ②E'在延长线上．∵E'=F'，=B=4，∠B=90°，∴E'=BF'，∠D=∠BD=45°，D=D=BD= ， ∴∠DE'=∠DBF'=135°．在△DE'和△BDF'中，∵D=BD，∠DE = ′ DBF′，E = ′ BF′， ∴△DE'≌△BDF'(SS)，∴DE'=DF'，∠DE'=∠BDF'．∵∠DE'+∠BDE'=90°， ∴∠BDE'+∠BDF'=90°，即∠E'DF'=90°．∵DE'2=E'2+D2 2 ﹣D•E's135°=1+8+2× × =13， ∴S△E'DF'= DE'2= ．故答为 或 ． 13．已知，在等腰 中， 于点D．以 为边作等边 ，直线 交直线 于点F，连接 ． (1)如图1， 与 在直线 的异侧，且 交 于点M． ①求证： ； ②猜想线段 之间的数量关系，并证明你的结论： (2)当 ，且 与 在直线 的同侧时，利用图2 探究线段 之间的数量关系，并直接写出你的结论． 【答】(1)①见解析；②EF+F=BF，理由见解析；(2)BF+EF=F，理由见解析 【详解】证明：(1)①∵△E 是等边三角形 ∴∠E＝∠E＝60°，E＝＝E，且B＝ ∴B＝E ∴∠BF＝∠EF ∵B＝，D⊥B ∴D 是B 的垂直平分线 ∴BF＝F，且F＝F，B＝ ∴△BF≌△F(SSS) ∴∠BF＝∠F ∴∠F＝∠EF； ②EF+F=BF，理由如下： 如图，在F 上取FG=FE，连接EG， 由(1)得∠F＝∠EF，BF＝F， ∵△E 是等边三角形 ∴∠E＝∠E＝60°，E＝E， ∴∠F+∠EF=60°， ∴∠EF+∠EF=60°， ∵∠EF+∠EF+∠E+∠EF=180°， ∴∠EFG=60°， ∵FE=FG，∴△EFG 为等边三角形， ∴EG=EF，∠FEG=60°， ∴∠EF+∠EG=60°， 又∵∠EG+∠EG=∠E=60°， ∴∠FE=∠GE， ∴△FE≌△GE(SS)， ∴F=G， ∴EF+F=FG+G=F=BF，∴EF+F=BF； (2)BF+EF=F，理由如下： 如图，在F 上截取F=F，连接， ∵B＝，D⊥B ∴D 是B 的垂直平分线，∠BD=∠D ∴BF＝F，∠BFD=∠FD ∵△E 是等边三角形， ∴E==B=E，∠E=∠E=60° ∴∠BE=∠EB，∠EF=∠E-∠D=60°-∠D， ∴∠BE=∠BD-∠EF=∠D--∠EF=2∠D-60°， ∴ ∵∠EB=∠FE+∠EF， ∴∠FE+60°-∠D=120°-∠D， ∴∠FE=60°， ∴∠FD=60°， ∴∠EF=120°， 又∵F=F， ∴△F 是等边三角形， = ∴F，∠F=∠F=60°， + ∴∠∠E=∠EF+∠E=60°， = ∴∠∠EF， ∴△≌△EF(SS)， = ∴EF， ∴EF+F=F+=F， ∴BF+EF=F． 14．如图，在等边△B 中，线段M 为B 边上的中线．动点D 在直线M 上时，以D 为一边在 D 的下方作等边△DE，连结BE． (1)求∠M 的度数； (2)若点D 在线段M 上时，求证：△D≌△BE； (3)当动D 在直线M 上时，设直线BE 与直线M 的交点为，试判断∠B 是否为定值？并说明 理由． 【答】(1)30°；(2)见解析；(3)是定值，理由见解析 【详解】解：(1) 是等边三角形， ． 线段 为 边上的中线， ， ． 故答为：30°； (2) 与 都是等边三角形， ， ， ， ， ． 在 和 中， ， ； (3) 是定值， ， 理由如下： ①当点 在线段 上时，如图1， 由(2)可知 ，则 ， 又 ， ， 是等边三角形，线段 为 边上的中线， 平分 ，即 ， ． ②当点 在线段 的延长线上时，如图2， 与 都是等边三角形， ， ， ， ， ， 在 和 中， ， ， ， 同理可得： ， ． ③当点 在线段 的延长线上时，如图3， 与 都是等边三角形， ， ， ， ， ， 在 和 中， ， ， ， 同理可得： ， ， ， ， ． 综上，当动点 在直线 上时， 是定值， ． 15．如图，已知E FE ⊥ ，垂足为E，且E 是D 的中点． (1)如图①，如果F D ⊥，D D ⊥，垂足分别为，D，且D＝D，判断E 是∠FD 的角平分线吗？ (不必说明理由) (2)如图②，如果(1)中的条件“D＝D”去掉，其余条件不变，(1)中的结论仍成立吗？请说明 理由； (3)如图③，如果(1)中的条件改为“D F” ∥ ，(1)中的结论仍成立吗？请说明理由． 【答】(1)E 是∠FD 的角平分线(2)成立(3)成立 【详解】(1)E 是∠FD 的角平分线； (2)成立，如图，延长FE 交D 于点B， E ∵是D 的中点， E=ED ∴ ， F D ∵⊥，D D ⊥， FE= EDB=90° ∴∠ ∠ ， 在△FE 和△BDE 中， , FE BDE ∴△ ≌△ ， EF=EB ∴ ， E FE ∵⊥ ， F=B ∴ ， E ∴是∠FD 的角平分线； (3)成立，如图，延长FE 交D 于点B， D=D ∵ ， FE= EDB ∴∠ ∠ ， 在△FE 和△BDE 中， , FE BDE ∴△ ≌△ ， EF=EB ∴ ， E FE ∵⊥ ， F=B ∴ ， E ∴是∠FD 的角平分线