专题04 二次根式比较大小的四种考法（解析版）

专题04 二次根式比较大小的四种考法 类型一、平方比大小 例1．比较两数的大小： 3． 【答】＜ 【分析】先将两数都写成二次根式的形式，再比较被开方数的大小即可． 【详解】解：∵ ， ∴ ， 故答为： ． 【点睛】本题考查了二次根式的大小比较，解题关键是将它们都写成二次根式的形式． 例2．比较大小： ． 【答】 【分析】根据二次根式的性质即可求解． 【详解】解：∵ ， ， ∵ ， ∴ ， 故答为： ． 【点睛】此题主要考查二次根式的大小比较，解题的关键是熟知二次根式的性质． 【变式训练1】比较大小： （填“ ”、“ ”或“ ”）． 【答】 【分析】将两数平方，根据结果比较大小． 【详解】解： ， ， ∵ ， ∴ ， 故答为： ． 【点睛】本题考查了实数的大小比较，涉及了二次根式的运算，解题的关键是灵活运用平 方法进行比较． 【变式训练2】比较大小 3； ； 6．（填“＞”“＜”或“＝”） 【答】 ＞ ＜ ＜ 【分析】根据 ，可比较 与3 的大小； 与 可直接比较；根据 ，比较 与 的大小即可． 【详解】∵ ， ， ∴ ， 又∵ ， ∴ ， ∵ ， ， ∴ ， 故答为：＞，＜，＜， 【点睛】本题考查实数的大小的比较，解题的关键是知道如果还有根号，首先通过乘方化 为根指数相同的根式，然后比较． 【变式训练3】比较大小： ．（用“＞”或“＝”或“＜”填空） 【答】 【分析】利用平方运算比较 与 的大小，即可解答． 【详解】解： ， ，得： ， 故答为： ． 【点睛】本题考查了二次根式的大小比较，掌握二次根式的大小比较的基本方法是解题的 关键． 类型二、分母（分子）有理化比大小 例．阅读下列材料并回答问题．我们知道， ， ，…，如果两个含有二次根式的非零代数式相乘，它 们的积不含二次根式，就说这两个非零代数式互为有理化因式．如 与 互为有理化因式， 和 互为有理化因式．根据互为有理化因式的积是有理数， 可以将分母中含有二次根式的代数式化为分母是有理数的代数式，这个过程称为分母有理 化．例如： ．请解答下列问题： （1） 分母有理化的结果是 ； 分母有理化的结果是 ； （2）计算： ； （3）若实数 ， ，判断 和 的大小，并说明理由． 【答】（1） ， ；（2）3；（3） ，理由见解析 【分析】（1）直接利用有理化因式的概念分析得出答； （2）利用有理化因式的概念化简求出答； （3）直接利用有理化因式的概念化简求出答． 【详解】解：（1） ； ． （2） ． （3） ． 理由如下： 计算： ， ． ， ．即 ． 【点睛】此题主要考查了有理化因式的概念，正确化简二次根式是解题关键 【变式训练1】比较大小： ．（用＞，＝或＜填空） 【答】＞ 【分析】先根据分母有理化的法则进行计算， 化简为 ，再根据实数比较大 小的方法：若 ，则 ；若 ，则 ；若 ，则 ，即可 得出答． 【详解】解：∵ ， 又∵ ， ∴ ， ∴ ， 故答为：＞． 【点睛】本题考查分母有理化，二次根式的大小比较，实数的大小比较，平方差公式，掌 握相应的法则是解题的关键． 【变式训练2】满足不等式 的整数m 的个数是 ． 【答】7 【分析】先将前后二次根式化为最简二次根式，再进行估值，根据估值确定m 的个数． 【详解】解：∵ ， ， ∴ ， ， ∵ <m< ， 3312< ∴ m<10472， 33121 ∵ 与10472 之间的整数有4、5、6、7、8、9、10，共7 个， ∴整数m 的个数是7， 故答为：7． 【点睛】本题考查了二次根式的化简以及二次根式的估值，解题的关键是熟练化简二次根 式． 【变式训练3】比较大小： （填上“＞”或“＜”） 【答】＞ 【分析】利用它们的倒数来进行比较． 【详解】解：∵ ， 又∵ ， ∴ ． 故答为：＞ 【点睛】此题主要考查了实数大小比较的方法，解答此题的关键是通过比较它们的倒数进 行比较大小． 类型三、利用乘法公式比较大小 例．若 ， ， ，则，b，的 大小关系是（ ） ． B． ． D． 【答】 【分析】利用平方差公式计算，利用完全平方公式和二次根式的化简求出b，利用二次根 式大小的比较办法，比较b、得结论． 【详解】解：=2019×2021-2019×2020 =（2020-1）（2020+1）-（2020-1）×2020 =20202-1-20202+2020 =2019； 2022 ∵ 2-4×2021 =（2021+1）2-4×2021 =20212+2×2021+1-4×2021 =20212-2×2021+1 =（2021-1）2 =20202， b=2020 ∴ ； ∵ ， ∴＞b＞． 故选：． 【点睛】本题考查了完全平方公式、平方差公式、二次根式的化简、二次根式大小的比较 等知识点．变形2019×2021-2019×2020、 ，利用完全平方公式计算 出其值，是解决本题的关键． 【变式训练1】已知： ， ， ，则 、 、的大小关系为（ ） ． B． ． D． 【答】D 【分析】先利用平方差公式进行二次根式的运算，再比较大小即可． 【详解】 ， ，即 故选：D． 【点睛】本题考查了平方差公式、二次根式的运算，掌握二次根式的运算是解题关键． 【变式训练2】若 ，则， b，的大小关系是（ ） ． B． ． D． 【答】 【分析】分别将、b、平方，利用完全平方公式和二次根式的性质化简后对平方进行比较得 出结论． 【详解】解：∵ ， ∴ ， ∵ ， ， ∴ ， ， ∵ ，即 ， ∵、b、都是大于0 的实数， ∴ ， 故选：． 【点睛】本题考查了完全平方公式、二次根式大小的比较等知识点，利用完全平方公式计 算出值，是解决本题的关键． 类型四、作差移项比较大小 例．比较大小： ． 【答】＞ 【分析】先求 ， ，得到 ，变形即可得到： ． 【详解】解：∵ ， ， ∴ ， ∴ ． 故答为：＞． 【点睛】本题主要考查了实数大小比较的方法，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确： 解答此题的关键是比较出两个数的平方的大小关系再进行变形． 【变式训练1】比较大小： ． 【答】 【分析】首先分别求出 、 的平方，然后根据实数大小比较的方法，判断 出 、 的平方的大小关系，即可判断出 、 的大小关系． 【详解】解：解： ， ， ∴ 故答为： ． 【点睛】此题主要考查了实数大小比较的方法，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确： 正实数 负实数，两个负实数绝对值大的反而小． 【变式训练2】已知0＜＜b，x= ，y= ，则x，y 的大小关系是（ ） ．x＞y B．x=y ．x＜y D．与、b 的取值有关 【答】 【详解】试题分析：x-y= ， 0 ∵＜＜b， ∴ ＜4b ∴ ＜0，∴x-y＜0． 故选． 课后训练 1．已知 ， ， ，那么，b，的大小关 系是（ ） ． B． ． D． 【答】 【分析】先把 化为 再结合 从而可得答． 【详解】解：∵ ， ， ， 而 ∴ 故选． 【点睛】本题考查的是二次根式的大小比较，二次根式的混合运算，掌握“二次根式的大 小比较的方法”是解本题的关键． 2．比较下列两个数的大小： ．（用“>”或“<”号填空） 【答】 【分析】根据二次根式比较大小的方法求解即可． 【详解】解： ， ， ∵ ， ∴ ， 故答为： ． 【点睛】本题主要考查了比较二次根式的大小，正确化简两个二次根式是解题的关键． 3．比较大小： ．（填“ ”、“ ”或“ ”）． 【答】 【分析】运用平方法来比较二次根式的大小即可． 【详解】解： ， ∵ ， ∴ ， ∴ ， ∴ ， 故答为： ． 【点睛】本题考查了比较二次根式大小的方法，两边同时平方，转化为比较幂的大小，此 法的依据是：两个正数的平方是正数，平方大的数就大；两个负数的平方也是正数，平方 大的数反而小． 4．①比较大小： （填“ ”、“ ”、“ ”）， ②化简 ． 【答】 / 【分析】①先比较 ，推出 ，即可求解； ②判断 ，再利用二次根式的性质化简． 【详解】解： ， ， ∵ ， ∴ ， ∴ ； ∵ ， ∴ ． 故答为： ； ． 【点睛】本题考查了二次根式大小的比较，二次根式的化简，，解题的关键是掌握实数大 小比较的方法． 5．比较大小： （填“ ”“ ”或“ ”） 【答】 【分析】先把 化为 的形式，再根据负数比较大小的法则进行比较即可． 【详解】解：∵ ， ， ∴ ， ∴ ，即 ． 故答为： ． 【点睛】本题考查的是实数的大小比较，根据题意把 化为 的形式是解答此题的关 键． 6．比较大小 ， ． 【答】 ＜ ＜ 【分析】前一题先分别求得相应的倒数，通过比较倒数的大小从而判断原数的大小，后一 题先分别求得对应的平方结果，进而可比较原数的大小． 【详解】解：∵ ， ， 又∵ ， ∴ ， ∴ ； ∵ ， ， 又∵ ， ∴ ， ∴ ． 故答为：＜；＜． 【点睛】本题考查了二次根式的比较大小：结合题目特点，灵活运用二次根式的性质，选 择恰当的方法比较二次根式的大小是解决本题的关键． 7．将 从小到大排列 ． 【答】 【分析】先求出三个数的平方，再比较大小即可． 【详解】 ， ， ， ∵ ， ∴ ， 故答为： ． 【点睛】本题考查了比较二次根式的大小，熟知正数比较大小的法则是解答此题的关键． 平方法是比较二次根式的大小常用的方法． 8．比较大小： ； ； 【答】 【分析】根据二次根式性质比较大小即可得到结论． 【详解】解：① ， ； ② ， ； ③ ， ， ， ，即 ； 故答为： ； ； ． 【点睛】本题考查二次根式比较大小，熟练掌握二次根式性质是解决问题的关键． 9．比较实数的大小:(1) ；（2） 【答】 【分析】(1)根据两个负数比较大小、绝对值大的反而小比较即可；(2)先求出两数的差，再 根据差的正负比较即可． 【详解】(1) (2) ∵ ∴ ∴ 故答为 ， ． 【点睛】本题考查了实数的大小比较，能熟记实数的大小比较法则的内容是解此题的关键． 10．阅读下列解题过程： ＝ ＝ ； ＝ ＝ ； ＝ ＝ ＝2﹣ ；…则： （1） ＝ ； ＝ ； （2）观察上面的解题过程，请直接写出式子 ＝ ； （3）利用上面的规律：比较 ﹣ 与 ﹣ 的大小． 【答】（1） ； ；（2） ；（3） ﹣ ＞ ﹣ 【分析】（1）根据题意给出的规律即可求出答． （2）分子分母同时乘以 即可求出答． （3）将两个数化为 的形式即可求出答． 【详解】解：（1） ； ； （2）由题意可知： ． （3）由于 ， ， ∵ ， ∴ ， ∴ ， ∴ ． 故答为：（1） ， ． （2） ． 【点睛】本题考查了分母有理化、平方差公式、二次根式的混合运算、实数大小比较，解 题的关键是熟练掌握运算法则进行计算．