专题15 全等三角形模型之角平分线模型解读与提分精练（全国通用）（原卷版）

专题15 全等三角形模型之角平分线模型 角平分线在中考数学中都占据着重要的地位，角平分线常作为压轴题中的常考知识点，需要掌握其各 类模型及相应的辅助线作法，且辅助线是大部分学生学习几何内容中的弱点，本专题就角平分线的几类全 等模型作相应的总结，需学生反复掌握。 大家在掌握几何模型时，多数同学会注重模型结论，而忽视几何模型的证明思路及方法，导致本末倒 置。要知道数学题目的考察不是一成不变的，学数学更不能死记硬背，要在理解的基础之上再记忆，这样 才能做到对于所学知识的灵活运用，并且更多时候能够启发我们解决问题的关键就是基于已有知识、方法 的思路的适当延伸、拓展，所以学生在学习几何模型要能够做到的就是：①认识几何模型并能够从题目中 提炼识别几何模型；②记住结论，但更为关键的是记住证明思路及方法；③明白模型中常见的易错点，因 为多数题目考察的方面均源自于易错点。当然，以上三点均属于基础要求，因为题目的多变性，若想在几 何学习中突出，还需做到的是，在平时的学习过程中通过大题量的训练，深刻认识几何模型，认真理解每 一个题型，做到活学活用！ .................................................................................................................................................2 模型1 角平分线垂两边（角平分线+外垂直）.............................................................................................2 模型2 角平分线垂中间（角平分线+内垂直）.............................................................................................5 模型3 角平分线构造轴对称模型（角平分线+截线段相等）.....................................................................7 ...............................................................................................................................................10 模型1 角平分线垂两边（角平分线+外垂直） 角平分线垂两边是指过角的平分线上一点向角的两边作垂线。角平分线垂两边模型，可以充分利用角平分 线性质：角平分线上的点到角两边距离相等。 图1 图2 图3 条件：如图1， 为 的角平分线， 于点， 于点B 结论： 、 ≌ 证明：∵ 为 的角平分线， ， ， ∴ ，∠B=∠=90°，∵ ，∴ ≌ （L） 常见模型1（直角三角形型） 条件：如图2，在 中， ， 为 的角平分线，过点D 作 结论： 、 ≌ （当 是等腰直角三角形时，还有 ） 证明：∵ ， 为 的角平分线， ， ∴ ，∠ED=∠D=90°，∵ ，∴ ≌ （L） 常见模型2（邻等对补型） 条件：如图3，是∠B 的角平分线，=B，过点作D⊥、E⊥B。 结论：① ；② ；③ 证明：∵是∠B 的角平分线，D⊥、E⊥B， ∴ ，∠D=∠EB=90°，=B，∴ ≌ （L），∴ ，∠D=∠BE； ∵ ，∴ ，∴ ， 同图1 中的证法易得： ≌ （L），∴ ， ∴ ， 例1．（2024·陕西·中考真题）如图，在 中， ，E 是边 上一点，连接 ，在 右侧作 ，且 ，连接 ．若 ， ，则四边形 的面积为 ． 例2．（23-24 八年级上·江苏南通·阶段练习）如图， 的外角 ， 的平分线 ， 相交 于点 ， 于 ， 于 ，下列结论：（1） ；（2）点 在 的平分线上； （3） ；（4）若 ，则 ，其中正确的有（ ） ．1 个 B．2 个 ．3 个 D．4 个 例3．（2023 春·安徽宿州·八年级统考阶段练习）已知 ， 和 分别平分 和 ，点 E，F 分别在 和 上．(1)如图1， 过点P，且与 垂直，求证： ； (2)如图2， 为过点P 的任意一条线段，试猜想 还成立吗？请说明理由． 例4．（23-24 九年级下·辽宁本溪·阶段练习）【问题初探】（1）在数学活动课上，姜老师给出如下问题： 如图1， 平分 ，M 为 上一点，为 上一点，连接线段 ，若 ． 求证： ． ①如图2，小文同学从已知一边一角构造全等进行转化的视角给出如下思路：在 上截取 ，连 接 ，易证 ，将线段 与 的数量关系转化为 与 的数量关系． ②如图3，小雅同学也是从已知一边一角构造全等的视角进行解题给出了另一种思路，过D 点向 的 两边分别作垂线，垂足分别为点E，F，易证 ，得到 ，接下来只需证 ，可得 ． 请你选择一名同学的解题思路，写出证明过程 【类比分析】（2）姜老师发现之前两名同学都采用了一边一角构造全等的视角，为了更好的感悟这种视 角，姜老师将共顶点的两个相等的角，变成了不共顶点的两个相等的角提出了如下问题，请你解答． 如图4，在 中， ， 平分 交 与点D，在线段 上有一点E，连接 交 与 点F，若 ．求证： ． 【学以致用】（3）如图5，在 中， ，垂足为点D，在 的延长线上取一点E， 使 ，在线段 上截取 ，点G 在线段 上，连接 ，使 ，若 ， ， ，求四边形 的面积． 模型2 角平分线垂中间（角平分线+内垂直） 角平分线垂中间模型是可以看作是等腰三角形“三线合一”的逆用，也可以得到两个全等的直角三角形， 进而得到对应边、对应角相等，这个模型巧妙的把三线合一和角平分线联系在一起。但同学们也需要注意， 在解答题中使用时不能利用角平分线+中线得高线，也不能利用角平分线+高线得中线。一定要通过证明全 等来得到结论。（因为正确的结论有很多，但只有作为定理的才可以在证明中直接使用哦！） 图1 图2 图3 条件：如图1， 为 的角平分线， ， 结论：△≌△B， 是等腰三角形， 是三线合一等。 证明：∵ 为 的角平分线，∴∠=∠B， ∵ ，∠B=∠=90°，∵ ，∴△≌△B（S）， ∴ ，∴ 是等腰三角形，∵ ，∴ 是三线合一。 条件：如图2， 为 的角平分线， ，延长B，E 交于点F 结论：△BE △ ≌BEF， 是等腰三角形、BE 是三线合一等。 证明：同图1 的证法， 例1．（23-24 八年级下·安徽马鞍山·期末）如图， 中， ， ，点 是 的中点， 若 平分 ， ，线段 的长为（ ） ． B． ． D． 例2．（2024·广东深圳·八年级校考阶段练习）如图， 中， ， ， 是 的 角平分线， ，则 的最大值为 ． 例3．（2024·广东·九年级期中）如图，在 中， ， ， （1）如图1, 平分 交 于点 ， 为 上一点，连接 交 于点 ． （）若 ，求证： 垂直平分 ；（）若 ,求证： ．（2）如图2， 平分 交 于点 ， ，垂足 在 的延长线上，试判断线段 和 的数量关系，并说明理 由． （3） 如图3， 为 上一点， ， ，垂足为 ， 与 交于点 ，写出线段 和 的数量关系．（不要求写出过程） 模型3 角平分线构造轴对称模型（角平分线+截线段相等） 角平分线构造轴对称模型是利用角平分线图形的对称性，在角的两边构造对称全等三角形，可以得到 对应边、对应角相等，利用对称性把一些线段或角进行转移，这是经常使用的一种解题技巧。 图1 图2 条件：如图1， 为 的角平分线，为任意一点，在 上截取 ，连结 结论： ≌ ，B=。 证明：∵ 为 的角平分线，∴∠=∠B， ∵ ， ，∴△≌△B（SS），∴B=。 条件：如图2，BE、E 分别为 和 的平分线， ，在 上截取 ，连结 。 结论： ≌ ， ≌ ，B+D=B。 证明：∵BE 为 的平分线，∴∠BE=∠FBE= ， ∵ ， ，∴ ≌ （SS），∴∠EB=∠FEB， ∵ ，∴∠B+∠BD=180°，∵E 为 的平分线，∴∠FE=∠DE= ， ∠ ∴ EB+∠BE= + =90°，∴∠FE+∠FEB=90°，∠EB+∠ED=90°， ∠ ∴ FE=∠ED，∵E=E，∴ ≌ ，∴F=D，∴B+D=BF+F=B。 例1．（2023·浙江·九年级专题练习）如图，在 中， ， ， 是 的平分线， 延长 至点 ， ，试求 的度数． 例2．（2022·北京九年级专题练习）在四边形 中， 是 边的中点． （1）如图（1），若 平分 ， ，则线段 、 、 的长度满足的数量关系为____ __；（直接写出答）；（2）如图（2）， 平分 ， 平分 ，若 ，则线段 、 、 、 的长度满足怎样的数量关系？写出结论并证明． 例3．（2023·山东烟台·九年级期末）已知在 中，满足 ， (1)【问题解决】如图1，当 ， 为 的角平分线时，在 上取一点 使得 ，连接 ，求证： ．(2)【问题拓展】如图2，当 ， 为 的角平分线时，在 上 取一点 使得 ，连接 ，（1）中的结论还成立吗？若成立，请你证明：若不成立，请说明理由． (3)【猜想证明】如图3，当 为 的外角平分线时，在 的延长线上取一点 使得 ，连接 ，线段 、 、 又有怎样的数量关系？请写出你的猜想，并对你的猜想给予证明． 例4．（24-25 八年级上·江苏扬州·阶段练习）问题情境：数学课上，同学们在探索利用角平分线来构造全 等三角形问题． 如图①，在四边形 中，点 是 边的中点， 平分 ， ，证明： ． 讨论思考：当同学们讨论到题目中寻找线段之间的和差关系时，大家都踊跃提出了各自的见解，大家集思 广议，提出了一个截长法：如图②，在 上截取 ，连接CF，先证明 ，再证明 ，即有 ，即 ． 解决问题：小明同学根据大家的思路，进行了如下的证明 ，理由如下：如图②，在 上取一点 ，使 ，连接CF． ∵ 平分 ，∴ ，在 和 中， ∴ （ ） ∴ ， ． （1）小明已经完成了大家讨论的第一步，接下来就由你来利用题干中的条件完成剩下的推理证明吧． 拓展探究：已知：如图③，在 中， ， 、 分别为 上的点，且 交于点 ． 若 为 的角平分线．（2） ；（3）证明： ． （4）如图④，在 中， ，延长 的边 到点 ，AD平分 交 延长线于点 ，若 ， ，则 ． 1．（2024·山东烟台·中考真题）某班开展“用直尺和圆规作角平分线”的探究活动，各组展示作图痕迹如 下，其中射线 为 的平分线的有（ ） ．1 个 B．2 个 ．3 个 D．4 个 2．（2024·广东深圳·中考真题）在如图的三个图形中，根据尺规作图的痕迹，能判断射线 平分 的是（ ） ．①② B．①③ ．②③ D．只有① 3．（2024·重庆·校考一模）如图，已知四边形 的对角互补，且 ， ， ． 过顶点作 于E，则 的值为（ ） ． B．9 ．6 D．7．2 4．（2024·安徽·一模）如图， 中，D 平分 ，E 是B 中点， ， ， ，则 DE 的值为（ ） ．1 B．2 ． D． 5．（2024·绵阳市·校考一模）已知，如图，B=D，∠B+∠D=180°． 连接，在B，，D 上分别取点E，P， F，连接PE，PF． 若E=4，F=6，△PE 的面积为4，则△PF 的面积是（ ） ．2 B．4 ．6 D．8 6．（2023 春·广东深圳·八年级校考期中）如图，点P 为定角 的平分线上的一个定点，且 与 互补，若 在绕点P 旋转的过程中，其两边分别与 相交于M、两点，则以下结论： ① 恒成立；② 的值不变；③四边形 的面积不变；其中正确的个数为（ ） ．3 B．2 ．1 D．0 7．（23-24 九年级上·重庆·阶段练习）如图，在 中， 和 的平分线 ， 相交于点 ， 交 于 ， 交 于 ，过点 作 于 ，下列几个结论： ① 平分 ② ③当 时， ； ④若 ， ，则 ．其中正确的有（ ） ．1 个 B．2 个 ．3 个 D．4 个 8．（2023·四川南充·统考二模）如图， 为 的平分线 上一点， ，但 ，则 与 的关系是 ． 9．（2023·山东淄博·校考二模）如图，点 在 内部， 平分 ，且 ，连接 ．若 的面积为 ，则 的面积为 ． 10．（2024·湖南·中考真题）如图，在锐角三角形 中， 是边 上的高，在 ， 上分别截取 线段 ， ，使 ；分别以点E，F 为圆心，大于 的长为半径画弧，在 内，两弧交于 点P，作射线 ，交 于点M，过点M 作 于点．若 ， ，则 ． 11．（2024·黑龙江哈尔滨·统考模拟预测）如图，四边形 中 ， ， 为 上一点，连接 ， ， ，若 ，则线段 的长为 ． 12．（2024·江苏·九年级专题练习）如图，已知等腰直角三角形 中， ， ， 平 分 ， 交 的延长线于点D，试说明： ． 13．（2024·湖北孝感·九年级校联考阶段练习）（情景呈现）画 ，并画 的平分线 ． （）把三角尺的直角顶点落在的任意一点 上，使三角尺的两条直角边分别与 的两边 ， 垂 直，垂足为 ， （如图1）．则 ；若把三角尺绕点 旋转（如图2），则 ________ ． （选填：“<”、“>”或“=”） （理解应用） （2）在（1）的条件下，过点 作直线 ，分别交 ， 于点 ， ，如图3． ①图中全等三角形有________对．（不添加辅助线） ②猜想 ， ， 之间的关系为________． （拓展延伸） （3）如图4，画 ，并画 的平分线 ，在 上任取一点 ，作 ， 的两边分别与 ， 相交于 ， 两点， 与 相等吗？请说明理由． 14．（2023·吉林松原·校联考二模）在四边形BD 中，平分∠DB，∠B＝α，∠D＝180° α ﹣． （1）若α＝90°时，直接写出D 与B 的数量关系为 ；（2）如图1，当α≠90°时，（1）中结论是否还成立， 说明理由；（3）如图2，为中点，M 为B 上一点，BM＝D，求 的值． 15．（23-24 九年级上·河南开封·阶段练习）如图，在 中， 现在有一足够大的直角三 角板，它的直角顶点D 是 边上一点，另两条直角边分别交 于点E、F． (1)如图1，若 ，求证：四边形 是矩形． (2)若点D 在 的角平分线上，将直角三角板绕点D 旋转一定的角度，使得直角三角板的两条边与两 条直角边分别交于点E、F（如图2），试证明 ．（尝试作辅助线） 16．（2024·河南南阳·一模）李老师善于通过合适的主题整合学内容，帮助同学们用整体的、联系的、发 展的眼光看问题，形成科学的思维习惯，下面是李老师在“利用角的对称性构造全等模型”主题下设计的 问题，请你解答．（1）【观察发现】①如图1， 是 的角平分线， ，在 上截取 ，连接 ，则 与 的数量关系是__________；②如图2， 的角平分线 、 相交于 点P．当 时，线段 与 的数量关系是__________； （2）【探究迁移】如图3，在四边形 中， ， 的平分线与 的平分线恰好 交于 边上的点P，试判断 与 的数量关系，并说明理由． （3）【拓展应用】在（2）的条件下，若 ，当 有一个内角是 时，直接写出 边 的长． 17．（2023·山东济南·二模）在等腰 中， ，M 是 的角平分线，过点M 作 ， 垂足为， 、将 绕点M 旋转，使 的两边交直线B 于点E，交直线于点F，请解答 下列问题：(1)当 绕点M 旋转到如图①的位置时，求证： ； (2)当 绕点M 旋转到如图②的位置时，请直接写出线段BE，F，BM 之间的数量关系； (3)在（1）和（2）的条件下， ， ，分别求F 的长． 18．（23-24 八年级上·江苏无锡·期中）【情境建模】（1）苏科版材八年级上册第60 页，研究了等腰三角 形的轴对称性，我们知道“等腰三角形底边上的高线、中线和顶角平分线重合”，简称“三线合一”． 小明尝试着逆向思考：若三角形一个角的平分线与这个角对边上的高重合，则这个三角形是等腰三角形． 即如图1，已知，点D 在 的边 上， 平分 ，且 ，求证： ．请你帮助 小明完成证明；请尝试直接应用“情境建模”中小明反思出的结论解决下列问题： 【理解内化】（2）①如图2，在 中， 是角平分线，过点B 作 的垂线交 、 于点E、 F， ．求证： ；②如图3，在四边形 中， ， 平分 ，当 的面积最大时，请直接写出此时 的长． 【拓展应用】（3）如图4， 是两条公路岔路口绿化施工的一块区域示意图，其中 ， ， ，该绿化带中修建了健身步道 ，其中入口M、分别在 上，步道 分别平分 和 ， ， ．现要用围挡完全封闭 区域，修建地下排水和地上公益广告等设施，试求需要围挡多少m？（步道宽度和接头忽略不计） 19．（2023·重庆·八年级专题练习）阅读与思考 下面是小明同学的数学学习笔记，请您仔细阅读并完成相应的任务：构造全等三角形解决图形与几何问题 在图形与几何的学习中，常常会遇到一些问题无法直接解答，需要添加辅助线才能解决．比如下面的题目 中出现了角平分线和垂线段，我们可以通过延长垂线段与三角形的一边相交构造全等三角形，运用全等三 角形的性质解决问题． 例：如图1， 是 内一点，且 平分 ， ，连接 ，若 的面积为10，求 的面积． 该问题的解答过程如下：解：如图2，过点 作 交 延长线于点 ， 、 交于点 ， 平分 ， ． ， ． 在 和 中， ， （依据1） （依据2）， ， ， ．…… 任务一：上述解答过程中的依据1，依据2 分别是___________，___________； 任务二：请将上述解答过程的剩余部分补充完整； 应用：如图3，在 中， ， ， 平分 交 于点 ，过点 作 交 延长线于点 ．若 ，求 的长． 20．（23-24 九年级上·黑龙江鸡西·期末）如图，在等腰 中， ， 是 的角平分线， 过点 作 于点 ， ，将 围绕点 旋转，使得 的两边分别交直线 、 于点 、 ． (1)当 围绕点 旋转到如图①的位置时，易证得： ； (2)当 围绕点 旋转到如图②、图③的位置时， 、 、 之间有怎样的数量关系？请写出来， 并选择一种情况进行证明．