专题01 双中点（线段）模型与双角平分线（角）模型（解析版）

专题01 双中点（线段）模型与双角平分线（角）模型 线段与角度是初中几何的入门知识，虽然难度不高，但重要性是不言而喻的。这类模型通常由问题出 发，先由线段（角度）和差确定解题方向，然后辅以线段中点（角平分线）来解决。但是，对于有公共部 分的线段双中点模型和双角平分线模型，可以写出的线段（角度）和差种类较多，这就增加了思考的难度。 模型1 线段的双中点模型 图1 图2 1）双中点模型（两线段无公共部分） 条件：如图1，已知、B、三点共线，D、E 分别为B、B 中点，结论： 2）双中点模型（两线段有公共部分） 条件：如图2，已知、B、三点共线，D、E 分别为B、B 中点，结论： 例1．（2023·广东七年级期中）如图， 是 的中点， 是 的中点，若 ， ，则下列说 法中错误的是（ ） ． B． ． D． 【答】B 【分析】根据 是 的中点， 是 的中点，分别求得 ， ， ，再根据线段的和与差，计算即可判断． 【详解】解：∵ 是 的中点， 是 的中点，且 ， ， ∴ ， ， ， ∴ ，故选项不符合题意； ，故选项B 符合题意； ，故选项不符合题意； ，故选项D 不符合题意；故选：B． 【点睛】本题主要考查了两点间的距离以及中点的定义，利用中点性质转化线段之间的倍分关系，在不同 情况下灵活选用它的不同表示方法，有利于解决问题． 例2．（2022 秋·江苏泰州·七年级校考期末）如图，线段 ，长度为2 的线段 在线段 上运动， 分别取线段 、 的中点 、 ，则 ． 【答】7 【分析】先求解 ，再证明 ， ，再利用线段 的和差可得答． 【详解】解：∵ ， ，∴ ， ∵线段 、 的中点为 、 ，∴ ， ， ∴ ．故答为：． 【点睛】本题考查的是线段中点的含义，线段的和差运算，理解线段的和差运算是解本题的关键． 例3．（2022 秋·湖北咸宁·七年级统考期末）如图，点 是 的中点，点 是 的中点，现给出下列等 式：① ，② ，③ ，④ ．其中正确的等式序号是 ． 【答】①②③ 【分析】根据线段中点的性质，可得 ，再根据线段的和差，可得答． 【详解】解：①点 是 的中点， ， ，故①正确； ②点 是 的中点， ，又 点 是 的中点， ．故②正确； ③点 是 的中点， ． ，故③正确； ④ ，故④错误．故正确的有①②③．故答为：①②③． 【点睛】此题考查的是两点间的距离的计算，掌握线段中点的概念和性质、灵活运用数形结合思想是解题 的关键． 例4．（2022 秋·江苏淮安·七年级统考期末）线段 ， 是 的中点， 是 的中点， 是 的 中点， 是 的中点，依此类推……，线段的 长为 ． 【答】 【分析】先分别求出 、 、 的值，根据求出的结果得出规律，即可得出答． 【详解】解：因为线段 ， 是 的中点，所以 ； 因为 是 的中点，所以 ； 因为 是 的中点，所以 ； ， 所以 ，所以 ，答为： ． 【点睛】本题考查了线段中点的有关计算、求两点之间的距离、数字类规律探究，能根据求出的结果得出 规律是解此题的关键． 例5．（2022 秋·山东青岛·七年级校考期末）直线l 上有三点、B、，其中 ， ，M、分别 是 、 的中点则 的长是 ． 【答】或 【分析】本题没有给出图形，在画图时，应考虑到、B、三点之间的位置关系的多种可能，再根据正确画 出的图形解题． 【详解】解：第一种情况：B 在线段 上，如图， 则 ； 第二种情况：B 在身线 上，在线段 外，如图， 则 ． 答：线段M 的长是 或 ．故答为：1 或7 【点睛】本题考查线段的和差，由于B 的位置有两种情况，所以本题 的值就有两种情况，做这类题时 学生一定要思维细密． 例6．（2023·河南周口·七年级统考期末）如图，点在线段 上，点M 是 的中点，点是 的中点． (1)若 ，求 的长；(2)若 ， ，求 的长；(3)若 ，求 的长． 【答】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据线段中点的定义可得 ，即可求出结果； （2）根据线段中点的定义可得 ， ，即可求出结果； （2）根据线段中点的定义可得 ，即可求出结果． 【详解】（1）解：∵点M 是 的中点，点是 的中点， ， ， ， ， 又 ， ， ． （2）解：∵点M 是 的中点，点是 的中点， ， ， ， ， ， ， ． （3）解：∵点M 是 的中点，点是 的中点， ， ， ， ， 又 ， ， ． 【点睛】本题考查了线段中点的定义和求两点间的距离，熟练掌握计算两点间距离的方法是解题的关键． 例7．（2022 秋·广东广州·七年级统考期末）如图，点 在线段 上， ， ，点 、 分别是 、 的中点． (1)求线段 的长；(2)若点 在线段 的延长线上，且满足 ，其它条件不变，你能猜想 的长度吗？请画出图形，写出你的结论，并说明理由． 【答】(1) (2) ，详见解析 【分析】（1）利用线段的和差，线段的中点的性质计算； （2）先画出图形，再利用线段的和差，线段的中点的性质计算． 【详解】（1）解：点 在线段 上， ， ，点 、 分别是 、 的中点， ， ， ； （2）解：如图所示， 点 在线段 的延长线上，且满足 ， 又 点 、 分别是 、 的中点， ， ， ， 的长度 ． 【点睛】本题考查了两点间的距离，解题的关键是掌握线段的和差，线段中点的性质． 例8．（2022 春·湖南株洲·七年级统考期末）材料阅读：当点 在线段 上，且 时，我们称 为点 在线段 上的点值，记作 ．如点 是 的中点时，则 ，记作 ；反过来，当 时，则有 ．因此，我们可以这样理解： 与 具有相同的含义． 初步感知： (1)如图1，点 在线段 上，若 ，则 __________；若 ，则 ____________； (2)如图2，已知线段 ，点 、 分别从点 和点 同时出发，相向而行，运动速度均为 ， 当点 到达点 时，点 、 同时停止运动，设运动时间为 ，请用含有的式子表示 和 ，并判 断它们的数量关系． 拓展运用：(3)已知线段 ，点 、 分别从点 和点 同时出发，相向而行，若点 、 的运动 速度分别为 和 ，点 到达点 后立即以原速返回，点 到达点 时，点 、 同时停止运动， 设运动时间为 ．则当为何值时，等式 成立． 【答】(1) ， (2) ， ， (3)存在 和 使等式 成立 【分析】（1）根据定义直接得出结果即可求解； （2）根据题意，得出 ， ，相加即可求解； （3）分在点 到达点 之前，在点 到达点 返回之后，两种情况分类讨论即可求解． 【详解】（1）根据定义可得：∵ ，则 ； ∵ ，∴ ,则 ；故答为：． ， ； （2）∵ ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ （3）①在点 到达点 之前 ∵ ∴ ∵ ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ ②在点 到达点 返回之后 ∵ ∴ ∵ ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ ∴存在 和 使等式 成立． 【点睛】本题考查了几何新定义，线段的和差，理解新定义，数形结合是解题的关键． 例9．（2022·贵州铜仁·七年级期末）如图1，已知点在线段B 上，线段＝10 厘米，B＝6 厘米，点M，分 别是，B 的中点．（1）求线段M 的长度．（2）根据第（1）题的计算过程和结果，设＝，B＝b，其他条 件不变，求M 的长度．（3）动点P、Q 分别从、B 同时出发，点P 以2m/s 的速度沿B 向右运动，终点为 B，点Q 以1m/s 的速度沿B 向左运动，终点为，当一个点到达终点，另一个点也随之停止运动．设点P 的 运动时间为t（s）．当、P、Q 三点中，有一点恰好是以另外两点为端点的线段的中点时，直接写出时间 t． 【答】（1）M=8 厘米；（2）M= + b；（3）所求时间t 为4 或 或 ． 【分析】（1）（2）根据线段中点的定义、线段的和差，可得答； （3）当、P、Q 三点中，有一点恰好是以另外两点为端点的线段的中点时，可分四种情况进行讨论：①当 0＜t≤5 时，是线段PQ 的中点；②当5＜t≤ 时，P 为线段Q 的中点；③当 ＜t≤6 时，Q 为线段P 的中点； ④当6＜t≤8 时，为线段PQ 的中点．根据线段中点的定义，可得方程，进而求解． 【详解】解：（1）∵线段=10 厘米，B=6 厘米，点M，分别是，B 的中点， ∴M= =5 厘米，= B=3 厘米，∴M=M+=8 厘米； （2）∵=，B=b，点M，分别是，B 的中点， ∴M= = ，= B= b，∴M=M+= + b； （3）①当点P 在线段上，即0＜t≤5 时， 是线段PQ 的中点，得10-2t=6-t，解得t=4； ②当点P 在线段B 上，即5＜t≤ 时，P 为线段Q 的中点，2t-10=16-3t，解得t= ； ③当点Q 在线段B 上，即 ＜t≤6 时，Q 为线段P 的中点，6-t=3t-16，解得t= ； ④当点Q 在线段上，即6＜t≤8 时，为线段PQ 的中点，2t-10=t-6，解得t=4（舍）， 综上所述：所求时间t 为4 或 或 ． 【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，两点间的距离，利用线段中点的定义得出关于t 的方程是解题 关键，要分类讨论，以防遗漏． 模型2 双角平分线模型 图1 图2 图3 1）双角平分线模型（两个角无公共部分） 条件：如图1，已知：D、E 分别平分∠B、∠B； 结论： 2）双角平分线模型（两个角有公共部分） 条件：如图1，已知：D、E 分别平分∠B、∠B； 结论： 3）拓展模型：双角平分线模型（三个角围成一个周角） 条件：如图3，已知∠B+∠B+∠=360°，P1平分∠、P2平分∠B； 结论： 例3．（2022 秋·陕西西安·七年级校考期末）如图， 是 内部的一条射线， 、 分别是 、 的角平分线．若 ， ，则 的度数为（ ） ． B． ． D． 【答】 【分析】根据 、 分别是 、 的角平分线，可得 ， ，根据 ，可得 ，再结合 ，可得 ，问题随之得解． 【详解】∵ 、 分别是 、 的角平分线， ∴ ， ， ∵ ，∴ ，即 ， ∵ ， ，∴ ， ∵ ，∴ ，∴ ，故选：． 【点睛】本题主要考查了有关角平分线的计算，明确题意，厘清图中各角度之间的数量关系是解答本题的 关键． 例4．（2023 秋·福建福州·七年级统考期末）如图，已知射线 在 内部， 平分 平分 平分 ，以下四个结论：① ；② ；③ ；④ ．其中正确的结论有 （填序号）． 【答】①②④ 【分析】①根据 平分 ， 平分 ， 平分 ，得出 ， ， ，求出 ，即可得出结论；②根据 角度之间的关系得出 ，得出 ，即可得 出结论；③无法证明 ；④根据 ，得出 ， ，即可得出结论． 【详解】解：①∵ 平分 ， 平分 ， 平分 ， ∴ ， ， ， ， ， 即 ，故①正确； ②∵ ， ， ∴ ，故②正确；③ 与 不一定相等，故③错误； ④根据解析②可知， ，∴ ， ∵ ，∴ ，故④正确； 综上分析可知，正确的有①②④．故答为：①②④． 【点睛】本题考查角平分线的有关计算，根据角度之间的关系得出 是解题的关 键． 例5．（2023·河南·七年级校联考期末）如图， 分别是 和 的平分线， 分别是 和 的平分线， 分别是 和 的平分线，…， 分别是 和 的平分线，则 的度数是 ． 【答】 【分析】由角平分线性质推理得 ， ， ，据此规律可解答． 【详解】解： ， 、 分别是 和 的平分线， ， ， 、 分别是 和 的平分线， ， ， 、 分别是 和 的平分线， ， ，…， 由此规律得： ．故答为： ． 【点睛】本题考查角平分线的性质、图形规律等知识，是基础考点，掌握相关知识是解题关键． 例6．（2022 秋·山西太原·七年级统考期末）图，∠=∠BD=90°，B 在∠的内部，在∠BD 的内部，E 是∠B 的 一条三等分线．请从，B 两题中任选一题作答． ．当∠B＝30°时，∠ED 的度数为 ． B．当∠B＝α°时，∠ED 的度数为 （用含α 的代数式表示）． 【答】 110°或130° 或 【分析】、根据角的和差得到∠B=90°-30°=60°，根据E 是∠B 的一条三等分线，分类讨论，当∠E= ∠B=20°，②当∠BE = ′ ∠B=20°，根据角的和差即可得到结论； B、根据角的和差得到∠B，根据E 是∠B 的一条三等分线，分类讨论，当∠E= ∠B，②当∠BE = ′ ∠B，根 据角的和差即可得到结论． 【详解】解：、如图， =90° ∵∠ ，∠B=30°，∴∠B=90°-30°=60°， ∵E 是∠B 的一条三等分线， ① ∴ 当∠E= ∠B=20°，∴∠BE=40°， ∵∠BD=90°，∴∠ED=∠BD+∠BE=130°， ②当∠BE = ′ ∠B=20°，∴∠DE =90°+20°=110° ′ ， 综上所述，∠ED 的度数为130°或110°，故答为：130°或110°； B、∵∠=90°，∠B=α°，∴∠B=90°-α°， ∵E 是∠B 的一条三等分线， ① ∴ 当∠E= ∠B=30°- α°，∴∠BE=90°-α-（30- α）°=60°- α°， ∵∠BD=90°，∴∠ED=∠BD+∠BE=150°- α°， ②当∠BE = ′ ∠B=30°- α°，∴∠DE =90°+30°- ′ α°=120°- α°， 综上所述，∠ED 的度数为150°- α°或120°- α°，故答为：150°- α°或120°- α°； 【点睛】本题考查了余角和补角的定义，角的倍分，熟练掌握余角和补角的性质是解题的关键． 例7．（2023 秋·江苏无锡·七年级校考期末）解答题：(1)如图，若 ， ， 、 分别平分 、 ，求 的度数； (2)若 ， 是平面内两个角， ， ， 、 分别平分 、 ，求 的度数．（用含 、 的代数式表示） 【答】(1) (2)所以当射线 在 的内部时， ；当射线 在 的外部时， ． 【分析】（1）根据角平分线定义求出 和 度数，即可得出答；（2）由于无法确定射线 的 位置，所以需要分类讨论：若射线 在 的内部时，根据角平分线定义得出 ， ，求出 ；若射线 在 的外部时，根据角平分线定义得 出 ， ，求出 ，代入求出即可． 【详解】（1）∵ ， 平分 ，∴ ∵ 分别平分 ， ．∴ ∴ ． （2）若射线 在 的内部，如图2 ∵ ， ， 、 分别平分 、 ． ∴ ∴ ． 所以当射线 在 的内部时， ． 若射线 在 外部时，如图3 ∵ ， ， 、 分别平分 、 ． ∴ ∴ ． 所以当射线 在 的外部时， ． 【点睛】本题考查的是角平分线的定义和角的有关计算，利用角平分线的定义求解角的度数是解题的关键． 例8．（2022 秋·河南商丘·七年级统考期末）综合与探究：如图1，在 的内部画射线 ，射线 把 分成两个角，分别为 和 ，若这两个角中有一个角是另外一个角的2 倍，则称射线 为 的“3 等分线”． (1)若 ，射线 为 的“3 等分线”，则 的度数为__________． (2)如图2，已知 ，过点在 外部作射线 ．若 三条射线中，一条射线恰好是 以另外两条射线为角的“3 等分线”，求 的度数（ ）． 【答】(1) 或 (2) 或 或 或 【分析】（1）根据“3 等分线”的定义分 和 两种情况求解即可； （2）分 为 的“3 等分线”和 为 的“3 等分线”两种情况求解即可． 【详解】（1）根据“3 等分线”的定义可得， 或 ∵ ∴ 或 故答为： 或 （2）①当在 的内部时，如图， 根据“3 等分线”的定义可得， 或 ②当B 在 的内部时，如图， 根据“3 等分线”的定义可得， 或 此时， 或 综上， 的度数为 或 或 或 ． 【点睛】本题主要考查了角的和差倍分，熟练掌握“3 等分线”的定义是解答本题的关键． 例9．（2022·四川·成都市七年级期末）如图所示：点 是直线 上一点，∠ 是直角， 平分∠ ． （1）如图1，若∠ =40°，求∠ 的度数； （2）如图1，若∠ = ，直接写出∠ 的度数（用含 的代数式表示）； （3）保持题目条件不变，将图1 中的∠ 按顺时针方向旋转至图2 所示的位置，探究∠ 和∠ 的 度数之间的关系，写出你的结论，并说明理由． 【答】（1）20°；（2） ；（3） ，理由见解析 【分析】（1）首先求得∠BP，∠BPD 的度数，然后根据角平分线的定义求得∠BPE 的度数，再根据 即可求解； （2）解法与（1）相同，把（1）中的40°改成α 即可； （3）把∠P 的度数作为已知量，求得∠BP 的度数，然后根据角的平分线的定义求得∠BPE 的度数，再根据 即可解决． 【详解】（1）∵ ， ， ∴ ， ， 又∵ 平分 ，∴ ， ∴ ． （2）∵ ， ， ∴ ， ， 又∵ 平分 ，∴ ， ∴ ． （3）结论： ．理由如下：设 ，则 ， ∵ ，∴ ， 又∵ 平分 ，∴ ， ∴ ，∴ ． 【点睛】本题考查了角度的计算，正确理解角平分线的定义，理解角度之间的和差关系是关键． 课后专项训练 1．（2023 秋·福建泉州·七年级统考期末）在直线上任取一点，截取 ，再截取 ，则 的中点 与 的中点 之间的距离为（ ） ． B． ． 或 D． 或 【答】 【分析】分两种情况B， 在点同侧时，B， 在点两侧时，分别画出图形，求出结果即可． 【详解】解：①B， 在点同侧时，如图所示： 是 的中点， 是 的中点， ， ， ． ②B， 在点两侧时，如图， 是 的中点， 是 的中点， ， ， ． 综上： 与 之间距离为 或 ，故正确．故选：． 【点睛】本题主要考查了线段中点的计算，解题的关键是分类讨论，画出图形，数形结合． 2．（2023 秋·海南·七年级统考期末）已知线段 ，点 是直线 上一点， ，若 是 的中点， 是 的中点，则线段 的长度是（ ） ． B． ． 或 D． 或 【答】 【分析】分点 在点 右侧与点 在点 左侧两种情况画出图形求解． 【详解】解：当点 在点 右侧时，如图所示． ， ， ． 是 中点， 是 的中点， ， ， ； 当点 在点 左侧时，如图 所示． ， ， ． 是 中点， 是 的中点， ， ， ． 综上所述：线段M 的长度为5 m．故选：B． 【点睛】本题考查了线段和差，线段的中点等知识，分点 在点 右侧与点 在点 左侧两种情况考虑是 解题的关键． 3．（2023 秋·江西上饶·七年级统考期末）如图，、D 是线段 上两点，M、分别是线