专题01 二次根式化简的四种压轴题全攻略（教师版）

专题01 二次根式化简的四种压轴题全攻略 类型一、利用被开方数的非负性化简二次根式 例1．使等式 成立的条件时，则 的取值范围为 ___． 【答】 【详解】解： 等式 成立， 由①得： 由②得： 所以则 的取值范围为 故答为： 【变式训练1】已知 ， 为实数，且 ，则 ________． 【答】 【详解】依题意可得m-2≥0 且2-m≥0，∴m=2，∴-3=0 =3 ∴ ，∴ = 故答为： ． 【变式训练2】(1) 中的取值范围是__________； (2)若 ，则的取值范围是_______； 【答】≥0 【解析】(1) 中的取值范围是≥0， (2)∵ ，∴ ，∴ ， 故答为：≥0， ． 【变式训练3】已知、b、为一个等腰三角形的三条边长，并且、b 满足 ，求此等腰三角形周长． 【答】17 【详解】解：由题意得： ，解得：=3， 则b=7， 若==3 时，3+3＜7，不能构成三角形． 若=b=7，此时周长为17． 【变式训练4】如果 成立，那么实数 的取值范围是( ) ． B． ． D． 【答】B 【详解】解： ，∴ ，∴ ， 故选：B． 类型二、利用数轴化简二次根式 例1．实数、b 在数轴上的位置如图所示化简， 的结果为( ) ． B． ． D． 【答】B 【详解】解：由数轴可知： ， ， ∴ 故选：B． 【变式训练1】实数，b 在数轴上对应的位置如图所示，化简|﹣b|﹣ 的结果是( ) ． B．﹣ ．2b D．2b﹣ 【答】 【详解】解：由数轴可知： ，∴ ， ∴原式＝ ，故选：． 【变式训练2】实数，b 在数轴上对应点的位置如图所示，化简 的结果是( ) ． B． ． D． 【答】 【解析】根据数轴上点的位置得：＜0＜b，∴-b＜0， 则原式=||+|-b|=-+b-= -2+b． 故选：． 【变式训练3】已知数，b，在数轴上的位置如图所示： 化简： 【答】0 【详解】由数轴知： ∴ ， ∴ ＝－b－(－b)－(－)－(－)＝－b－＋b＋－＋＝0 类型三、利用字母的取值范围化简二次根式 例1．若 ，那么 化简的结果是________． 【答】4 【解析】 =|7-m|+|m-3| 3 ∵＜m＜7，∴原式=7-m+m-3=4． 故答为：4． 例2 设，b，是△B 的三边的长，化简 +|b | ﹣﹣的结果是________． 【答】2+2 【解析】∵，b，是△B 的三边的长， + ∴＞b，+b+＞0，∴b﹣﹣＜0， ∴ +|b |= ﹣﹣ |+b+|+|b |=+ ﹣﹣ b+++-b=2+2． 故答是：2+2． 【变式训练1】已知 ，那么 可化简为_______________ 【答】 【解析】 ， , ， 原式＝ ． 故答为： 【变式训练2】若实数，b，满足关系式 ，则＝___ ___． 【答】404 【详解】解：根据题意，得 ，解得＝199， 则 ， 所以 ，解得 ， 故答为：404． 【变式训练3】化简： _______． 【答】0 【解析】由题意可知：3-x≥0，∴ = = = =0 故答为：0． 类型四、双重二次根式的化简 例1．化简 ＝_______ 【答】 【详解】解： = = = = 故答为： ． 例2 阅读下列材料，然后回答问题． 在进行二次根式的化简与运算时，我们有时会碰上如 一样的式子，其实我们 还可以将其进一步化简： 以上这种化简的步骤叫做分母有理化． (1)化简 ； (2)化简 ； 【答】(1) ；(2) 【详解】(1) ； (2) ． 【变式训练1】阅读理解 “分母有理化”是我们常用的一种化简的方法： ，除此之 外，我们也可以用平方之后再开方的方式来化简一些有特点的无理数，如：对于 设 ， 易知 故 ，由 解得 ，即 ． 根据以上方法，化简 【答】 【详解】解：设 ，易知 ，∴ ∴ ，∴ ，∴ ∵ ，∴原式 【变式训练2】先阅读下列的解答过程，然后再解答： 形如 的化简，只要我们找到两个正数、b，使 ， ，使得 ， ，那么便有： 例如：化简 解：首先把 化为 ，这里 ， ，由于 ， 即 ， ∴ (1)填空： = ， = ； (2)化简： ． 【答】(1) ， ；(2) 【详解】解：(1) = = ； = = ；故答为： ， ； (2)原式= = = = 【变式训练3】先阅读下列解答过程，然后再解答：小芳同学在研究化简 中发现： 首先把 化为 ﹐由于 ， ，即： ， ，所以 ， 问题： (1)填空： __________， ____________﹔ (2)进一步研究发现：形如 的化简，只要我们找到两个正数，b( )，使 ， ，即 ， ﹐那么便有： _________ _． (3)化简： (请写出化简过程) 【答】(1) ， ；(2) ；(3) 【详解】解：(1) ； ； (2) ； (3) = = ． 课后作业 1．已知等腰三角形的两边长满足 ，那么这个等腰三角形的周长为( ) ．8 B．10 ．8 或10 D．9 【答】B 【详解】解：∵ ∴ ， ，解得 ， 当腰长为2，底边为4 时，∵ ，不满足三角形三边条件，不符合题意； 当腰长为4，底边为2 时，∵ ， ，满足三角形三边条件， 此时等腰三角形的周长为 ． 故选：B 2．设 ，且x、y、z 为有理数．则xyz＝( ) ． B． ． D． 【答】 【详解】解： 两侧同时平方，得到 ∴ ∴ ， ， ∴xyz＝ ，故选择：． 3．已知 ，则yx＝_____． 【答】16 【详解】解：由题意得，x-2≥0，2-x≥0，解得，x=2，则y=-4， ∴yx=(-4)2=16，故答为：16． 4．如图，实数 ， 在数轴上的位置，化简 __． 【答】 【详解】解：由数轴可得： ， ，则 ， ∴ ． 故答为： ． 5．已知，b 为有理数，且 + ＝b+2，求b 的值． 【答】 【详解】解：∵ 有意义， ∴ ， ∴ ， ∴ ， ∴ ， ∴ ． 6．如图，一只蚂蚁从点沿数轴向右爬2 个单位长度到达点B，点与点B 关于原点对称，若、 B、三点表示的数分别为、b、，且＝ ． (1)则b＝ ，＝ ，b＋6＝ ； (2)化简： ． 【答】(1) ， ， ；(2) 【详解】解：(1)∵表示 一只蚂蚁从点沿数轴向右爬2 个单位长度到达点B∴ ， ∵点与点B 关于原点对称， ∴ ， ∴b＋6＝ ． 故答为： ； ； ； (2) ． 7．计算： (1) × ； (2)已知 ，b， 在数轴上的位置如图所示，化简： ． 【答】(1) ；(2) 【详解】(1)原式 (2)结合数轴可知： ， ， ， 原式 8．观察下列等式： 解答下列问题： (1)写出一个无理数，使它与 的积为有理数； (2)利用你观察的规律，化简 ； (3)计算： ． 【答】(1) ；(2) ；(3) ． 【详解】解：(1)∵ ，∴这个无理数为： ； (2) = = ； (3) = = ． 9．先阅读下列的解答过程，然后作答： 形如 的化简，只要我们找到两个数 、 使 、 ，这样 ， 那么便有 例如：化简 ． 解：首先把 化为 ， 这里 ， ．由于 ， ， 即 ， ， ． 由上述；例题的方法化简： (1) ； (2) ． 【答】(1) ；(2) ． 【详解】(1) ； (2) ＝ ．