专题04 二次函数实际应用的四种考法（原卷版）

专题04 二次函数实际应用的四种考法 类型一、销售利润问题 例．某商场主营玩具销售，经市场调查发现，某种玩具的月销量 （件）是售价 （元/件）的一次函数， 该玩具的月销售总利润 售价－成本 月销量，三者有如下数据： 售价 （元/件） 月销量 （件） 月销售总利润 （元） (1)试求 关于 的函数关系式 的取值范围不必写出）； (2)玩具的成本为______元，当玩具售价 ______元时，月销售总利润有最大值______元； (3)由于原材料下降，从本月起，该玩具成本下降 元/件 ，且物价局规定该玩具售价最高不得 超过 元/件．若月销量 与售价 仍满足（1）中的关系，预计本月总利润 最高为 元，请你求出 的值． 【变式训练1】某水果批发商销售每箱进价为40 元的苹果，市场调查发现，若每箱以50 元的价格调查， 平均每天销售90 箱，价格每提高1 元，平均每天少销售3 箱． (1)求平均每天销售量 （箱）与销售价 （元/箱）之间的函数关系式； (2)求该批发商平均每天的销售利润 （元）与销售价 （元/箱）之间的函数关系式； (3)当每箱苹果的销售价为多少元时，可以获得最大利润？最大利润是多少？ (4)若物价部门规定每箱售价不得高于55 元，则每箱苹果的销售价为多少元时，可以获得最大利润？ 【变式训练2】某大型超市购进一款热销的消毒洗衣液，由于原材料价格上涨，今年每瓶洗衣液的进价比 去年每瓶洗衣液的进价上涨4 元，今年用1440 元购进这款洗衣液的数量与去年用1200 元购进这款洗衣液 的数量相同．当每瓶洗衣液的现售价为36 元时，每周可卖出600 瓶，为了能薄利多销．该超市决定降价销 售，经市场调查发现，这种洗衣液的售价每降价1 元，每周的销量可增加100 瓶，规定这种消毒洗衣液每 瓶的售价不低于进价． (1)求今年这款消毒洗衣液每瓶进价是多少元； (2)当这款消毒洗衣液每瓶的售价定为多少元时，这款洗衣液每周的销售利润最大？最大利润是多少元？ 【变式训练3】某超市经销、B 两种商品．商品每千克成本为10 元，经试销发现，该种商品每天销售量y （千克）与销售单价x（元/千克）满足一次函数关系，其每天销售单价、销售量的对应值如下表所示： 销售单价x（元/千克） 1 5 20 25 30 销售量y（千克） 3 0 25 20 15 商品B 的成本为3 元/千克，销售单价为6 元/千克，但是每天供货总量只有40 千克，且当天都能销售完． 为了让利消费者，超市开展了“买一送一”活动．即买1 千克商品，免费送1 千克商品B． (1)求销售量y（千克）与销售单价x（元/千克）之间的函数表达式； (2)设两种商品的每天销售总利润为元，求出（元）与x 的函数表达式； (3)当商品销售单价定为多少元时，才能使当天的销售总利润最大？最大利润是多少？（总利润 两种商品 的销售总额 两种商品的成本） 类型二、几何图形运动问题 例．如右图，直线l 的解析式为 ，它与x 轴和y 轴分别相交于、B 两点，点为线段 上一动点， 过点作直线l 的平行线m，交y 轴于点D．点从原点出发，沿 以每秒1 个单位长度的速度向终点运动， 运动时间为t 秒，以 为斜边作等腰直角三角形 （E，两点分别在D 两侧）．若 和 的重 合部分的面积为S，则S 与t 之间的函数关系图象大致是（ ） ． B． ． D． 【变式训练1】如图，矩形 中， ， ，动点P 从点出发，以 的速度沿线段 向点B 运动，动点Q 同时从点出发，以 的速度沿折线 向点B 运动，当一个点停 止时另一个点也随之停止．设点P 的运动时间是 时， 的面积是 ，则能够表示y 与x 之间 函数关系的图象大致是（ ） ． B． ． D． 【变式训练2】如图1，在矩形 （ ）中，动点Q 从点D 出发，沿 以每秒1 个单位长 度的速度做匀速运动，到达点后停止运动，动点P 从点B 出发，沿 以与点Q 同样的速度做匀速运动， 到达点后也停止运动．已知点P，Q 同时开始运动，设点Q 的运动时间为x 秒， 的面积是y，其中y 关于x 的函数图像如图2 所示，则 的值是（ ） ．1 B．15 ．2 D．25 【变式训练3】如图，在 中， ．动点 从点 出发，沿线段 以1 单位 长度/秒的速度运动，当点 与点 重合时，整个运动停止．以 为一边向上作正方形 ，若设运动 时间为 秒 ，正方形 与 重合部分的面积为 ，则下列能大致反映 与 的函数关系 的图象是（ ） ． B． ． D． 类型三、拱桥问题 例．一座拱桥的示意图如图所示，当水面宽为 米时，桥洞顶部离水面 米．已知桥洞的拱桥是抛物线， 请尝试解决以下问题： (1)【问题1】建立合适的平面直角坐标系，求该抛物线的表达式． (2)【问题2】由于暴雨导致水位上涨了米，求此时水面的宽度． (3)【问题3】已知一艘货船的高为 米，宽为 米，其截面如图所示．为保证这艘货船可以安全通过拱 桥，水面在正常水位的基础上最多能上升多少米？ 【变式训练1】如图①，是一座抛物线型拱桥，小星学习二次函数后，受到该图启示设计了一建筑物造型， 它的截面图是抛物线的一部分（如图②所示），抛物线的顶点在 处，对称轴 与水平线 垂直， ，点 在抛物线上，且点 到对称轴的距离 ，点 在抛物线上，点 到对称轴的距离是1． (1)求抛物线的表达式； (2)如图②，为更加稳固，小星想在 上找一点 ，加装拉杆 ，同时使拉杆的长度之和最短，请你 帮小星找到点 的位置并求出坐标； (3)为了造型更加美观，小星重新设计抛物线，其表达式为 ，当 时，函数 的值总大于等于9．求 的取值范围． 【变式训练2】．某公司生产型活动板房的成本是每个3500 元．图1 表示型活动板房的一面墙，它由长方 形和抛物线构成，长方形的长 ，宽 ，抛物线的最高点E 到 的距离为 ． (1)按图1 中所示的平面直角坐标系，求该抛物线的函数表达式； (2)现将型活动板房改造成为B 型活动板房．如图2，在抛物线与 之间的区域内加装一扇长方形窗户 ，点G、M 在 上，点F、在抛物线上，窗户的成本为150 元/ ．已知 ，求每个B 型 活动板房的成本．（每个B 型活动板房的成本＝每个型活动板房的成本＋一扇窗户 的成本） 【变式训练3】随着乡村振兴战略的不断推进，为了让自己的土地实现更大价值，某农户在屋侧的菜地上 搭建一蔬菜大棚，其横截面顶部为抛物线型，大棚的一端固定在离地面高1 米的墙体处，另一端固定在离 地面高2 米的墙体B 处，现对其横截面建立如图所示的平面直角坐标系．已知大棚上某处离地面的高度y （米）与其离墙体的水平距离x（米）之间的关系满足 ，现测得，B 两墙体之间的水平距 离为6 米． (1)求y 与x 之间的函数关系式； (2)该农户计划在大棚内搭建高为3 米的竹竿支架，已在抛物线对称轴左侧搭建了一根竹竿 ，需在对称 轴右侧处再搭建一根同样高的竹竿 （点D、F 均在x 轴上，点、E 均在抛物线上， 轴），求 这两根竹竿之间的水平距离 ． 类型四、投掷铅球问题 例．小红为了研究抛出的弹跳球落在斜面上反弹后的距离．如图，用计算机编程模拟显示，当弹跳球以某 种特定的角度和初速度从坐标为 的点 处抛出后，弹跳球的运动轨迹是抛物线，其最高点的坐标为 ．弹跳球落到倾斜角为 的斜面上反弹后，弹跳球的运动轨迹是抛物线 ，且开口大小和方向均不 变，但最大高度只是抛物线的 ． (1)求抛物线的解析式； (2)若斜面被坐标平面截得的截图与 轴的交点 的坐标为 ，求抛物线 的对称轴． 【变式训练1】2022 北京冬奥会自由式滑雪空中技巧比赛中，某运动员比赛过程的空中剪影近似看作一条 抛物线，跳台高度 为4 米，以起跳点正下方跳台底端 为原点，水平方向为横轴，竖直方向为纵轴， 建立如图所示平面直角坐标系．已知抛物线最高点 的坐标为 ，着陆坡顶端 与落地点 的距离为 米， ．求： (1)点 的坐标； (2)该抛物线的函数表达式； (3)起跳点 与着陆坡顶端 之间的水平距离 的长． 【变式训练2】小林同学不仅是一名羽毛球运动爱好者，还喜欢运用数学知识对羽毛球比赛进行技术分析， 下面是他对击球线路的分析． 如图，在平面直角坐标系中，点，在x 轴上，球 与y 轴的水平距离 ， ，击球点P 在y 轴上．若选择扣球，羽毛球的飞行高度 与水平距离 近似满足一次函数关系 ；若选 择吊球，羽毛球的飞行高度 与水平距离 近似满足二次函数关系 ． (1)求点P 的坐标和的值． (2)小林分析发现，上面两种击球方式均能使球过．要使球的落地点到点的距离更近，请通过计算判断应选 择哪种击球方式． 【变式训练3】实心球是中考体育项目之一．在掷实心球时，实心球被掷出后的运动路线可以看作是抛物 线的一部分，已知小军在一次掷实心球训练中，第一次投掷时出手点距地面18m，实心球运动至最高点时 距地面34m，距出手点的水平距离为4m．设实心球掷出后距地面的竖直高度为y（m），实心球距出手点 的水平距离为x（m）．如图，以水平方向为x 轴，出手点所在竖直方向为y 轴建立平面直角坐标系． (1)求第一次掷实心球时运动路线所在抛物线的表达式． (2)若实心球投掷成绩（即出手点与着陆点的水平距离）达到124m 为满分，请判断小军第一次投掷实心球 能否得满分． (3)第二次投掷时，实心球运动的竖直高度y 与水平距离x 近似满足函数关系 ．记小军 第一次投掷时出手点与着陆点的水平距离为 ，第二次投掷时出手点与着陆点的水平距离为 ，则 ____ __ （填“＞”“＜”“＝”）． 【变式训练4】鹰眼系统能够追踪、记录和预测球的运动轨迹，如图分别为足球比赛中某一时刻的鹰眼系 统预测画面（如图1）和截面示意图（如图2），攻球员位于点 ，守门员位于点 ， 的延长线与球门 线交于点 ，且点 ， 均在足球轨迹正下方，足球的飞行轨迹可看成抛物线，已知 ， ， 足球飞行的水平速度为 ，水平距离（水平距离 水平速度时间）与离地高度的鹰眼数据如表： (1)假如没有守门员，根据表中数据预测足球落地时， ______ ； (2)求关于的函数解析式； (3)守门员在攻球员射门瞬间就作出防守反应，当守门员位于足球正下方时，足球离地高度不大于守门员的 最大防守高度视为防守成功，已知守门员背对足球向球门前进过程中最大防守高度为 ，若守门员背对 足球向球门前进并成功防守，求此过程守门员的最小速度． 课后训练 1．如图①，在正方形 中，点E 是 的中点，点P 是对角线 上一动点，设 ， ，图②是y 关于x 的函数图象，且图象上最低点Q 的坐标为 ，则正方形 的边长 为（ ） ． B． ．4 D．5 2．某超市一月份的营业额为 万元，一月、二月、三月的营业额共 万元，如果平均每月增长率为 ， 则根据题意列方程为( ) ． B． ． D． 3．根据福建省统计局数据，福建省 年的地区生产总值为 亿元， 年的地区生产总值为 亿元．设这两年福建省地区生产总值的年平均增长率为x，根据题意可列方程（ ） ． B． ． D． 4．为满足市场需求，某超市在2023 年元旦来临前夕，购进一种品牌礼盒，每盒进价是40 元．超市规定每 盒售价不得少于45 元．根据以往销售经验发现：当售价定为每盒45 元时，每天可以卖出700 盒，每盒售 价每提高1 元，每天要少卖出20 盒． (1)试求出每天的销售量y（盒）与每盒售价x（元）之间的函数关系式； (2)当每盒售价定为多少元时，每天销售的利润P（元）最大？最大利润是多少？ (3)为稳定物价，物价管理部门限定：这种礼盒的每盒售价不得高于58 元．如果超市想要每天获得不低于 6000 元的利润，那么超市每天至少销售礼盒多少盒？ 5．某公有一座漂亮的五孔桥，如图所示建立平面直角坐标系，主桥洞 与两组副桥洞分别位于 轴的两 侧成轴对称摆放，每个桥洞的形状近似的可以看作抛物线，主桥洞 上， 与 近似满足函数关系 ．经测量在主桥洞 上得到 与 的几组数据： (米) (米) 根据以上数据回答下列问题： (1)求主桥洞 的函数表达式； (2)若 的表达式： ， 的表达式： ，求五个桥洞的总跨度 的长． 6．根据以下素材，探索完成任务 如何调整电梯球、落叶球的发球方向 素材1：如图是某足球场的一部分，球门宽 ，高 ．小梅站在处向门柱 一侧发球，点正对门柱 （即 ）， ，足球运动的路线是抛物线的一部分． 素材2：如图，当足球运动到最高点Q 时，高度为 ，即 ，此时水平距离 ，以点为 原点，直线 为x 轴，建立平面直角坐标系． (1)求足球运动的高度y（m）与水平距离x（m）之间的函数关系式，此时足球能否入？ (2)小梅改变发球方向，发球时起点不变，运动路线的形状不变，足球是否能打到远角E 处再入？（上述 （1），（2）中球落在门柱边线视同球入）