专题08 线段上动点问题的三种考法（学生版）

专题08 线段上动点问题的三种考法 类型一、求值问题 例数轴上有，B，三点，，B 表示的数分别为m， ，点在B 的右侧， ． (1)如图1，若多项式 是关于x 的二次三项式，请直接写出m，的值： (2)如图2，在(1)的条件下，长度为1 的线段 (E 在F 的左侧)在，B 之间沿数轴水平滑动 (不与，B 重合)，点M 是 的中点，是 的中点，在 滑动过程中，线段 的长度是 否发生变化，请判断并说明理由； (3)若点D 是 的中点． ①直接写出点D 表示的数____________(用含m，的式子表示)； ②若 ，试求线段 的长． 【变式训练1】如图1，点在线段B 上，图中共有三条线段B，和B，若其中有一条线段的 长度是另外一条线段长度的2 倍，则称点是线段B 的“巧点”． (1)线段的中点__这条线段的“巧点”；(填“是”或“不是”)； (2)如图2，已知B＝15m．动点P 从点出发，以2m/s 的速度沿B 向点B 匀速运动；点Q 从 点B 出发，以1m/s 的速度沿B 向点匀速运动，点P，Q 同时出发，当其中一点到达终点时， 运动停止．设移动的时间为t(s)，当t＝__s 时，Q 为，P 的“巧点”． 【变式训练2】已知：如图1，M 是定长线段B 上一定点，、D 两点分别从M、B 出发以 1m/s、3m/s 的速度沿直线B 向左运动，运动方向如箭头所示(在线段M 上，D 在线段BM 上) (1)若B＝11m，当点、D 运动了1s，求+MD 的值． (2)若点、D 运动时，总有MD＝3，直接填空：M＝ BM． (3)在(2)的条件下，是直线B 上一点，且﹣B＝M，求 的值． 【变式训练3】如图，数轴上有两点 ，点从原点出发，以每秒 的速度在线段 上运动，点D 从点B 出发，以每秒 的速度在线段 上运动．在运动过程中满足 ，若点M 为直线 上一点，且 ，则 的值为_______． 类型二、证明定值问题 例如图，已知线段 ， ，线段 在直线 上运动(点 在点 的左侧，点 在点 的左侧)，若 ． (1)求线段 ， 的长； (2)若点 ， 分别为线段 ， 的中点， ，求线段 的长； (3)当 运动到某一时刻时，点 与点 重合，点 是线段 的延长线上任意一点，下 列两个结论：① 是定值，② 是定值，请选择你认为正确的一个并加以 说明． 【变式训练1】已知线段B＝m，D＝，线段D 在直线B 上运动(在B 的左侧，在D 的左侧)， 且m，满足|m－12|＋(－4)2＝0 (1)m＝ ，＝ ； (2)点D 与点B 重合时，线段D 以2 个单位长度/秒的速度向左运动． ①如图1，点在线段B 上，若M 是线段的中点，是线段BD 的中点，求线段M 的长； ②P 是直线B 上点左侧一点，线段D 运动的同时，点F 从点P 出发以3 个单位/秒的向右运 动，点E 是线段B 的中点，若点F 与点相遇1 秒后与点E 相遇．试探索整个运动过程中，F －5DE 是否为定值，若是，请求出该定值；若不是，请说明理由． 【变式训练2】如图，数轴上点 ， 表示的有理数分别为 ，3，点 是射线 上的一 个动点(不与点 ， 重合)， 是线段 靠近点 的三等分点， 是线段 靠近点 的 三等分点． (1)若点 表示的有理数是0，那么 的长为________；若点 表示的有理数是6，那么 的长为________； (2)点 在射线 上运动(不与点 ， 重合)的过程中， 的长是否发生改变？若不改变， 请写出求 的长的过程；若改变，请说明理由． 【变式训练3】(1)如图1，在直线 上，点 在 、 两点之间，点 为线段PB 的中点， 点 为线段 的中点，若 ，且使关于 的方程 无解 ①求线段 的长； ②线段 的长与点 在线段 上的位置有关吗？请说明理由； (2)如图2，点 为线段 的中点，点 在线段 的延长线上，试说明 的值不变 类型三、数量关系 例数轴上 两点对应的数分别是 ，线段 在数轴上运动，点 在点 的左边， 且 点 是 的中点． (1)如图1，当线段 运动到点 均在 之间时，若 ，则 _________， 点 对应的数为________， ________； (2)如图2，当线段 运动到点 在 之间时，画出草图并求 与 的数量关系． 【变式训练1】如图，已知线段B，延长线段B 至，使B＝ B． (1)请根据题意将图形补充完整．直接写出 ＝ _______； (2)设B ＝ 9m，点D 从点B 出发，点E 从点出发，分别以3m/s，1m/s 的速度沿直线B 向左 运动． ①当点D 在线段B 上运动，求 的值； ②在点D，E 沿直线B 向左运动的过程中，M，分别是线段DE、B 的中点．当点恰好为线 段BD 的三等分点时，求M 的长． 【变式训练2】已知点在线段B 上，＝2B，点D、E 在直线B 上，点D 在点E 的左侧， (1)若B＝18，DE＝8，线段DE 在线段B 上移动， ①如图1，当E 为B 中点时，求D 的长； ②当点是线段DE 的三等分点时，求D 的长； (2)若B＝2DE，线段DE 在直线上移动，且满足关系式 ，则 ＝ ． 课后作业 1 已知有理数，b，在数轴上对应的点从左到右顺次为，B，，其中b 是最小的正整数，在 最大的负整数左侧1 个单位长度，B=2B． (1)填空：= ，b= ，= (2)点D 从点开始，点E 从点B 开始， 点F 从点开始，分别以每秒1 个单位长度、1 个单位 长度、4 个单位长度的速度在数轴上同时向左运动，点F 追上点D 时停止动，设运动时间 为t 秒．试问： ①当三点开始运动以后，t 为何值时，这三个点中恰好有一点为另外两点的中点？ ②F 在追上E 点前，是否存在常数k，使得 的值与它们的运动时间无关，为定 值．若存在，请求出k 和这个定值；若不存在，请说明理由． 2．已知点 在线段 上， ，点 、 在直线 上，点 在点 的左侧．若 ， ，线段 在线段 上移动． (1)如图1，当 为 中点时，求 的长； (2)点 (异于 ， ， 点)在线段 上， ， ，求 的长． 3 已知线段B，点在直线B 上，D 为线段B 的中点． (1)若 ， ，求线段D 的长． (2)若点E 是线段的中点，请写出线段DE 和B 的数量关系并说明理由． 4 已知：如图1，M 是定长线段B 上一定点，、D 两点分别从M、B 出发以1m/s、3m/s 的 速度沿直线B 向左运动，运动方向如箭头所示(在线段M 上，D 在线段BM 上) (1)若B＝11m，当点、D 运动了1s，求+MD 的值． (2)若点、D 运动时，总有MD＝3，直接填空：M＝ BM． (3)在(2)的条件下，是直线B 上一点，且﹣B＝M，求 的值． 5．如图，在数轴上 点表示的数为 ， 点表示的数为 ， 点表示的数为， 是最大 的负整数，且 ，满足 ．点 从点 出发以每秒3 个单位长度的速度向 左运动，到达点 后立刻返回到点 ，到达点 后再返回到点 并停止． (1) ________， ________， ________． (2)点 从点 离开后，在点 第二次到达点 的过程中，经过 秒钟， ， 求 的值． (3)点 从点 出发的同时，数轴上的动点 ， 分别从点 和点 同时出发，相向而行， 速度分别为每秒4 个单位长度和每秒5 个单位长度，假设秒钟时， 、 、 三点中恰 好有一个点是另外两个点的中点，请直接写出所有满足条件的的值． 6．七(1)班的学习小组学习“线段中点”内容时，得到一个很有意思的结论，请跟随他们 一起思考 (1)发现： 如图1，线段 ，点 在线段 上，当点 是线段 和线段 的中点时， 线段 的长为_________；若点 在线段 的延长线上，其他条件不变(请在图2 中按题 目要求将图补充完整)，得到的线段 与线段 之间的数量关系为_________ (2)应用： 如图3，现有长为40 米的拔河比赛专用绳 ，其左右两端各有一段( 和 )磨损了， 磨损后的麻绳不再符合比赛要求 已知磨损的麻绳总长度不足20 米 小明认为只利用麻绳 和一把剪刀(剪刀只用于剪断麻绳)就可以得到一条长20 米的拔河比赛专用绳 小明 所在学习小组认为此法可行，于是他们应用“线段中点”的结论很快做出了符合要求的专 用绳 ，请你尝试着“复原”他们的做法： ①在图中标出点 、点 的位置，并简述画图方法； ②请说明①题中所标示 点的理由 7．问题背景 整体思想就是从问题的整体性质出发，突出对问题的整体结构的分析，把握它们之间的关 联，进行有目的、有意识的整体处理，整体思想在代数和几何中都有很广泛的应用． (1)如图1，、B、三点在同一直线上，射线D 和射线E 分别平分∠和∠B，则∠DE 的度数为 (直接写出答)． (2)当x＝1 时，代数式 +bx+2021 的值为2020，当x＝﹣1 时，求代数式 +bx+2021 的值． (3)①如图2，点是线段B 上一定点，点D 从点、点E 从点B 同时出发分别沿直线B 向左、 向右匀速运动，若点E 的运动速度是点D 运动速度的3 倍，且整个运动过程中始终满足E ＝3D，求 的值； ②如图3，在①的条件下，若点E 沿直线B 向左运动，其它条件均不变．在点D、E 运动 过程中，点P、Q 分别是E、E 的中点，若运动到某一时刻，恰好E＝4PQ，求此时 的 值． 8．已知：如图1，点M 是线段B 上一定点，B＝12m，、D 两点分别从M、B 出发以 1m/s、2m/s 的速度沿直线B 向左运动，运动方向如箭头所示(在线段M 上，D 在线段BM 上) (1)若M＝4m，当点、D 运动了2s，此时＝ ，DM＝ ；(直接填空) (2)当点、D 运动了2s，求+MD 的值． (3)若点、D 运动时，总有MD＝2，则M＝ (填空) (4)在(3)的条件下，是直线B 上一点，且﹣B＝M，求 的值． 9．如图，数轴正半轴上的 ， 两点分别表示有理数 ， ， 为原点，若 ，线段 (1) ______， ______； (2)若点 从点 出发，以每秒2 个单位长度向 轴正半轴运动，求运动时间为多少时；点 到点 的距离是点 到点 距离的3 倍； (3)数轴上还有一点 表示的数为32，若点 和点 同时从点 和点 出发，分别以每秒2 个单位长度和每秒1 个单位长度的速度向 点运动， 点到达 点后，再立刻以同样的速 度返回，运动到终点 ，求点 和点 运动多少秒时， 、 两点之间的距离为4 10．已知数轴上三点M，，对应的数分别为－3，0，1，点P 为数轴上任意一点，其对应 的数为x． (1)如果点P 到点M，点的距离相等，那么x 的值是______； (2)数轴上是否存在点P，使点P 到点M，点的距离之和是5？若存在，请直接写出x 的值； 若不存在，请说明理由． (3)如果点P 以每分钟3 个单位长度的速度从点向左运动时，点M 和点分别以每分钟1 个单 位长度和每分钟4 个单位长度的速度也向左运动，且三点同时出发，那么几分钟时点P 到 点M，点的距离相等(直接写出答) 11．如图，P 是定长线段B 上一点，、D 两点分别从P、B 出发以1m/s、2m/s 的速度沿直 线B 向左运动(在线段P 上，D 在线段BP 上) (1)若、D 运动到任一时刻时，总有PD＝2，请说明P 点在线段B 上的位置： (2)在(1)的条件下，Q 是直线B 上一点，且Q﹣BQ＝PQ，求 的值． (3)在(1)的条件下，若、D 运动5 秒后，恰好有 ，此时点停止运动，D 点继续运 动(D 点在线段PB 上)，M、分别是D、PD 的中点，下列结论：①PM﹣P 的值不变；② 的值不变，可以说明，只有一个结论是正确的，请你找出正确的结论并求值．