专题03 二次根式化简的四种考法（原卷版）

专题03 二次根式化简的四种考法 类型一、利用数轴化简根式 例．阅读下面的解题过程体会如何发现隐含条件并回答下面的问题 化简∶ 解∶隐含条件 ，解得： ∴ ， ∴原式 【启发应用】 (1)按照上面的解法，试化简 【类比迁移】 (2)实数，b 在数轴上的位置如图所示，化简： ． (3)已知，b，为 的三边长．化简： 【变式训练1】已知 在数轴上的对应点如图，化简： ． 【变式训练2】如图，实数、b 在数轴上的位置，化简 ． 类型二、含字母的二次根式化简（注意范围） 例1．化简： 【变式训练1】把 中根号外因式适当变形后移至根号内得 ． 【变式训练2】已知 ， ，化简 ． 【变式训练3】已知： ， ，求： 的值． 类型三、双重二次根式化简 例．先阅读下面的解题过程，然后再解答，形如 的化简，我们只要找到两个数， b，使 ， ，即 ， ，那么便有： 例如化简： 解：首先把 化为 ， 这里 ， ， 由于 ， ， 所以 ， 所以 （1）根据上述方法化简： （2）根据上述方法化简： （3）根据上述方法化简： 【变式训练1】先阅读下面的解答过程，然后再解答： 要对形如 的式子化简，只要找到两个数 ，使 ， ，即 ， ，那么便有 ． (1)用上述方法化简： ； (2)若 的整数部分为 ，小数部分为 ，求 的值． 【变式训练2】问题探究：因为 ，所以 因为 ，所以 因为 ，所以 请你根据以上规律，结合你的经验化简下列各式： (1) ； (2) 【变式训练3】【阅读材料】小明在学习二次根式后，发现一些含根号的式子可以写成另 一个式子的平方，如 ．善于思考的小明进行了以下探索：若设 （其中 均为整数），则有 ．这样小明就找到了一种把类似 的式子化为平方式的方法．请 你仿照小明的方法探索并解决下列问题： 【问题解决】 （1）若 ，当 均为整数时，则＝ ，b＝ ．（均用 含m、的式子表示） （2）若 ，且 均为正整数，分别求出 的值． 【拓展延伸】 （3）化简 ＝ ． 类型四、二次根式有意义的条件 例1．若x，y 满足条件： ，化简代数式 ． 例2．若 ，则 的值为 ． 【变式训练1】下列二次根式在实数范围内有意义，则 的取值范围是 的选项是 （ ） ． B． ． D． 【变式训练2】若实数 、 满足 ，则 ． 【变式训练3】已知 ，则 的最小值为 ． 【变式训练4】已知 ，则2x 18 ﹣ y2＝ ． 课后训练 1．若 成立，则 满足的条件是（ ） ． B． ． D． 2．如果 ，那么x 的取值范围（ ） ． B． ． D． 3．若 ，化简 的结果是（ ） ． B． ．或 D． 4．下列各式中，与化简 所得结果相同的是（ ） ． B． ． D． 5．若式子 在实数范围内有意义，则x 的取值范围是（ ） ． B． ． 且 D． 且 6．把 中根号前的（m－1）移到根号内得 （ ） ． B． ． D． 7．若 ，则 化简后的结果是（ ） ．xy B． ． D． 8．化简： ． 9．设x，y 均为实数，且 ，则 的值为 ． 10．，b 为有理数，且 ，则 ． 11．解下列各题． (1)已知： ，求 的平方根； (2)已知 ，求代数式 的值． 12．像 这样的根式叫做复合二次根式有一些复合二次根式可以借助 构造完全平方式进行化简． 例1： ； 例2： 请用上述方法探索并解决下列问题： (1)化简： ； (2)化简： ； (3)若 ，且 为正整数，求的值．