专题03 二次根式化简的四种考法（解析版）

专题03 二次根式化简的四种考法 类型一、利用数轴化简根式 例．阅读下面的解题过程体会如何发现隐含条件并回答下面的问题 化简∶ 解∶隐含条件 ，解得： ∴ ， ∴原式 【启发应用】 (1)按照上面的解法，试化简 【类比迁移】 (2)实数，b 在数轴上的位置如图所示，化简： ． (3)已知，b，为 的三边长．化简： 【答】(1)1； (2) ； (3) ． 【分析】（1）根据二次根式有意义的条件判断出 的范围，再根据二次根式的性质化简可 得； （2）由，b 在数轴上的位置判断出 、 ，再利用二次根式的性质化简即可得； （3）由三角形的三边关系得出 ， ， ，再利用二次根式 的性质化简可得． 【详解】（1）解∶隐含条件 ，解得： ， ∴ ， ∴原式 ； （2）观察数轴得隐含条件： ， ， ∴ ， ∴ ； （3）由三角形的三边关系可得隐含条件： ， ， ， ， ∴ ， ， ∴ ． 【点睛】本题主要考查二次根式的性质与化简，解题的关键是熟练掌握二次根式的性质 及三角形的三边关系等知识点． 【变式训练1】已知 在数轴上的对应点如图，化简： ． 【答】 【分析】根据数轴上点的位置判断式子的符号，进而根据二次根式的性质以及绝对值的意 义化简，最后合并同类项即可求解． 【详解】解：根据点在数轴上的位置可得 ，且 ， ∴ ， ∴ 【点睛】本题考查了数轴上的点判断式子的符号，二次根式的性质，绝对值的意义，整式 的加减，数形结合是解题的关键． 【变式训练2】如图，实数、b 在数轴上的位置，化简 ． 【答】 【分析】根据数轴可得 ， ，则 ，然后根据二次根式的性质 化简即可求解． 【详解】解：由图可知， ， ， ， 原式 ． 【点睛】本题考查了根据数轴上的点的位置判断式子的符号，化简二次根式，得出各式的 符号是解题的关键． 类型二、含字母的二次根式化简（注意范围） 例1．化简： 【答】 【分析】因为被开方数为非负数且被开方数不为0，因此得到被开方数大于0，求出b<0 后， 进行二次根式的化简即可． 【详解】解：要使该二次根式有意义，则有 故答为： ． 【点睛】本题主要考查了二次根式有意义的条件，以及二次根式的化简，牢记分母有理化 的方法与规则是解题的关键，本题中被开方数分子分母同乘以b 后，分母开出来容易出现 符号错误，建议可以先套上绝对值符号再进行化简． 【变式训练1】把 中根号外因式适当变形后移至根号内得 ． 【答】 【分析】根据二次根式的性质可得 ，则 ，据此即可求解． 【详解】解：∵ ，有意义， ∴ ，则 ， ∴ ， 故答为： ． 【点睛】本题考查了二次根式的性质化简，掌握二次根式的性质是解题的关键． 【变式训练2】已知 ， ，化简 ． 【答】 【分析】利用二次根式的乘法法则和性质化简即可． 【详解】解：∵ ， ， ∴ ， 故答为： ． 【点睛】本题考查了二次根式的性质与化简，熟练掌握性质是解题的关键，难度适中． 【变式训练3】已知： ， ，求： 的值． 【答】 【分析】把原式根据二次根式的性质计算化简，代入计算即可． 【详解】解：∵ ， ， ∴ ， ∴ ， 当 时，原式 ． 【点睛】本题考查的是二次根式的化简求值，掌握二次根式的性质和运算法则是解题的关 键． 类型三、双重二次根式化简 例．先阅读下面的解题过程，然后再解答，形如 的化简，我们只要找到两个数， b，使 ， ，即 ， ，那么便有： 例如化简： 解：首先把 化为 ， 这里 ， ， 由于 ， ， 所以 ， 所以 （1）根据上述方法化简： （2）根据上述方法化简： （3）根据上述方法化简： 【答】（1） ；（2） ；（3） 【分析】根据题意把题目中的无理式转化成 的形式，然后仿照题意化简即可． 【详解】解：（1）∵ ， ∴ ， ， ∵ ， ， ∴ ， ， ∴ ； （2）∵ ， ∴ ， ， ∵ ， ， ∴ ， ， ∴ ． （3）∵ ， ∴ ， ， ∵ ， ， ∴ ， ， ∴ ． 【点睛】本题考查了二次根式的化简，根据题中的范例把根号内的式子整理成完全平方的 形式是解答此题的关键． 【变式训练1】先阅读下面的解答过程，然后再解答： 要对形如 的式子化简，只要找到两个数 ，使 ， ，即 ， ，那么便有 ． (1)用上述方法化简： ； (2)若 的整数部分为 ，小数部分为 ，求 的值． 【答】(1) (2) 【分析】（1）利用完全平方公式得到 ，然后根据二次根式的性质化简即可； （2）利用完全平方公式得到 ，根据二次根式的性质化简，再进行估算出，b 的 值计算即可． 【详解】（1） = = = = = （2） = = = ∵ ∴ ∵ 的整数部分为 ，小数部分为 ， ∴ ∴ = 【点睛】本题考查了二次根式的性质与化简，掌握 是解题的关键． 【变式训练2】问题探究：因为 ，所以 因为 ，所以 因为 ，所以 请你根据以上规律，结合你的经验化简下列各式： (1) ； (2) 【答】(1) ；(2) 【分析】（1）因为 ，且 ，由此把原式中被开方式 改为完全平方式，进一步因式分解，化简得出答即可; （2）因为 ，且 ，由此把原式中被开方式改为完全平 方式，进一步因式分解，化简得出答即可． 【详解】（1）解： ＝ ＝ ＝ ＝ ． （2） ＝ ＝ ＝ ＝ = ． 【点睛】此题考查活用完全平方公式，把数分解成完全平方式，进一步利用二次根式的性 质化简，注意在整数分解时参考后面的二次根号里面的数值． 【变式训练3】【阅读材料】小明在学习二次根式后，发现一些含根号的式子可以写成另 一个式子的平方，如 ．善于思考的小明进行了以下探索：若设 （其中 均为整数），则有 ．这样小明就找到了一种把类似 的式子化为平方式的方法．请 你仿照小明的方法探索并解决下列问题： 【问题解决】 （1）若 ，当 均为整数时，则＝ ，b＝ ．（均用 含m、的式子表示） （2）若 ，且 均为正整数，分别求出 的值． 【拓展延伸】 （3）化简 ＝ ． 【答】（1） ；（2） 或 ；（3） 【分析】（1）根据完全平方公式将等式右边展开，然后分析求解； （2）根据完全平方公式和二次根式的性质进行变形化简； （3）根据完全平方公式将等式右边展开，然后列方程求解． 【详解】（1）解： ， ∵ ，且 均为整数， ， 故答为： （2）解： ， ∵ ，∴ ， 又∵ 均为正整数，∴ 或 ， 即 或 ； （3）解： ＝ ＝ ＝ ， 故答为： 【点睛】本题考查完全平方公式，二次根式的性质与化简，理解二次根式的性质 ， 掌握完全平方公式本题考查完全平方公式，二次根式的性质与化简，理解二次根式的性质 ，掌握完全平方公式 的结构是解题关键． 类型四、二次根式有意义的条件 例1．若x，y 满足条件： ，化简代数式 ． 【答】5 【分析】根据二次根式有意义的条件求得 ， ，得到 ，再对原式化简即 可求解． 【详解】解：在 中， ∵ ， ， ∴ ，则 ， ∴ ， ∴ ， 故答为：5． 【点睛】本题考查了二次根式的性质和化简，熟知二次根式的性质是解题的关键． 例2．若 ，则 的值为 ． 【答】2022 【分析】根据二次根式的被开方数的非负性，得-2022≥0，进而化简绝对值，求解即可． 【详解】解：由题意得-2022≥0， ≥2022 ∴ ， |2021-|= ∴ -2021． ∵ ， ∴ ， ， ， 即 =2022． 故答为2022． 【点睛】本题主要考查二次根式的非负性，以及化简绝对值，找到的取值范围，化简绝对 值是解题的关键． 【变式训练1】下列二次根式在实数范围内有意义，则 的取值范围是 的选项是 （ ） ． B． ． D． 【答】B 【分析】根据二次根式有意义的条件，选项保证被开放式大于等于0，且分母不为0；B 选 项保证被开放式大于等于0；选项保证被开放式大于等于0，且坟墓不为0；D 选项保证被 开放式大于等于0，且分母不为0，求出x 的取值范围即可． 【详解】解： 中， 的取值范围是 ，故此项不符合题意； B 中， 的取值范围是 ，故此项符合题意； 中， 的取值范围是 ，且 ，故此项不符合题意； D 中， 的取值范围是 ，故此项不符合题意； 故选B． 【点睛】本题考查的是二次根式有意义的条件，熟知二次根式中的被开方数是非负数是解 题的关键． 【变式训练2】若实数 、 满足 ，则 ． 【答】 【分析】先根据二次根式有意义的条件求出 ，进而求出 ，由此代值计算 即可． 【详解】解：∵ 都有意义， ∴ ， ∴ ， ∴ ， ∴ ， ∴ ， 故答为：1． 【点睛】本题主要考查了二次根式有意义的条件，代数式求值，熟知二次根式有意义的条 件是被开方数大于等于0 是解题的关键． 【变式训练3】已知 ，则 的最小值为 ． 【答】 ． 【分析】先对 变形，根据绝对值的意义得到 和 为最小值时x、y 的取值，进而得到 的最小值． 【详解】解： ， ， 可理解为在数轴上，数 的对应的点到 和1 两点的距离之和； 可理解为在数轴上，数 的对应的点到 和5 两点的距离之和， 当 ， 的最小值为3； 当 时， 的最小值为6， 的范围为 ， 的范围为 ， 当 ， 时， 的值最小，最小值为 ． 故答为： ． 【点睛】本题考查了二次根式的化简，绝对值的意义，能根据二次根式的性质进行化简， 并根据绝对值的意义确定x、y 的取值是解题关键． 【变式训练4】已知 ，则2x 18 ﹣ y2＝ ． 【答】 【分析】直接利用二次根式的性质将已知化简，再将原式变形求出答． 【详解】解：∵ 一定有意义， ∴x≥11， ∴ ﹣|7﹣x|+ ＝3y﹣2， ﹣x+7+x﹣9＝3y﹣2， 整理得： ＝3y， ∴x﹣11＝9y2， 则2x﹣18y2＝2x﹣2（x﹣11）＝22． 故答为：22． 【点睛】本题考查二次根式有意义的应用，以及二次根式的性质应用，属于提高题． 课后训练 1．若 成立，则 满足的条件是（ ） ． B． ． D． 【答】 【分析】根据二次根式的性质 即可求解． 【详解】解： ，解得 故选： 【点睛】本题考查二次根式的性质．掌握相关性质建立不等式是解题的关键． 2．如果 ，那么x 的取值范围（ ） ． B． ． D． 【答】 【分析】根据二次根式的性质可进行求解． 【详解】解：∵ ， ∴ ， ∴ ； 故选． 【点睛】本题主要考查二次根式的性质，熟练掌握二次根式的性质是解题的关键． 3．若 ，化简 的结果是（ ） ． B． ．或 D． 【答】B 【分析】先根据二次根式的性质化简 ，再根据分式的性质化简即可． 【详解】解： ， ， 原式 ．故选： ． 【点睛】本题考查了二次根式的性质与化简，熟记二次根式性质与化简方法是解题的关键． 4．下列各式中，与化简 所得结果相同的是（ ） ． B． ． D． 【答】D 【分析】根据二次根式的性质化简即可求解． 【详解】解：∵ 有意义， ∴ ∴ ， 故选：D． 【点睛】本题考查了二次根式有意义的条件，根据二次根式的性质化简，掌握二次根式的 性质是解题的关键． 5．若式子 在实数范围内有意义，则x 的取值范围是（ ） ． B． ． 且 D． 且 【答】D 【分析】根据二次根式被开方数不能为负数，负整数指数幂的底数不等于0 进行列式求值 即可． 【详解】解：由题意得： 且 ， ∴ 且 ． 故选 ：D． 【点睛】本题主要考查了二次根式的定义、负整数指数幂的定义等知识点，掌握次根式被 开方数不能为负数，负整数指数幂的底数不等于0 是解题关键． 6．把 中根号前的（m－1）移到根号内得 （ ） ． B． ． D． 【答】D 【分析】先判断出m-1 的符号，然后解答即可． 【详解】∵被开方数 ，分母 ∴ ，∴ ∴原式 ．故选D． 【点睛】本题考查了二次根式的性质与化简： ||．也考查了二次根式的成立的条件 以及二次根式的乘法． 7．若 ，则 化简后的结果是（ ） ．xy B． ． D． 【答】D 【分析】根据 ， 有意义可得 ，进而即可求解． 【详解】解：∵ ， 有意义， ∴ ， ∴ ， 故选：D． 【点睛】本题考查了二次根式有意义的条件，根据二次根式的性质化简，得出 是解题的关键． 8．化简： ． 【答】 【分析】根据二次根式的性质化简即可求解． 【详解】解：原式 ． 故答为： ． 【点睛】本题考查了二次根式的性质化简，掌握二次根式的性质是解题的关键． 9．设x，y 均为实数，且 ，则 的值为 ． 【答】 【分析】先根据二次根式的定义求出 和 的值，然后再将 和 的值代入要求得式子即可； 【详解】解：由二次根式的性质可得： ， ， 将 代入 中得： ， ， 将 ， 代入上式得：原式 ． 故答为： 【点睛】本题考查了二次根式有意义的条件，以及二次根式的化简等知识点，熟知二次根 式有意义的条件的运用是解题关键． 10．，b 为有理数，且 ，则 ． 【答】2 【分析】先根据完全平方公式进行变形计算，即 ，且，b 为 有理数，求出 ，进而得到 ． 【详解】解： ，b 为有理数 故答为：2． 【点睛】本题主要考查了完全平方公式与二次根式的化简，关键在于完全平方公式的变形． 11．解下列各题． (1)已知： ，求 的平方根； (2)已知 ，求代数式 的值． 【答】(1) (2)2023 【分析】（1）先根据二次根式有意义求出x 的值，再求出y 的值，即可求出答； （2）先求出 的值，然后把 和x 的值代入计算即可． 【详解】（1）∵ ， ∴ ， ∴ ， ∴ ， ∴ ， ∴ 的平方根为 ； （2）∵ ， ∴ ， ∴ ． 【点睛】本题考查了二次根式有意义的条件，以及二次根式的混合运算，熟练掌握运算法 则是解答本题的关键． 12．像 这样的根式叫做复合二次根式有一些复合二次根式可以借助 构造完全平方式进行化简． 例1： ； 例2： 请用上述方法探索并解决下列问题： (1)化简： ； (2)化简： ； (3)若 ，且 为正整数，求的值． 【答】(1) (2) (3)的值为 或 【分析】（1）根据题目提供的方法将 ，化简为 ，进而得到答； （2）根据题目提供的方法将 ，化简为 ，进而得到答； （3）将 化简为 ，继而得到 ， ， 再根据 为正整数，即可求出其值，代入即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ， ， 又 为正整数， ，或者 ， 当 时， ； 当 ， ， 综上所述，的值为 或 ． 【点睛】本题考查完全平方公式，二次根式的性质与化简，掌握完全平方公式的结构特征 是正确解答的前提．