专题03 数轴上动点问题综合的三种考法（原卷版）

专题03 数轴上动点问题综合的三种考法 【知识点精讲】 1 数轴上两点间的距离 数轴上、B 两点表示的数为分别为、b，则与B 间的距离B=|－b|； 2 数轴上点移动规律 数轴上点向右移动则数变大（增加），向左移动数变小（减小）； 当数表示的点向右移动b 个单位长度后到达点表示的数为+b；向左移动b 个单位长度后 到达点表示的数为－b 类型一、求运动的时间 例． 在数轴上标出数 所对应的点 ； 两点间距离=____； 两点间距离=； 数轴上有两点 ，点 对应的数为 ，点 对应的数为 ，那么 两点之间 的距离=； 若动点 分别从点 同时出发，沿数轴负方向运动；已知点 的速度是每秒个单 位长度，点 的速度是每秒 个单位长度，设运动时间为，问： ①为何值时 两点重合？ ②为何值时 两点之间的距离为？ 例2．小颖在一张纸上画一条数轴，并在数轴上标出 、 、 三个点，点 表示的数是 ，点 在原点的右边且与点 相距 个单位长度． （）点 表示的数是__________． （ ）将这张纸对折，此时点 与表示 的点刚好重合，折痕与数轴交于点 ，求点 表 示的数． （）若点 到点 和点 的距离之和为 ，求点 所表示的数． （ ）点 和点 同时从初始位置沿数轴向左运动，它们的速度分别是每秒个单位长度和 每秒 个单位长度，运动时间是秒．是否存在的值，使秒后点 到原点的距离与点 到 原点的距离相等？若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由． 【变式训练1】定义：若线段 上有一点 ，当 时，则称点 为线段 的中点 已知数轴上 ， 两点对应数分别为 和 ， ， 为数轴上一动点，对 应数为 （1）若点 为线段 的中点，则 点对应的数 为______若 为线段 的中点时则 点 对应的数 为______ （2）若点 、点 同时向左运动，它们的速度都为1 个单位长度/秒，与此同时点 从-16 处以2 个单位长度/秒向右运动 ①设运动的时间为秒，直接用含的式子填空 ______； ______ ②经过多长时间后，点 、点 、点 三点中其中一点是另外两点的中点？ 【变式训练2】已知 是多项式 的常数项， 是项数 （1） ； ； （2）在数轴上，点 、 分别对应实数 和 ，点 到点 和点 的距离分别为 和 ，且 ，试求点 对应的实数 （3）动点M 从点出发，以每秒1 个单位长度的速度沿数轴向右运动；动点从B 点以每秒3 个单位长度的速度向左匀速运动，到达点后，立即改变方向往右运动到达B 点后停止运动； 若M、同时出发，在此过程中，经过多少秒时点为MB 或M 的中点 【变式训练3】已知、b 为常数，且关于x、y 的多项式（﹣20x2+x﹣y+12）﹣（bx2+12x+6y 3 ﹣）的值与字母x 取值无关，其中、b 分别为点、点B 在数轴上表示的数，如图所示．动 点E、F 分别从、B 同时开始运动，点E 以每秒6 个单位向左运动，点F 以每秒2 个单位向 右运动，设运动时间为t 秒． （1）求、b 的值； （2）请用含t 的代数式表示点E 在数轴上对应的数为： ，点F 在数轴上对应的数为： ． （3）当E、F 相遇后，点E 继续保持向左运动，点F 在原地停留4 秒后向左运动且速度变 为原来的5 倍．在整个运动过程中，当E、F 之间的距离为2 个单位时，求运动时间t 的值 （不必写过程）． 类型二、定值问题 例1．如图，在数轴上点表示数－3，B 点表示数b，点表示数，且b 满足 （1）b= ，= ． （2）若使．B 两点的距离是．B 两点的距离的2 倍，则需将点向左移动 个单位长度． （3）点．B．开始在数轴上运动，若点以每秒m 个单位长度的速度向左运动，同时，点B 和点分别以每秒2 个单位长度和5 个单位长度的速度向右运动，设运动时间为t 秒； ①点．B．表示的数分别是 （用含mt 的代数式表示）； ②若点B 与点之间的距离表示为d1，点与点B 之间的距离表示为d2，当m 为何值时，2d1 －d2的值不会随着时间t 的变化而改变，并求出此时2d1－d2的值． 例2．如图，在数轴上 点表示的数是-8， 点表示的数是2 动线段 （点 在点 的右侧），从点 与点 重合的位置出发，以每秒2 个单位的速度向右运动，运动时间为 秒 （1）①已知点 表示的数是-6，求点 表示的数；②用含有的代数式表示点 表示的数； （2）当 时，求的值 （3）试问当线段 在什么位置时， 或 的值始终保持不变？请求出它的 值并说明此时线段 的位置 【变式训练1】如图：在数轴上 点表示数 点示数 点表示数 是最大的负整数， 在 左边两个单位长度处， 在 右边个单位处 ； _； _； 若将数轴折叠，使得 点与 点重合，则点 与数_ __表示的点重合； 点 开始在数轴上运动，若点 以每秒 个单位长度的速度向左运动，同时， 点 和点 分别以每秒个单位长度和个单位长度的速度向右运动，假设秒钟过后，若 点 与点 之间的距离表示为 点 与点 之间的距离表示为 点 与点 之间的距 离表示为 ，则 _ _， _ _， __ _；（用含的代数式表示） 请问: 的值是否随着时间的变化而改变﹖若变化，请说明理由；若不变，请 求其值． 【变式训练2】如图，记数轴上、B 两点之间线段长为 ， （单位长度）， （单位长度），在数轴上，点在数轴上表示的数是 ，点D 在数轴上表示的数是15． (1)点B 在数轴上表示的数是_____，点在数轴上表示的数是_____，线段B 的长＝_____． (2)若线段 以1 个单位长度/秒的速度向右匀速运动，同时线段 以2 个单位长度/秒的 速度向左匀速运动，当点B 与重合时，点B 与点在数轴上表示的数是多少？ (3)若线段 以1 个单位长度/秒的速度向左匀速运动，同时线段 以2 个单位长度/秒的 速度也向左匀速运动，设运动时间为t 秒，当 时，M 为 中点，为 中点． ①若数轴上两个数为、b，则它们的中点可表示为 ．则点M 表示的数为_____，点表 示的数为______．（用代数式表示） ②线段M 的长是否为定值，如果是，请求出这个值；如果不是，请说明理由． 类型三、点的位置 例．如图所示，在数轴上有 三点，点 从数轴上表示4 的点开始往左运动，速度为 1 个单位/ ，运动时间为 ． （1）当 时，线段 _________；线段 ___________； （2）当 时， _________； （3）当为何值时， 的值最小？ （4）当点 运动到何处时， 最小？ 【变式训练1】已知在纸面上有一数轴（如图所示）． (1)操作一：折叠纸面，使表示数1 的点与表示数﹣1 的点重合，则此时表示数4 的点与表 示数 的点重合； (2)操作二：折叠纸面，使表示数6 的点与表示数﹣2 的点重合，回答下列问题： ①表示数9 的点与表示数 的点重合； ②若这样折叠后，数轴上的，B 两点也重合，且，B 两点之间的距离为10（点在点B 的左 侧），求，B 两点所表示的数分别是多少？ ③在②的条件下，在数轴上找到一点P，设点P 表示的数为x．当P+PB＝12 时，直接写 出x 的值． 【变式训练2】已知，B 两点在数轴上分别表示有理数，b，，B 两点之间的距离表示为 B，在数轴上，B 两点之间的距离 ．已知数轴上，B 两点对应的数分别为－1， 3，P 为数轴上一动点． (1)若点P 到，B 两点之间的距离相等，则点P 对应的数为______． (2)若点P 到，B 两点的距离之和为6，则点P 对应的数为______． (3)现在点以2 个单位长度/秒的速度运动，同时点B 以05 个单位长度/秒的速度运动，和B 的运动方向不限，当点与点B 之间的距离为3 个单位长度时，求点B 所对应的数是多少？ 课后训练 1．如图，数轴上有， B 两点，分别表示的数为 ， ，且 ．点P 从点 出发以每秒13 个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，当它到达B 点后立即以相同的速度 返回往点运动，并持续在，B 两点间往返运动．在点P 出发的同时，点Q 从B 点出发以每 秒2 个单位长度向左匀速运动，当点Q 达到点时，点P，Q 停止运动． （1）填空： ， ； （2）求运动了多长时间后，点P，Q 第一次相遇，以及相遇点所表示的数； （3）求当点P，Q 停止运动时，点P 所在的位置表示的数； （4）在整个运动过程中，点P 和点Q 一共相遇了几次．（直接写出答） 2．如图，若点在数轴上对应的数为，点B 在数轴上对应的数为b，且，b 满足|＋2|＋（b 1 ﹣）2＝0，点与点B 之间的距离表示为B＝|﹣b|． （1）求B 的长； （2）若点在数轴上对应的数为 ，在数轴上是否存在点P，使得P＋PB＝P？若存在，求 出点P 对应的数；若不存在，说明理由； （3）在（1）、（2）的条件下，点，B，开始在数轴上运动，若点以每秒1 个单位长度的 速度向左运动，同时，点B 和分别以每秒4 单位长度和9 个单位长度的速度向右运动，经 过t 秒后，请问：B﹣B 的值是否随着时间t 的变化而改变？若变化，请说明理由；若不变， 请求其常数值． 3．如图，在数轴上点表示的数为﹣6，点B 表示的数为10，点M、分别从原点、点B 同时 出发，都向左运动，点M 的速度是每秒1 个单位长度，点的速度是每秒3 个单位长度，运 动时间为t 秒． （1）求点M、点分别所对应的数（用含t 的式子表示）； （2）若点M、点均位于点右侧，且＝2M，求运动时间t； （3）若点P 为线段M 的中点，点Q 为线段B 的中点，点M、在整个运动过程中，当 PQ+M＝17 时，求运动时间t． 4．已知数轴上有，B，三个点，分别表示有理数 ，4，6． (1)画出数轴，并用数轴上的点表示点，点B，点； (2)动点P 从点出发，以每秒4 个单位长度的速度沿数轴向数轴负方向运动，到达点后立即 以每秒2 个单位长度的速度沿数轴返回到点，到达点后停止运动，设运动时间为t 秒． ①当 时， 的长为__________个单位长度， 的长为__________个单位长度， 的长为____________个单位长度； ②在点P 的运动过程中，若 个单位长度，则请直接写出t 的值为_____ 5．如图1， 、 两点在数轴上对应的数分别为 和6． (1)直接写出 、 两点之间的距离___； (2)若在数轴上存在一点 ，使得 ，求点 表示的数； (3)如图2，现有动点 、 ，若点 从点 出发，以每秒4 个单位长度的速度沿数轴向右运 动，同时点 从点 出发，以每秒2 个单位长度的速度沿数轴向左运动，当点 到达原点 后立即以每秒3 个单位长度的速度沿数轴向右运动，求：当 时的运动时间的 值． 6．已知数轴上有 、 、 三个点，分别表示有理数 ， ，，动点 从 出发，以 每秒个单位的速度向终点 移动，设移动时间为 秒． (1)当 时，点 到点 的距离 ______ ；此时点 所表示的数为______ ； (2)当点 运动到 点时，点 同时从 点出发，以每秒 个单位的速度向 点运动， 点 到达 点后也停止运动，则点 出发秒时与 点之间的距离 ______ ； (3)在（2）的条件下，当点 到达 点之前，请求出点 移动几秒时恰好与点 之间的距离 为 个单位？