专题02 数轴上动点问题的三种考法（原卷版）

专题02 数轴上动点问题的三种考法 【知识点梳理】 1 数轴上两点间的距离 数轴上、B 两点表示的数为分别为、b，则与B 间的距离B=|－b|； 2 数轴上点移动规律 数轴上点向右移动则数变大（增加），向左移动数变小（减小）； 当数表示的点向右移动b 个单位长度后到达点表示的数为+b；向左移动b 个单位长度后到 达点表示的数为－b 类型一、求值（速度、时间、距离） 例1．数轴上点表示的数为10，点M，分别以每秒个单位长度、每秒b 个单位长度的速度 沿数轴运动，，b 满足 ． (1)请直接写出 ______， ______； (2)如图1，点M 从出发沿数轴向左运动，到达原点后立即返回向右运动；同时点从原点出 发沿数轴向左运动，运动时间为t，点P 为线段 的中点．若 ，求t 的值； (3)如图2，若点M 从原点向右运动，同时点从原点向左运动，运动时间为t．当以 M，，，为端点的所有线段的长度和为109 时，求出此时点M 对应的数． 例2．如图，点为数轴原点，点、B、都在数轴上， ．已知点表示的数为 ． (1)直接写出点B 表示的数； (2)一动点P 从点出发，以每秒4 个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动；另一动点Q 同时 从点B 出发，以每秒5 个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，已知P、Q 两点恰好在点 相遇，求点表示的数． (3)在（2）的条件下，当点P 分别到、B、三点的距离之和为68 个单位长度时，求点P 的 运动时间． 例3．如图1，点 在射线 上， ， ，点 从点 出发，沿 方向以 的速度向右匀速运动，点 从点 出发，在线段 上向左匀速运动，两点 同时出发． (1)若点 运动速度为 ，当点 和点 都运动到线段 上，且点 恰好为线段 的 中点时，求点 运动的时间； (2)如图2，若点 也为射线 上一点，且 ，当 时，点 运动到线段 上且恰好满足 ，求点 的运动速度． 例4．如图将一条数轴在原点 ，点 ，点 ，点 处各折一下，得到一条“折线数 轴”．图中点 表示 ，点 表示 ，点 表示 ，点 表示 ，点 表示 ，我 们称点 和点 在数轴上相距 个长度单位．动点 从点 出发，以 单位/秒的速度 沿着“折线数轴”的正方向运动，同时，动点 从点 出发，以 单位/秒的速度沿着 数轴的负方向运动，两点上坡时速度均变为初始速度的一半，下坡时速度均变为初始速度 的两倍，平地则保持初始速度不变．当点 运动至点 时则两点停止运动，设运动的时 间为 秒．问： (1)动点 从点 运动至 点需要 秒，此时点 对应的点是 ． (2) ， 两点在点 处相遇，求出相遇点 所对应的数是多少？ (3)求当 为何值时， ， 两点在数轴上相距的长度与 ， 两点在数轴上相距的长度 相等． 【变式训练1】已知多项式 的常数项是，次数是b，若、b 两数在数轴上所对 应的点为、B，点位于点B 的左边． (1)数轴上点表示的数为______，B 点表示的数为______． (2)数轴上在B 点右边有一点，点到、B 两点的距离和为13，求点在数轴上所对应的数． (3)若P、Q 两点分别从、B 出发，同时沿数轴正方向运动，为数轴原点，P 点的速度是Q 点速度的2 倍，且3 秒后， ，求点Q 运动的速度． 【变式训练2】 ， 分别是数轴上两个不同点， 所表示的有理数，且 ， ，， 两点在数轴上的位置始图所示： (1)直接写出数 ， 的值； (2)， 两点相距多少个单位长度？ (3)若 点在数轴上， 点到 点的距离是 点到点距离的 ，求 点考示的数； (4)点 从点出发，先向左移动一个单位长度，再向右移动2 个单位长度，再向左移动3 个 单位长度，再向右移动4 个单位长度，依次操作2022 次后，求 点表示的数． 【变式训练3】已知数轴上的、B 两点分别对应的数字为、b，且、b 满足 ． (1)求、b 的值； (2)点P 从点出发，以每秒2 个单位长度的速度沿数轴正方向运动，出发后经过t 秒钟， P、、B 三点中其中一个点到另外两个点的距离相等，求出此时t 值； (3)数轴上还有一点对应的数为40，若点P 从点出发，以每秒2 个单位长度的速度向点运动， 同时，点Q 从B 点出发，以每秒 个单位长度的速度向正方向运动，点P 运动到点后立即 返回再沿数轴向左运动．当 时，求点P 运动的时间． 【变式训练4】已知：b 是最小的正整数，且、b、满足 ，请回答问题． (1)请直接写出、b、的值． ______， ______， ______； (2)、b、所对应的点分别为、B、，点P 为一动点，其对应的数为x，点P 在0 到2 之间运 动时即（ 时），请化简式子： （请写出化简过程）； (3)在（1）（2）的条件下，点、B、开始在数轴上运动，若点以每秒1 个单位长度的速度 向左运动，同时，点B 和点分别以每秒2 个单位长度和5 个单位长度的速度也向左运动， 运动时间为t，是否存在t，使、B、中一点是其它两点的中点，若存在，求t 的值，若不存 在，说明理由． 类型二、定值问题 例．已知M，两点在数轴上所表示的数分别为m，，且m，满足： ． (1)求m、的值； (2)①情境：有一个玩具火车 如图1 所示，放置在数轴上，将火车沿数轴左右水平移动， 当点移动到点B 时，点B 所对应的数为m，当点B 移动到点时，点所对应的数为．则玩具 火车的长为__________个单位长度； ②应用：如图1 所示，当火车 匀速向右运动时，若火车完全经过点M 需要2 秒，则火 车的速度为__________个单位长度/秒． (3)在（2）的条件下，当火车 匀速向右运动，同时点P 和点Q 从、M 出发，分别以每秒 1 个单位长度和2 个单位长度的速度向左和向右运动，记火车 运动后对应的位置为 ． 是否存在常数k 使得 的值与它们的运动时间无关？若存在，请求出k 和这个定值： 若不存在，请说明理由． 【变式训练1】如图，数轴上有三个点 ， ， ，表示的数分别是 ， ，． (1)若使 、 两点的距离是 、 两点的距离的3 倍，则需将点 向右移动________个单 位： (2)点 、 、 开始在数轴上运动，若点 以每秒 个单位长度的速度向左运动，同时， 点 和点 分别以每秒1 个单位长度和3 个单位长度的速度向右运动，设运动时间为秒： ①点 、 、 表示的数分别是_______、_______、_______（用含 、的代数式表示）： ②若点 与点 之间的距离表示为 ，点 与点 之间的距离表示为 ，当 为何值时， 的值不会随着时间的变化而改变． 【变式训练2】如图，在数轴上点 表示数 ，点 表示数 ，且 (1)填空， _______________， _______________； (2)若点 与点 之间的距离表示为 ，点 与点 之间的距离表示为 ，已知点 为数 轴上一动点，且满足 ，求出点 表示的数； (3)若点 以每秒个单位长度的速度向左运动，同时点 以每秒 个单位长度的速度向右 运动，动点 从原点开始以每秒 个单位长度运动，运动时间为秒，运动过程中，点 始终在 、 两点之间上，且 的值始终是一个定值，求 点运动的方向及 的 值， 【变式训练3】如图，在数轴上点、B、表示的数分别为 、、，点与点B 之间的距离 表示为 ，点B 与点之间的距离表示为 ，点与点之间的距离表示为 ． (1) 、 、 ； (2)若点P 以每秒1 个单位长度的速度从点出发，点Q 以每秒3 个单位长度的速度从点出发， P、Q 同时同向而行，运动时间为t 秒，经过多少秒后，点P、Q 两点相距2 个单位长度？ (3)若点D 从点出发，以每秒1 个单位长度的速度向左运动，点E 从B 点出发，以每秒2 个 单位长度的速度向右运动，点F 从点出发，以每秒5 个单位长度的速度向右运动，设点 D、E、F 同时出发，运动时间为t 秒，问 的值是否随着时间t 的变化而变化？请说 明理由． 【变式训练4】如图所示，数轴上有 ， ， ， 四个点，点 表示的数是 ，点 表 示的数是，且满足 ．已知 （单位长度）， （单位长 度）． (1)求点 和点 分别表示的数； (2)若线段 以4 个单位长度/秒的速度向右匀速运动，同时线段 以2 个单位长度/秒的 速度向左匀速运动，设运动时间为秒，当 （单位长度）时，求的值； (3)若动点 从表示数 的点开始以每秒5 个单位长度的速度向右运动，且满足 的值不随 点运动时间的变化而改变，求 的值． 类型三、数量关系问题 例．已知在数轴上有，B 两点，点表示的数为8，点B 在点的左边，且 ．若有一动 点P 从数轴上点出发，以每秒3 个单位长度的速度沿数轴向点B 匀速运动，动点Q 从点B 同时出发，以每秒2 个单位长度的速度沿着数轴向点匀速运动，规定其中一个动点到达终 点时，另一个动点也随之停止运动．设运动时间为t 秒． (1)【解决问题】： ①当 秒时，写出数轴上点P，Q 所表示的数； ②问点P 运动多少秒与点Q 相距3 个单位长度？ (2)【探索问题】： 若 为 的中点， 为 的中点，直接写出线段 与线段 的数量关系． 【变式训练1】已知数轴上，B 两点对应的数分别是，b，其中，b 分别为单项式 的 系数和次数，点P 为数轴上的一动点． (1)，B 两点的距离 __________； (2)在数轴上是否存在点P，使 ？若存在，请求出点P 对应的数；若不存在，请说 明理由； (3)若点P 以每秒1 个单位的速度从点（点对应的数是0）出发向右匀速运动，同时点以每 秒5 个单位的速度向左匀速运动，点B 以每秒8 个单位的速度向右匀速运动．在运动的过 程中，M，分别是 ， 的中点，设运动时间为t 秒． ①请用含t 的代数式表示 ； ②随着时间t 的变化， 与 之间有怎样的数量关系？ 【变式训练2】如图，已知在数轴上有，B 两点，点表示的数为8，点B 在点的左边，且 ．若有一动点P 从数轴上点出发，以每秒3 个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动， 动点Q 从点B 出发，以每秒2 个单位长度的速度沿着数轴向右匀速运动．设点P 的运动时 间为t 秒． (1)解决问题： ①当 时，写出数轴上点B，P 所表示的数； ②若点P，Q 分别从，B 两点同时出发，问点P 运动多少秒与点Q 相距3 个单位长度？ (2)探索问题：若M 为Q 的中点，为BP 的中点．当点P 在，B 两点之间运动时，探索线段 M 与线段PQ 的数量关系（写出过程）． 课后训练 1．已知数轴上有，B，三点，分别表示 ， ，6，两只电子蚂蚁甲、乙分别从，两点 同时出发，甲的速度是每秒4 个单位，乙的速度是每秒3 个单位． (1) ， ． (2)若甲、乙相向而行，则甲、乙在多少秒后数轴上相遇？该相遇点在数轴上表示的数是什 么？ (3)若甲、乙相向而行，则多少秒后甲到，B，三点的距离之和为23 个单位？ (4)在（3）的条件下，当甲到，B，三点的距离之和为23 个单位时，甲调头返回，则甲、 乙还能在数轴上相遇吗？若能，并求出相遇点在数轴上表示的数；若不能，请说明理由． 2．【背景知识】数轴是初中数学的一个重要工具，利用数轴可以将数与形完美地结合．研 究数轴我们发现了许多重要的规律：若数轴上点、点B 表示的数分别为、b，则，B 两点之 间的距离 ，线段 的中点表示的数为 ． 【问题情境】如图，数轴上点表示的数为 ，点B 表示的数为8，点P 从点出发，以每秒 3 个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，同时点Q 从点B 出发，以每秒2 个单位长度的 速度向左匀速运动．设运动时间为t 秒 ． 【综合运用】 (1)填空：用含t 的代数式表示：t 秒后，点P 表示的数为 ；点Q 表示的数为 ． (2)求当t 为何值时，P、Q 两点相遇； (3)求当t 为何值时， ； (4)若点 为 的中点，点 为 的中点，点 在运动过程中，线段 的长度是否发生 变化？若变化，请说明理由；若不变，请求出线段 的长． 3．如图，数轴上，B 两点对应的有理数分别为 和20、点P 从点 出发，以每秒1 个单 位长度的速度沿数轴正方向匀速运动，同时，点Q 从点出发，以每秒2 个单位长度的速度 沿数轴正方向匀速运动．设运动时间为 秒． (1)当 时，线段 的长度是___________；当 时，线段 的长度是___________． (2)当 时，求所有符合条件的t 的值，并求出此时点Q 所对应的数． (3)若点P 一直沿数轴的正方向运动，点Q 运动到点B 时，立即改变运动方向，沿数轴的负 方向运动，到达点时，随即停止运动，在点Q 的整个运动过程中，直接写出所有使得线段 的t 值． 5．已知数轴上的 、 两点分别对应的数字为 、 ，且 、 满足 ． (1)直接写出： ______， ______； (2) 从 出发，以每秒个长度的速度沿数轴正方向运动，何时 ， ， 三点中其中一 个点到另外两个点的距离相等？求出相应的时间； (3)数轴上还有一点 对应的数为 ，若点 从 出发，以每秒个单位的速度向 点运动， 同时， 从 点出发，以每秒个长度的速度向正方向运动，点 运动到 点立即返回再沿 数轴向左运动．当 时，求 运动的时间． 6．已知式子 是关于x 的二次多项式，且二次项系数为b， ，数轴上，B、三点所对应的数分别是、b 和，点，B 沿数轴同时出发相向匀速运动， 点B 的速度为每秒2 个单位长度，4 秒后两点相遇． (1)求点的运动速度； (2)若点与点B 之间的距离记为 ，原点与点之间的距离记为 ，，B 两点运动秒时有 ，求此时t 的值； (3)当点运动到点时，迅速以初始速度的2 倍返回，到达点的起始位置后，再以初始速度的 4 倍又折返向点运动：点B 始终保持原来的运动方向和速度不变；求出运动过程中，B 两点 相遇时t 的值． 7．已知有理数，b，在数轴上对应的点分别为，B，，其中b 是最小的正整数，，满足 ． (1)填空；＝ ，b＝ ，＝ ． (2)现将点，点B 和点分别以每秒4 个单位长度，1 个单位长度和1 个单位长度的速度在数 轴上同时向右运动，设运动时间为t 秒． ①求经过多长时间， 的长度是 长度的两倍．