专题24 相似模型之（双）A字型与（双）8字型模型解读与提分精练（全国通用）（解析版）

专题24 相似模型之（双）字型与（双）8 字型模型 相似三角形是几何中重要的证明模型之一，是全等三角形的推广，分析图形间的关系离不开数量的计 算。相似和勾股是产生等式的主要依据（其他依据还有面积法，三角函数等），因此要掌握相似三角形的 基本图形，体会其各种演变和联系。相似三角形是初中几何中的重要的内容，常常与其它知识点结合以综 合题的形式呈现，其变化很多，是中考的常考题型。本专题重点讲解相似三角形的（双）字模型和（双） 8（X）字模型． .................................................................................................................................................1 模型1“”字模型................................................................................................................................................1 模型2“X”字模型（“8”字模型）.................................................................................................................6 模型3“X”字模型（“8”字模型）...............................................................................................................10 ...............................................................................................................................................16 【知识储备】字型和8（X）字型的应用难点在于过分割点（将线段分割的点）作平行线构造模型，有的是 直接作平行线，有的是间接作平行线（倍长中线就可以理解为一种间接作平行线），这一点在模考中无论 小题还是大题都是屡见不鲜的。 模型1“”字模型 “”字模型图形（通常只有一个公共顶点）的两个三角形有一个“公共角”（是对应角），再有一个角相等 或夹这个公共角的两边对应成比例，就可以判定这两个三角形相似。 ①“”字模型 ②反“”字模型 ③同向双“”字模型 ④内接矩形模型 图1 图2 图3 图4 ①“”字模型 条件：如图1，DE∥B；结论：△DE∽△B⇔＝＝。 证明:∵DE∥B，∴∠DE=∠B，∠ED=∠B，∴△DE∽△B，∴＝＝。 ②反“”字模型 条件：如图2，∠ED＝∠B；结论：△DE∽△B⇔＝＝。 证明:∵∠ED＝∠B，∴∠=∠，（公共角） ∴△DE∽△B，∴＝＝。 ③同向双“”字模型 条件：如图3，EF∥B； 结论：△EF∽△B，△EG∽△BD，△GF∽△D⇔ 。 证明:∵EF∥B，∴∠EF=∠B，∠FE=∠B，∴△EF∽△B， 同理可证：△EG∽△BD，△GF∽△D，∴＝＝。 ④内接矩形模型 条件：如图4，△B 的内接矩形DEFG 的边EF 在B 边上，D、G 分别在B、边上，且 M⊥B；结论：△DG∽△B，△D∽△BM，△G∽△M⇔ 。 证明:∵DEFG 是矩形 ∴DG∥EF，∴∠DG=∠B，∠GD=∠B，∴△DG∽△B， 同理可证：△D∽△BM，△G∽△M，∴ 。 例1．（2024·吉林长春·三模）如图，在 中，点 、 为边 的三等分点，点 、 在边 上， ， 交 于点 ．若 ，则 的长为 ． 【答】 【分析】本题主要考查了平行线的性质，平行线分线段成比例定理，相似三角形的判定与性质，熟练掌握 平行线分线段成比例定理和相似三角形的性质是解题的关键．利用平行线的性质得到 ，利 用相似三角形的性质求得 的长度，利用平行线分线段成比例定理求得 ，再利用相似三角形的 判定与性质解答即可得出结论． 【详解】 点 ， 为边 的三等分点， ， ， ， ， ， 点 ， 为边 的三等分点， ， 点 ， 为边 的三等分点， ， ， ， ， ．故答为： 例2．（2023·广东广州·模拟预测）如图，正方形 内接于 ，点 ， 在 上，点 ， 分 别在 和 边上，且 边上的高 ， ，则正方形 的面积为 ． 【答】 【分析】本题考查相似三角形的判定和性质，正方形的性质，线段的和与差等知识．解题的关键是根据比 例表示出相应线段列方程．根据三角形相似，找到对应线段成比例列方程求解即可． 【详解】解：设正方形 的边长为 ，则 ， ∵四边形 是正方形， ， ， ， ， ， ， ， ， 解得： ，正方形 的面积为 故答为： 例3．（2024·湖南永州·模拟预测）如图： 中， ， ， ，把边长分别为 ， ， ，… 的个正方形依次放在 中；第一个正方形 的顶点分别放在 的各边上； 第二个正方形 的顶点分别放在 的各边上，其他正方形依次放入，则第2024 个正方形的 边长 为 ． 【答】 / 【分析】本题主要考查了正方形的性质，相似三角形的性质与判定，图形类的规律型问题．先由正方形的 性质得到 ， ，则 ， ，即可推出 ，即 ，从而求出 ，同理可证 ， 得到 ，即 ，推出 ，即可得到规律可推出第个正方形的边长 ，由此 即可得到答． 【详解】解：∵四边形 是正方形， ∴ ， ，∴ ， ∴ ，即 ，∴ ，∴ ， 同理可证 ， ∴ ，即 ，∴ ，同理可求得 ， ∴可以推出第个正方形的边长为 ，∴第2024 个正方形的边长 为 ，故答为： ． 例4．（2024·山东·中考真题）如图，点 为 的对角线 上一点， ， ，连接 并 延长至点 ，使得 ，连接 ，则 为（ ） ． B．3 ． D．4 【答】B 【分析】本题考查了平行四边形的性质，平行线分线段成比例定理，平行证明相似等知识点，正确作辅助 线是解题关键． 作辅助线如图，由平行正相似先证 ，再证 ，即可求得结果． 【详解】解：延长 和 ，交于 点， ∵四边形 是平行四边形，∴ ， 即 ，∴ ∴ ，∵ ， ，∴ ，∴ ， 又∵ ， ，∴ ， ∵ ， ，∴ ，∴ ， ∴ ∴ ，∴ ，∴ ；∵ ，∴ ．故选：B． 例5．（23-24 九年级上·广西南宁·阶段练习）如图， ，垂足为 ， ，垂足为 ， 与 相交于点 ，(1) 判断 与 是相似三角形吗？请说明理由；(2) 连接 ，求证： ； (3)若 ， ， ，求 的长． 【答】(1) ，理由见解析；(2)证明见解析；(3) ． 【分析】（）由垂直的定义得到 ，再利用两角对应相等的两个三角形相似即可求解； （ ）根据相似三角形的性质和判定定理即可得到求证；（）利用等腰三角形的“三线合一”定理可得 ，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半即可求出 长，最后代入 ， 解方程即可；本题考查了等腰三角形的性质，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半和相似三角形的判 定和性质的应用，能熟练地运用定理进行推理是解题的关键． 【详解】（1） ，理由如下， ∵ ， ，∴ ， ∵ ， ，∴ ； （2）由（）得 ，∴ ，∴ ， ∵ ，∴ ，∴ ，∴ ； （3）∵ ， ，∴ ，∴ ，∴ ，由（ ）得 ， ∵ ，∴ ，∵ ，∴ ，∴ ． 模型2“X”字模型（“8”字模型） “8”字模型图形的两个三角形有“对顶角”，再有一个角相等或夹对顶角的两边对应成比例就可以判定这两 个三角形相似． ①“8”字模型 ②反“8”字模型 ③平行双“8”字模型 ④斜双“8”字模型 图1 图2 图3 图4 ①“8”字模型 条件：如图1，B∥D；结论：△B∽△D⇔＝＝。 证明:∵B∥D，∴∠=∠，∠B=∠D，∴△B∽△D，∴＝＝。 ②反“8”字模型 条件：如图2，∠＝∠D；结论：△B∽△D⇔＝＝。 证明:∵∠＝∠D，∴∠B=∠D，（对顶角） ∴△B∽△D，∴＝＝。 ③平行双“8”字模型 条件：如图3，B∥D；结论： 。 证明:∵B∥D，∴∠=∠D，∠E=∠DF，∴△E∽△DF， 同理可证：△BE∽△F，△B∽△D，∴ 。 ④斜双“8”字模型 条件：如图4，∠1＝∠2；结论：△D∽△B，△B∽△D⇔∠3＝∠4。 证明:∵∠1＝∠2，∠D=∠B（对顶角）， ∴△D∽△B，∴:B=D:，即:D=B:； ∵∠B=∠D（对顶角），∴△B∽△D，∴∠3＝∠4。 例1．（2024·吉林·中考真题）如图，正方形 的对角线 相交于点，点E 是 的中点，点F 是 上一点．连接 ．若 ，则 的值为 ． 【答】 【分析】本题考查相似三角形的性质与判定，正方形的性质，先由正方形的性质得到 ， ，再证明 ，进而可证明 ，由相似三角形的性质可得 ，即 ． 【详解】解：∵正方形 的对角线 相交于点，∴ ， ， ∵点E 是 的中点，∴ ，∵ ，∴ ，∴ ， ∴ ，即 ，故答为： ． 例2（23-24 九年级上·浙江杭州·期中）如图， 与 交于点， 过点，交 于点E，交 于点 ， ．（1）求证： ．（2）若 ，求 ． 【答】（1）见解析；（2） 【分析】(1)证明△B∽△D，可得出结论；(2) 证得B//D，可得 ，则可得结果 【详解】证明：（1） ． ， ． （2） 【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，平行线分线段成比例定理，熟悉并灵活运用以上性质是解 题的关键． 例3．（2024·四川眉山·中考真题）如图，菱形 的边长为6， ，过点 作 ，交 的延长线于点 ，连结 分别交 ， 于点 ， ，则 的长为 ． 【答】 / 【分析】此题考查菱形的性质，相似三角形的性质和判定，勾股定理等知识，解题的关键是掌握以上知识 点．首先根据菱形的性质得到 ， ， ，然后勾股定理求出 ， ，然后证明出 ，得到 ， 求出 ，然后证明出 ，得到 ，求出 ，进而求解即可． 【详解】解： 菱形 的边长为6， ， ， ， ， ， ， ，在 中， ， ， ， ， ， ，在 中， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ．故答为： ． 例4．（23-24 九年级上·安徽蚌埠·期中）阅读材料：三角形的三条中线必交于一点，这个交点称为三角形 的重心．(1)特例感知：如图一，已知边长为3 的等边 的重心为点，求 与 的面积； (2)性质探究：如图二，已知 的重心为点，请判断 、 是否都为定值？如果是，分别求出 这两个定值；如果不是，请说明理由； (3)性质应用：如图三，在正方形BD 中，点E 是D 的中点，连接BE 交对角线于点M． 若正方形BD 的边长为4，求EM 的长度； 若 ，求正方形BD 的面积 【答】(1) (2)是定值；是定值；详见解析(3)① ；② 【分析】（1）连接 ，可证 ，可推出 ，即可求解；（2）由（1）中结论 即可求解；（3）①证 即可求解；②根据 求出 即可求解． 【详解】（1）解：如图，连接 由题意可知： 为 的中位线∴ ∴ ∴ 由题意得： ∴ ∴ ， ； （2）解：由（1）同理可得 ，是定值；∵ ∴ 故点 到 的距离和点 到 的距离之比也为 的底 相等 故 ，是定值； （3）解： 四边形BD 是正方形， ， ， ， ， 为D 的中点， ， ， ， ，即 ； ，且 ， ， ， ， ， ， 正方形BD 的面积为： ． 【点睛】本题以三角形重心为背景，考查了相似三角形的判定与性质、勾股定理等知识点．掌握相关结论 是解题关键． 模型3“X”字模型（“8”字模型） ①一“”+“8”模型 ②两“”+“8”模型（反向双“”字模型） ③四“”+“8”模型 图1 图2 图3 ①一“”+“8”模型 条件：如图1，DE∥B； 结论：△DE∽△B，△DEF∽△BF，⇔ 。 证明:∵DE∥B，∴∠DE=∠B，∠ED=∠B，∴△DE∽△B，∴＝＝。 ∵DE∥B，∴∠FDE=∠FB，∠DEF=∠BF，∴△DEF∽△BF，∴ 。 ∴ 。 ②两“”+“8”模型 条件：如图2，DE∥F∥B； 结论：△DF∽△DB，△F∽△ED，⇔ 。 证明:∵F∥B，∴∠DF=∠B，∠DF=∠DB，∴△DF∽△DB，∴ 。 ∵DE∥F，∴∠F=∠E，∠F=∠DE，∴△F∽△ED，∴ 。 两式相加得到： ，即 ，故 。 ③四“”+“8”模型3 条件：如图3，DE∥GF∥B；结论：F=G， 。 证明:同②中的证法，易证： ， ， ∴ ，即F=G，故 。 例1．（2022·山东东营·中考真题）如图，点D 为 边 上任一点， 交 于点E，连接 相交于点F，则下列等式中不成立的是（ ） ． B． ． D． 【答】 【分析】根据平行线分线段成比例定理即可判断，根据相似三角形的性质即可判断B、、D． 【详解】解：∵ ，∴ ，△DEF∽△BF，△DE∽△B，故不符合题意； ∴ ， ，故B 不符合题意，符合题意；∴ ，故D 不符合题意；故选． 【点睛】本题主要考查了相似三角形的性质与判定，平行线分线段成比例定理，熟知相似三角形的性质与 判定，平行线分线段成比例定理是解题的关键． 例2．（2023·安徽·三模）如图，已知 、 ， 与 相交于点 ，作 于点 ， 点 是 的中点， 于点 ，交 于点 ，若 ， ，则 值为（ ） ． B． ． D． 【答】 【分析】证明 ， ， ， ，求出 ，求出 ， ，得出 即可得出答． 【详解】解： 、 ， ，∴ ， ， ， ∴ ， ，∴ ， ，∴ ， ，∴ ， 点 是 的中点， ， ， ， ∴ ， ，∴ ，∴ ，故选： ． 【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定和性质，平行线的判定，解题的关键是熟练掌握相似三角形的 判定，求出 ． 例3．（2024·湖北·模拟预测）（1）【问题背景】如图1， ， 与 相交于点E，点F 在 上．求证： ； 小雅同学的想法是将结论转化为 来证明，请你按照小雅的思路完成原题的证明过程． （2）【类比探究】如图2， ， ， ， 与 相交于点G，点在 上， ．求证： ． （3）【拓展运用】如图3，在 四边形 中， ，连接， 交于点M，过点M 作 ， 交 于点E，交 于点F，连接 交于点，过点作 ，交 于点G，交 于点，若 ， ，直接写出 的长． 【答】（1）见解析；（2）见解析；（3） 【分析】（1）由 ，可证 ，则 ，同理可得： ，则 ，两边同时除以 ，可得 ． （2）由 ， ， ， ，可得 ， ，证明 ，则 ，同理， ，则 ，两 边同时除以 得， ，进而可得 ；（3）由（1）可知， ， ，则 ，解得， ，则 ，计算求解即可． 【详解】（1）证明：∵ ，∴ ，∴ ．同理可得： ， ∴ ，两边同时除以 ，得 ． （2）证明：∵ ， ， ， ，∴ ， ， ∵ ，∴ ，∴ ，同理， ， ∴ ，∴ ， 两边同时除以 得， ，∴ ； （3）解：由（1）可知， ， ， ∴ ，解得， ，∴ ，解得， ，∴ ． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，等式的性质，平行线的判定．解题的关键在于明确相似三 角形的判定条件． 例4．（2024·江苏泰州·三模）综合与实践 在初中物理学中，凸透镜成像原理与相似三角形有密切的联系．请耐心阅读以下材料： 【光学模型】如图1，通过凸透镜光心 的光线 ，其传播方向不变，经过焦点 的光线 经凸透镜 折射后平行于主光轴 沿 射出，与光线 交于点 ，过点 作主光轴 的垂线段 ，垂足为 ，即可得出物体 所成的像 ． 【模型验证】设焦点 到光心的距离 称为焦距，记为 ；物体 到光心的距离 称为物距，记为 ； 像 到光心的距离 称为像距，记为． 已知 ， ，当 时，求证： ． 证明：∵ ， ，∴ 又∵ ，∴ ， ∴ ，即 ，同理可得 ， ∴ ，即 ① ，∴ ② ， ∴ ，∴ ，即 ． 请结合上述材料，解决以下问题： (1)请补充上述证明过程中①②所缺的内容(用含 的代数式表示)；(2)若该凸透镜 的焦距为20 ，物 体距凸透镜 的距离为30 ，物高为10 ，则物体 所成的像 的高度为__________ ； (3)如图2，由物理学知识知“经过点 且平行于主光轴 的光线 经凸透镜 折射后经过点 ”，小 明在做凸透镜成像实验时，不断改变物距发现光线 始终经过主光轴 上一定点．若该凸透镜 的焦 距为20 ，物高为10 ，试说明这一物理现象． 【答】(1)① ② (2)20(3)见解析 【分析】本题主要考查了相似三角形的应用，理解题意，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题关键． （1）分别证明 ， ，由相似三角形的性质可得 ，整理可得 ，等号两边同时除以 ，即可获得答； （2）结合（1），首先解得 ，结合 ，代入数值求解即可； （3）设 与 交于点 ，证明四边形 为矩形，易得 ，再证明 ，由相似 三角形的性质可得 ，结合（1）可得 ，等号两边同时加1，整理可得 ，结合 可得出 ，即可说明这一物理现象． 【详解】（1）证明：∵ ， ，∴ 又∵ ，∴ ，∴ ，即 ， 同理可得 ，∴ ，即 ，∴ ， ∴ ，∴ ，即 ．故答为：① ；② ； （2）由（1）可知， ， ， 当 ， ， 时，可得 ，解得 ， ∴可有 ，解得 ，即物体 所成的像 的高度为 ．故答为：20； （3）如下图，设 与 交于点 ，根据题意， ， ∵ ，∴ ， ∴四边形 为矩形，∴ ， ∵ ， ，∴ ， ∴ ，即 ，由（1）可知， ，∴ ， ∴ ，∴ ，即 ，∴ ， ∵ ，∴ ， ∴小明在做凸透镜成像实验时，不断改变物距，光线 始终经过主光轴 上一定点，该定点透镜为焦 点． 1．（2024·浙江温州·三模）如图，在 中， 平分 分别交 ， ， 延长线于点 ， ， ，记 与 的面积分别为 ， ，若 ，则 的值是（ ） ． B． ． D． 【答】 【分析】由平行四边形的性质结合角平分线的定义得出 ，推出 ，设 ， ，则 ， ， ，证明 ，得出 ，证 明