专题01 双中点（线段）模型与双角平分线（角）模型（原卷版）

专题01 双中点（线段）模型与双角平分线（角）模型 线段与角度是初中几何的入门知识，虽然难度不高，但重要性是不言而喻的。这类模型通常由问题出 发，先由线段（角度）和差确定解题方向，然后辅以线段中点（角平分线）来解决。但是，对于有公共部 分的线段双中点模型和双角平分线模型，可以写出的线段（角度）和差种类较多，这就增加了思考的难度。 模型1 线段的双中点模型 图1 图2 1）双中点模型（两线段无公共部分） 条件：如图1，已知、B、三点共线，D、E 分别为B、B 中点，结论： 2）双中点模型（两线段有公共部分） 条件：如图2，已知、B、三点共线，D、E 分别为B、B 中点，结论： 例1．（2023·广东七年级期中）如图， 是 的中点， 是 的中点，若 ， ，则下列说 法中错误的是（ ） ． B． ． D． 例2．（2022 秋·江苏泰州·七年级校考期末）如图，线段 ，长度为2 的线段 在线段 上运动， 分别取线段 、 的中点 、 ，则 ． 例3．（2022 秋·湖北咸宁·七年级统考期末）如图，点 是 的中点，点 是 的中点，现给出下列等 式：① ，② ，③ ，④ ．其中正确的等式序号是 ． 例4．（2022 秋·江苏淮安·七年级统考期末）线段 ， 是 的中点， 是 的中点， 是 的 中点， 是 的中点，依此类推……，线段的 长为 ． 例5．（2022 秋·山东青岛·七年级校考期末）直线l 上有三点、B、，其中 ， ，M、分别 是 、 的中点则 的长是 ． 例6．（2023·河南周口·七年级统考期末）如图，点在线段 上，点M 是 的中点，点是 的中点． (1)若 ，求 的长；(2)若 ， ，求 的长；(3)若 ，求 的长． 例7．（2022 秋·广东广州·七年级统考期末）如图，点 在线段 上， ， ，点 、 分别是 、 的中点． (1)求线段 的长；(2)若点 在线段 的延长线上，且满足 ，其它条件不变，你能猜想 的长度吗？请画出图形，写出你的结论，并说明理由． 例8．（2022 春·湖南株洲·七年级统考期末）材料阅读：当点 在线段 上，且 时，我们称 为点 在线段 上的点值，记作 ．如点 是 的中点时，则 ，记作 ；反过来，当 时，则有 ．因此，我们可以这样理解： 与 具有相同的含义． 初步感知： (1)如图1，点 在线段 上，若 ，则 __________；若 ，则 ____________； (2)如图2，已知线段 ，点 、 分别从点 和点 同时出发，相向而行，运动速度均为 ， 当点 到达点 时，点 、 同时停止运动，设运动时间为 ，请用含有的式子表示 和 ，并判 断它们的数量关系． 拓展运用：(3)已知线段 ，点 、 分别从点 和点 同时出发，相向而行，若点 、 的运动 速度分别为 和 ，点 到达点 后立即以原速返回，点 到达点 时，点 、 同时停止运动， 设运动时间为 ．则当为何值时，等式 成立． 例9．（2022·贵州铜仁·七年级期末）如图1，已知点在线段B 上，线段＝10 厘米，B＝6 厘米，点M，分 别是，B 的中点．（1）求线段M 的长度．（2）根据第（1）题的计算过程和结果，设＝，B＝b，其他条 件不变，求M 的长度．（3）动点P、Q 分别从、B 同时出发，点P 以2m/s 的速度沿B 向右运动，终点为 B，点Q 以1m/s 的速度沿B 向左运动，终点为，当一个点到达终点，另一个点也随之停止运动．设点P 的 运动时间为t（s）．当、P、Q 三点中，有一点恰好是以另外两点为端点的线段的中点时，直接写出时间 t． 模型2 双角平分线模型 图1 图2 图3 1）双角平分线模型（两个角无公共部分） 条件：如图1，已知：D、E 分别平分∠B、∠B； 结论： 2）双角平分线模型（两个角有公共部分） 条件：如图1，已知：D、E 分别平分∠B、∠B； 结论： 3）拓展模型：双角平分线模型（三个角围成一个周角） 条件：如图3，已知∠B+∠B+∠=360°，P1平分∠、P2平分∠B； 结论： 例1．（2022 秋·陕西西安·七年级校考期末）如图， 是 内部的一条射线， 、 分别是 、 的角平分线．若 ， ，则 的度数为（ ） ． B． ． D． 例2．（2023 秋·福建福州·七年级统考期末）如图，已知射线 在 内部， 平分 平分 平分 ，以下四个结论：① ；② ；③ ；④ ．其中正确的结论有 （填序号）． 例3．（2023·河南·七年级校联考期末）如图， 分别是 和 的平分线， 分别是 和 的平分线， 分别是 和 的平分线，…， 分别是 和 的平分线，则 的度数是 ． 例4．（2022 秋·山西太原·七年级统考期末）图，∠=∠BD=90°，B 在∠的内部，在∠BD 的内部，E 是∠B 的 一条三等分线．请从，B 两题中任选一题作答． ．当∠B＝30°时，∠ED 的度数为 ． B．当∠B＝α°时，∠ED 的度数为 （用含α 的代数式表示）． 例5．（2023·江苏无锡·七年级校考期末）解答题：(1)如图，若 ， ， 、 分 别平分 、 ，求 的度数；(2)若 ， 是平面内两个角， ， ， 、 分别平分 、 ，求 的度数．（用含 、 的代数式表示） 例6．（2022 秋·河南商丘·七年级统考期末）综合与探究：如图1，在 的内部画射线 ，射线 把 分成两个角，分别为 和 ，若这两个角中有一个角是另外一个角的2 倍，则称射线 为 的“3 等分线”． (1)若 ，射线 为 的“3 等分线”，则 的度数为__________． (2)如图2，已知 ，过点在 外部作射线 ．若 三条射线中，一条射线恰好是 以另外两条射线为角的“3 等分线”，求 的度数（ ）． 例9．（2022·四川·成都市七年级期末）如图所示：点 是直线 上一点，∠ 是直角， 平分∠ ． （1）如图1，若∠ =40°，求∠ 的度数； （2）如图1，若∠ = ，直接写出∠ 的度数（用含 的代数式表示）； （3）保持题目条件不变，将图1 中的∠ 按顺时针方向旋转至图2 所示的位置，探究∠ 和∠ 的 度数之间的关系，写出你的结论，并说明理由． 课后专项训练 1．（2023 秋·福建泉州·七年级统考期末）在直线上任取一点，截取 ，再截取 ，则 的中点 与 的中点 之间的距离为（ ） ． B． ． 或 D． 或 2．（2023 秋·海南·七年级统考期末）已知线段 ，点 是直线 上一点， ，若 是 的中点， 是 的中点，则线段 的长度是（ ） ． B． ． 或 D． 或 3．（2023 秋·江西上饶·七年级统考期末）如图，、D 是线段 上两点，M、分别是线段 的中点， 下列结论：①若 ，则 ；②若 ，则 ；③ ；④ ． 其中正确的结论是（ ） ．①②③ B．③④ ．①②④ D．①②③④ 4．（2023 秋·江苏徐州·七年级校考期末）如图，点M 在线段的延长线上，且线段 ，第一次操作： 分别取线段 和 的中点 、 ；第二次操作：分别取线段 和 的中点 ， ；第三次操 作：分别取线段 和 的中点 ， ；…连续这样操作2023 次，则每次的两个中点所形成的所有 线段之和 （ ） ． B． ． D． 5．（2023 秋·广西·七年级专题练习）如图，在数轴上，是原点，点表示的数是4，线段 （点B 在点的 左侧）在直线 上运动，且 ．下列说法正确的是（ ） 甲：当点B 与点重合时， ； 乙：当点与点重合时，若P 是线段 延长线上的点，则 ； 丙：在线段 运动过程中，若M，为线段 的中点，则线段 的长度不变 ．甲、乙 B．只有乙 ．只有丙 D．乙、丙 6．（2023 秋·河南驻马店·七年级统考期末）如图，已知 ，以点 为顶点作直角 ，以点 为端点作一条射线 ．通过折叠的方法，使 与 重合，点 落在点 处， 所在的直线为折痕， 若 ，则 （ ）． ． B． ． D． 7．（2023 秋·山西大同·七年级统考期末）在 的内部作射线 ，射线 把 分成两个角， 分别为 和 ，若 或 ，则称射线 为 的三等分线． 若 ，射线 为 的三等分线，则 的度数为（ ） ． B． ． 或 D． 或 8．（2023 秋·广西崇左·七年级统考期末）如图， 是 内的一条射线， 平分 ， 平分 ， ，则 的度数为（ ）． ． B． ． D． 9．（2023 吉林七年级上学期期末数学试题）如图，射线、D 把平角∠B 三等分，E 平分∠，F 平分∠BD， 下列说法正确的是（ ） ．图中只有两个120°的角 B．图中只有∠DE 是直角 ．图中∠的补角有3 个 D．图中∠E 的余角有2 个 10．（2023 秋·重庆开州·七年级统考期末）一副三角板B、DBE，如图1 放置，（ 、 ），将三角板 绕点B 逆时针旋转一定角度，如图2 所示，且 ，有下列四个结论： ①在图1 的情况下，在 内作 ，则 平分 ； ②在旋转过程中，若 平分 ， 平分 ， 的角度恒为定值； ③在旋转过程中，两块三角板的边所在直线夹角成 的次数为3 次； ④ 的角度恒为 ．其中正确的结论个数为（ ） ．1 个 B．2 个 ．3 个 D．4 个 11．（2022 秋·四川巴中·七年级统考期末）如图：数轴上点 、 、 表示的数分别是 ， ，1，且点 为线段 的中点，点 为原点，点 在数轴上，点 为线段 的中点． 、 为数轴上两个动点， 点 从点 向左运动，速度为每秒1 个单位长度，点 从点 向左运动，速度为每秒3 个单位长度， 、 同时运动，运动时间为 ． 有下列结论：①若点 表示的数是3，则 ；②若 ，则 ；③当 时， ；④当 时，点 是线段 的中点；其中正确的有 ．（填序号） 12．（2023 秋·安徽六安·七年级校考期末）如图，已知 、 是 内部的两条射线， 平分 ， 平分 ，①若 ， ，则 的度数为 度；②若 ， ，则 的度数为 度(用含x 的代数式表示)． 13．（2023 春·四川达州·七年级校考阶段练习）已知点、B、都在直线l 上，点是线段 的三等分点，D、 E 分别为线段 中点，直线l 上所有线段的长度之和为91，则 ． 14．（2023 秋·福建福州·七年级校考期末）已知线段 和线段 在同一直线上，线段 （在左，B 在 右）的长为，长度小于 的线段 （D 在左，在右）在直线 上移动，M 为 的中点，为 的中点， 线段 的长为b，则线段 的长为 （用，b 的式子表示）． 15．（2023 秋·湖北武汉·七年级统考期末）如图，点，D 在线段 上，P，Q 分别是 的中点，若 ，则 ． 16．（2023 秋·福建福州·七年级校考期末）已知有理数，b 满足： ．如图，在数轴上， 点是原点，点所对应的数是，线段 在直线 上运动（点B 在点的左侧）， ． 下列结论：① ；②当点B 与点重合时， ； ③当点与点重合时，若点P 是线段B 延长线上的点，则 ； ④在线段 运动过程中，若M 为线段 的中点，为线段 的中点，则线段 的长度不变． 所有结论正确的序号是 ． 17．（2023 秋·福建福州·七年级校考期末）已知有理数，b 满足： ．如图，在数轴上， 点是原点，点所对应的数是，线段 在直线 上运动（点B 在点的左侧）， ． 下列结论：① ；②当点B 与点重合时， ； ③当点与点重合时，若点P 是线段B 延长线上的点，则 ； ④在线段 运动过程中，若M 为线段 的中点，为线段 的中点，则线段 的长度不变． 所有结论正确的序号是 ． 18．（2023 秋·湖南邵阳·七年级统考期末）如图，在直线 上，线段 ，动点 从 出发，以每秒 2 个单位长度的速度在直线 上运动， 为 的中点， 为 的中点，设点 的运动时间为秒． (1)若点 在线段 上运动，当 时， ；(2)若点 在射线 上运动，当 时，求 点 的运动时间的值；(3)当点 在线段 的反向延长线上运动时，线段 、 、 有怎样的数量关 系？请写出你的结论，并说明你的理由． 19．（2023 秋·福建泉州·七年级校考期末）【概念与发现】 当点在线段B 上， 时，我们称为点在线段B 上的“点值”，记作 ． 例如，点是B 的中点时，即 ，则 ； 反之，当 时，则有 ． 因此，我们可以这样理解：“ ”与“ ”具有相同的含义． (1)【理解与应用】 如图，点在线段B 上．若 ， ，则 ________；若 ，则 ________． (2)【拓展与延伸】已知线段 ，点P 以1m/s 的速度从点出发，向点B 运动．同时，点Q 以3m/s 的速度从点B 出发，先向点方向运动，到达点后立即按原速向点B 方向返回．当P，Q 其中一点先到达终 点时，两点均停止运动．设运动时间为t（单位：s）． ①小王同学发现，当点Q 从点B 向点方向运动时， 的值是个定值，求m 的值； ②t 为何值时， ． 20．（2023 秋·河南新乡·七年级统考期末）小明在学习了比较线段的长短时对下面一道题产生了探究的兴 趣： 如图1，点 在线段 上， ， 分别是 ， 的中点．若 ， ，求 的长． (1)根据题意，小明求得 ______．(2)小明在求解（1）的过程中，发现 的长度具有一个特殊性质， 于是他先将题中的条件一般化，并开始深入探究． 设 ， 是线段 上任意一点（不与点 ， 重合），小明提出了如下三个问题，请你帮助小明解 答． ①如图1， ， 分别是 ， 的中点，则 ______． ②如图2， ， 分别是 ， 的三等分点，即 ， ，求 的长． ③若 ， 分别是 ， 的 等分点，即 ， ，则 ______． 21．（2023 春·黑龙江哈尔滨·七年级校考阶段练习）已知：射线 在 内部， 平分 ． (1)如图1，求证： ；(2)如图2，作 平分 ，求证： ； (3)如图3，在（2）的条件下，当 时，作射线 的反向延长线 ， 在 的下方，且 ，反向延长射线 得到射线 ，射线 在 内部， 是 的平分线，若 ， ，求 的度数． 22．（2023 秋·安徽池州·七年级统考期末）（1）如图1，已知 内部有三条射线， 平分 ， 平分 ，若 ，求 的度数； （2）若将（1）中的条件“ 平分 ， 平分 ”改为“ ， ”，且 ，求 的度数； （3）如图2，若 、 在 的外部时， 平分 ， 平分 ，当 ， 时，猜想： 与 的大小有关系吗？如果没有，指出结论并说明理由． 23．（2023 秋·河北邢台·七年级校联考期末）已知 ， 平分 ， 平分 ． (1)如图1，当 ， 重合时，求 的度数；(2)如图2，当 在 内部时，若 ， 求 的度数；(3)当 和 的位置如图3 时，求 的度数． 24．（2023·山西吕梁·七年级统考期末）综合与探究 【背景知识】如图甲，已知线段 ， ，线段 在线段 上运动，E，F 分别是 ， 的中点．(1)若 ，则 ；(2)当线段 在线段 上运动时，试判断 的长度是 否发生变化？如果不变，请 求出 的长度，如果变化，请说明理由； 【类比探究】(3)对于角，也有和线段类似的规律． 如图乙，已知 在 内部转动， ， 分 别平分 和 ，若 度， 度，求 ． 25．（2023·江苏七年级课时练习）（理解新知）如图①，点M 在线段B 上，图中共有三条线段B、M 和 BM，若其中有一条线段的长度是另外一条线段长度的2 倍，则称点M 是线段B 的“奇妙点”， （1）线段的中点 这条线段的“奇妙点”（填“是”或“不是”） （2）（初步应用）如图②，若 ，点是线段D 的“奇妙点”，则 ； （3）（解决问题）如图③，已知 ，动点P 从点出发，以 速度沿B 向点B 匀速移动，点 从点B 出发，以 的速度沿B 向点匀速移动，点P、 同时出发，当其中一点到达终点时，运动停止． 设移动的时间为 t，请求出 为何值时，、P、 三点中其中一点恰好是另外两点为端点的线段的“奇妙 点”． 26．（2022·广东茂名·七年级期末）已知：∠B＝60°，∠D＝90°，M、分别平分∠、∠BD． （1）如图1，在∠B 内部时，∠D+∠B＝ ，∠BD﹣∠＝ ； （2）如图2，在∠B 内部时，求∠M 的度数；（3）如图3，∠B，∠D 的边、D 在同一直线上，将∠B 绕点以 每秒3°的速度逆时针旋转直至B 边第一次与D 边重合为止，整个运动过程时间记为t 秒．若∠M＝5∠B 时， 求出对应的t 值及∠D 的度数． 27．（2023·江苏·七年级专题练习）如图1，射线在 的内部，图中共有3 个角： 、 、 ，若其中有一个角的度数是另一个角度数的两倍，则称射线是 的“定分线”． （1）一个角的平分线_________这个角的“定分线”；（填“是”或“不是”） （2）如图2，若 ，且射线PQ 是 的“定分线”，则 ________(用含的代数式表 示出所有可能的结果）；（3）如图2，若 =48°，且射线PQ 绕点P 从P 位置开始，以每秒8°的速度 逆时针旋转，当PQ 与P 成90°时停止旋转，旋转的时间为t 秒；同时射线PM 绕点P 以每秒4°的速度逆时 针旋转，并与PQ 同时停止．当PQ 是 的“定分线”时，求t 的值．