专题24 相似模型之（双）A字型与（双）8字型模型解读与提分精练（全国通用）（原卷版）

专题24 相似模型之（双）字型与（双）8 字型模型 相似三角形是几何中重要的证明模型之一，是全等三角形的推广，分析图形间的关系离不开数量的计 算。相似和勾股是产生等式的主要依据（其他依据还有面积法，三角函数等），因此要掌握相似三角形的 基本图形，体会其各种演变和联系。相似三角形是初中几何中的重要的内容，常常与其它知识点结合以综 合题的形式呈现，其变化很多，是中考的常考题型。本专题重点讲解相似三角形的（双）字模型和（双） 8（X）字模型． .................................................................................................................................................1 模型1“”字模型................................................................................................................................................1 模型2“X”字模型（“8”字模型）.................................................................................................................4 模型3“X”字模型（“8”字模型）.................................................................................................................6 ...............................................................................................................................................10 【知识储备】字型和8（X）字型的应用难点在于过分割点（将线段分割的点）作平行线构造模型，有的是 直接作平行线，有的是间接作平行线（倍长中线就可以理解为一种间接作平行线），这一点在模考中无论 小题还是大题都是屡见不鲜的。 模型1“”字模型 “”字模型图形（通常只有一个公共顶点）的两个三角形有一个“公共角”（是对应角），再有一个角相等 或夹这个公共角的两边对应成比例，就可以判定这两个三角形相似。 ①“”字模型 ②反“”字模型 ③同向双“”字模型 ④内接矩形模型 图1 图2 图3 图4 ①“”字模型 条件：如图1，DE∥B；结论：△DE∽△B⇔＝＝。 证明:∵DE∥B，∴∠DE=∠B，∠ED=∠B，∴△DE∽△B，∴＝＝。 ②反“”字模型 条件：如图2，∠ED＝∠B；结论：△DE∽△B⇔＝＝。 证明:∵∠ED＝∠B，∴∠=∠，（公共角） ∴△DE∽△B，∴＝＝。 ③同向双“”字模型 条件：如图3，EF∥B； 结论：△EF∽△B，△EG∽△BD，△GF∽△D⇔ 。 证明:∵EF∥B，∴∠EF=∠B，∠FE=∠B，∴△EF∽△B， 同理可证：△EG∽△BD，△GF∽△D，∴＝＝。 ④内接矩形模型 条件：如图4，△B 的内接矩形DEFG 的边EF 在B 边上，D、G 分别在B、边上，且 M⊥B；结论：△DG∽△B，△D∽△BM，△G∽△M⇔ 。 证明:∵DEFG 是矩形 ∴DG∥EF，∴∠DG=∠B，∠GD=∠B，∴△DG∽△B， 同理可证：△D∽△BM，△G∽△M，∴ 。 例1．（2024·吉林长春·三模）如图，在 中，点 、 为边 的三等分点，点 、 在边 上， ， 交 于点 ．若 ，则 的长为 ． 例2．（2023·广东广州·模拟预测）如图，正方形 内接于 ，点 ， 在 上，点 ， 分 别在 和 边上，且 边上的高 ， ，则正方形 的面积为 ． 例3．（2024·湖南永州·模拟预测）如图： 中， ， ， ，把边长分别为 ， ， ，… 的个正方形依次放在 中；第一个正方形 的顶点分别放在 的各边上； 第二个正方形 的顶点分别放在 的各边上，其他正方形依次放入，则第2024 个正方形的 边长 为 ． 例4．（2024·山东·中考真题）如图，点 为 的对角线 上一点， ， ，连接 并 延长至点 ，使得 ，连接 ，则 为（ ） ． B．3 ． D．4 例5．（23-24 九年级上·广西南宁·阶段练习）如图， ，垂足为 ， ，垂足为 ， 与 相交于点 ，(1) 判断 与 是相似三角形吗？请说明理由；(2) 连接 ，求证： ； (3)若 ， ， ，求 的长． 模型2“X”字模型（“8”字模型） “8”字模型图形的两个三角形有“对顶角”，再有一个角相等或夹对顶角的两边对应成比例就可以判定这两 个三角形相似． ①“8”字模型 ②反“8”字模型 ③平行双“8”字模型 ④斜双“8”字模型 图1 图2 图3 图4 ①“8”字模型 条件：如图1，B∥D；结论：△B∽△D⇔＝＝。 证明:∵B∥D，∴∠=∠，∠B=∠D，∴△B∽△D，∴＝＝。 ②反“8”字模型 条件：如图2，∠＝∠D；结论：△B∽△D⇔＝＝。 证明:∵∠＝∠D，∴∠B=∠D，（对顶角） ∴△B∽△D，∴＝＝。 ③平行双“8”字模型 条件：如图3，B∥D；结论： 。 证明:∵B∥D，∴∠=∠D，∠E=∠DF，∴△E∽△DF， 同理可证：△BE∽△F，△B∽△D，∴ 。 ④斜双“8”字模型 条件：如图4，∠1＝∠2；结论：△D∽△B，△B∽△D⇔∠3＝∠4。 证明:∵∠1＝∠2，∠D=∠B（对顶角）， ∴△D∽△B，∴:B=D:，即:D=B:； ∵∠B=∠D（对顶角），∴△B∽△D，∴∠3＝∠4。 例1．（2024·吉林·中考真题）如图，正方形 的对角线 相交于点，点E 是 的中点，点F 是 上一点．连接 ．若 ，则 的值为 ． 例2（23-24 九年级上·浙江杭州·期中）如图， 与 交于点， 过点，交 于点E，交 于点 ， ．（1）求证： ．（2）若 ，求 ． 例3．（2024·四川眉山·中考真题）如图，菱形 的边长为6， ，过点 作 ，交 的延长线于点 ，连结 分别交 ， 于点 ， ，则 的长为 ． 例4．（23-24 九年级上·安徽蚌埠·期中）阅读材料：三角形的三条中线必交于一点，这个交点称为三角形 的重心．(1)特例感知：如图一，已知边长为3 的等边 的重心为点，求 与 的面积； (2)性质探究：如图二，已知 的重心为点，请判断 、 是否都为定值？如果是，分别求出 这两个定值；如果不是，请说明理由； (3)性质应用：如图三，在正方形BD 中，点E 是D 的中点，连接BE 交对角线于点M． 若正方形BD 的边长为4，求EM 的长度； 若 ，求正方形BD 的面积 模型3“X”字模型（“8”字模型） ①一“”+“8”模型 ②两“”+“8”模型（反向双“”字模型） ③四“”+“8”模型 图1 图2 图3 ①一“”+“8”模型 条件：如图1，DE∥B； 结论：△DE∽△B，△DEF∽△BF，⇔ 。 证明:∵DE∥B，∴∠DE=∠B，∠ED=∠B，∴△DE∽△B，∴＝＝。 ∵DE∥B，∴∠FDE=∠FB，∠DEF=∠BF，∴△DEF∽△BF，∴ 。 ∴ 。 ②两“”+“8”模型 条件：如图2，DE∥F∥B； 结论：△DF∽△DB，△F∽△ED，⇔ 。 证明:∵F∥B，∴∠DF=∠B，∠DF=∠DB，∴△DF∽△DB，∴ 。 ∵DE∥F，∴∠F=∠E，∠F=∠DE，∴△F∽△ED，∴ 。 两式相加得到： ，即 ，故 。 ③四“”+“8”模型3 条件：如图3，DE∥GF∥B；结论：F=G， 。 证明:同②中的证法，易证： ， ， ∴ ，即F=G，故 。 例1．（2022·山东东营·中考真题）如图，点D 为 边 上任一点， 交 于点E，连接 相交于点F，则下列等式中不成立的是（ ） ． B． ． D． 例2．（2023·安徽·三模）如图，已知 、 ， 与 相交于点 ，作 于点 ，点 是 的中点， 于点 ，交 于点 ，若 ， ，则 值为（ ） ． B． ． D． 例3．（2024·湖北·模拟预测）（1）【问题背景】如图1， ， 与 相交于点E，点F 在 上．求证： ； 小雅同学的想法是将结论转化为 来证明，请你按照小雅的思路完成原题的证明过程． （2）【类比探究】如图2， ， ， ， 与 相交于点G，点在 上， ．求证： ． （3）【拓展运用】如图3，在 四边形 中， ，连接， 交于点M，过点M 作 ， 交 于点E，交 于点F，连接 交于点，过点作 ，交 于点G，交 于点，若 ， ，直接写出 的长． 例4．（2024·江苏泰州·三模）综合与实践 在初中物理学中，凸透镜成像原理与相似三角形有密切的联系．请耐心阅读以下材料： 【光学模型】如图1，通过凸透镜光心 的光线 ，其传播方向不变，经过焦点 的光线 经凸透镜 折射后平行于主光轴 沿 射出，与光线 交于点 ，过点 作主光轴 的垂线段 ，垂足为 ，即可得出物体 所成的像 ． 【模型验证】设焦点 到光心的距离 称为焦距，记为 ；物体 到光心的距离 称为物距，记为 ； 像 到光心的距离 称为像距，记为． 已知 ， ，当 时，求证： ． 证明：∵ ， ，∴ 又∵ ，∴ ， ∴ ，即 ，同理可得 ， ∴ ，即 ① ，∴ ② ， ∴ ，∴ ，即 ． 请结合上述材料，解决以下问题： (1)请补充上述证明过程中①②所缺的内容(用含 的代数式表示)；(2)若该凸透镜 的焦距为20 ，物 体距凸透镜 的距离为30 ，物高为10 ，则物体 所成的像 的高度为__________ ； (3)如图2，由物理学知识知“经过点 且平行于主光轴 的光线 经凸透镜 折射后经过点 ”，小 明在做凸透镜成像实验时，不断改变物距发现光线 始终经过主光轴 上一定点．若该凸透镜 的焦 距为20 ，物高为10 ，试说明这一物理现象． 1．（2024·浙江温州·三模）如图，在 中， 平分 分别交 ， ， 延长线于点 ， ， ，记 与 的面积分别为 ， ，若 ，则 的值是（ ） ． B． ． D． 2．（2024·安徽合肥·三模）如图，已知四边形 是平行四边形，点 是AD的中点，连接 ， 相 交于点 ，过 作AD的平行线交AB于点 ，若 ，则 的值是（ ） ．6 B．5 ．8 D．4 3．（2024·四川成都·中考真题）如图，在 中，按以下步骤作图：①以点 为圆心，以适当长为半 径作弧，分别交 ， 于点 ， ；②分别以 ， 为圆心，以大于 的长为半径作弧，两弧在 内交于点 ；③作射线 ，交 于点 ，交 延长线于点 ．若 ， ，下列结论 错误的是（ ） ． B． ． D． 4．（2024 九年级下·广东·专题练习）如图，在 中， ，高 ，正方形 一边在 上，点E，F 分别在 ， 上， 交 于点，则 的长为（ ） ．15 B．20 ．25 D．30 5．（2024·云南楚雄·模拟预测）如图，在 中，E 线段 上一点，且 ，过点作 ，交 的延长线于点D．若 的面积为 ，则 的面积为（ ） ． B． ． D． 6．（2024·浙江·模拟预测）如图，矩形 中， 是 上的点，连接 交对角线 于点 ，若 ， ，则 的值为（ ） ． B． ．2 D．1．5 7．（2024·河南·中考真题）如图，在 中，对角线 ， 相交于点，点E 为 的中点， 交 于点F．若 ，则 的长为（ ） ． B．1 ． D．2 8．（2024·山东威海·中考真题）如图，在 中，对角线 ， 交于点 ，点 在 上，点 在 上，连接 ， ， ， 交 于点 ．下列结论错误的是（ ） ．若 ，则 B．若 ， ， ，则 ．若 ， ，则 D．若 ， ，则 9．（2024·陕西西安·一模）如图，在 中，D，M 是边 的三等分点，，E 是边 的三等分点．连 接 并延长与 的延长线相交于点P．若 ，则线段 的长为（ ） ．5 B．7 ．6 D．8 10．（2024·江苏南京·一模）如图， ， 分别垂直 ，垂足分别为 ， ，连接 ， 交于点 ， 作 ，垂足为 ．设 ， ， ，若 ，则下列等式：① ；② ；③ ，其中一定成立的是（ ） ．①② B．①③ ．②③ D．①②③ 11．（2024·陕西·中考真题）如图，正方形 的顶点G 在正方形 的边 上， 与 交于点， 若 ， ，则 的长为（ ） ．2 B．3 ． D． 12．（2024·江苏苏州·中考真题）如图， ， ， ， ，点D，E 分别在 边上， ，连接 ，将 沿 翻折，得到 ，连接 ， ．若 的 面积是 面积的2 倍，则 ． 13．（2024·云南·中考真题）如图， 与 交于点 ，且 ．若 ，则 ． 14．（2024·四川宜宾·中考真题）如图，在平行四边形 中， ，E、F 分别是边 上的动点，且 ．当 的值最小时，则 ． 15．（23-24 九年级上·河南驻马店·期中）如图， ，点 在 上， 与 交于点 ， 若 ，则 ． 16．（2023·吉林长春·统考三模）【阅读理解】构造“平行八字型”全等三角形模型是证明线段相等的一 种方法，我们常用这种方法证明线段的中点问题．例如：如图， 是 边 上一点， 是 的中点， 过点 作 ，交 的延长线于点 ，则易证 是线段 的中点． 【经验运用】请运用上述阅读材料中所积累的经验和方法解决下列问题． （1）如图1，在正方形 中，点 在 上，点 在 的延长线上，且满足 ，连接 交 于点 ．求证：① 是 的中点；②G 与BE 之间的数量关系是：____________________________； 【拓展延伸】（2）如图2，在矩形 中， ，点 在 上，点 在 的延长线上，且满足 ，连接 交 于点 ．探究 和 之间的数量关系是：____________________________； 17．（2024·辽宁大连·二模）【问题初探】（1）在数学活动课上，李老师给出如下问题： 如图1，在 中，点 是 的中点，点 是 的一个三等分点，且 ，连接 ， 交于 点 ，求证： ． ①如图2，小鹏同学利用“三角形中位线的性质”的解题经验，取 的中点 ，连接 ，再通过“全等 三角形的性质”解决问题；②如图3，小亮同学利用“三角形相似的性质”的解题经验，过点 作 ，交 的延长线于点 ，再通过“全等三角形的性质”解决问题． 请你选择一名同学的解题思路，写出证明过程． 【类比分析】（2）李老师发现之前两名同学都运用了数学的转化思想，将证明三角形线段的关系转化为 我们熟悉的角度去理解．为了帮助同学们更好地感悟转化思想，李老师又提出了一个问题，请你解答：如 图4，在 中，点 是 的中点，点 ， 是 的三等分点， ， 与 分别交于点 ， ， 求 的值． 【学以致用】（3）如图5，在 中， ，在射线 上取点 ，使 ，连接 ，在 上取点 ，射线 ， 相交于点 ，当 时，求 的值． 18．（2023·湖北随州·模拟预测）[初步尝试]（1）如图①，在三角形纸片 中， ，将 折叠，使点B 与点重合，折痕为 ，则 与 的数量关系为________； [思考说理]（2）如图②，在三角形纸片 中， ，将 折叠，使点B 与点重合， 折痕为 ，求 的值； [拓展延伸]（3）如图③，在三角形纸片 中， ，将 沿过顶点的直 线折叠，使点B 落在边 上的点 处，折痕为 ．①求线段 的长；②若点是边 的中点，点P 为 线段 上的一个动点，将 沿 折叠得到 点的对应点为点 与 交于点F，求 的取值范围． 19．（2024·江苏泰州·二模）图算法是根据几何原理，将某一已知函数关系式中的各变量，分别编成有刻 度的直线（或曲线），并把它们按一定的规律排列在一起的一种图形，可以用来解函数式中的未知量，这 样的图形叫诺模图．设有两只电阻， 千欧， 千欧，问并联后的总电阻值R 是多少千欧？ 我们可以利用公式求得R 的值，也可以设计一种图算法（如图1）直接得出结果：我们先来画出一个 的角，再画一条角平分线，在角的两边及角平分线上用同样的单位长度进行刻度，这样就制好了一张算图． 我们只要把角的两边刻着6 和4 的两点连成一条直线，这条直线与角平分线的交点的刻度值就是并联后的 总电阻值R． (1)① 千欧， 千欧，计算 千欧；②如图1，已知 ， 是 的角平分 线， ， ， ．用你所学的几何知识说明： ； (2)如图2，已知 ， 是 的角平分线， ， ， ．此时关系式可以 写成 ，其中 的常数，求m 的值； (3)如图3，若 ，（2）中其余条件不变，请探索 ， ，R 之间的关系．（用含 的代数式表 示） 20．（2024·湖北武汉·中考真题）问题背景：如图（1），在矩形 中，点 ， 分别是 ， 的 中点，连接 ， ，求证： ． 问题探究：如图（2），在四边形 中， ， ，点 是 的中点，点 在边 上， ， 与 交于点 ，求证： ． 问题拓展：如图（3），在“问题探究”的条件下，连接 ， ， ，直接写出 的值．