专题15 全等三角形模型之角平分线模型解读与提分精练（全国通用）（解析版）

专题15 全等三角形模型之角平分线模型 角平分线在中考数学中都占据着重要的地位，角平分线常作为压轴题中的常考知识点，需要掌握其各 类模型及相应的辅助线作法，且辅助线是大部分学生学习几何内容中的弱点，本专题就角平分线的几类全 等模型作相应的总结，需学生反复掌握。 大家在掌握几何模型时，多数同学会注重模型结论，而忽视几何模型的证明思路及方法，导致本末倒 置。要知道数学题目的考察不是一成不变的，学数学更不能死记硬背，要在理解的基础之上再记忆，这样 才能做到对于所学知识的灵活运用，并且更多时候能够启发我们解决问题的关键就是基于已有知识、方法 的思路的适当延伸、拓展，所以学生在学习几何模型要能够做到的就是：①认识几何模型并能够从题目中 提炼识别几何模型；②记住结论，但更为关键的是记住证明思路及方法；③明白模型中常见的易错点，因 为多数题目考察的方面均源自于易错点。当然，以上三点均属于基础要求，因为题目的多变性，若想在几 何学习中突出，还需做到的是，在平时的学习过程中通过大题量的训练，深刻认识几何模型，认真理解每 一个题型，做到活学活用！ .................................................................................................................................................2 模型1 角平分线垂两边（角平分线+外垂直）.............................................................................................2 模型2 角平分线垂中间（角平分线+内垂直）.............................................................................................8 模型3 角平分线构造轴对称模型（角平分线+截线段相等）...................................................................13 ...............................................................................................................................................21 模型1 角平分线垂两边（角平分线+外垂直） 角平分线垂两边是指过角的平分线上一点向角的两边作垂线。角平分线垂两边模型，可以充分利用角平分 线性质：角平分线上的点到角两边距离相等。 图1 图2 图3 条件：如图1， 为 的角平分线， 于点， 于点B 结论： 、 ≌ 证明：∵ 为 的角平分线， ， ， ∴ ，∠B=∠=90°，∵ ，∴ ≌ （L） 常见模型1（直角三角形型） 条件：如图2，在 中， ， 为 的角平分线，过点D 作 结论： 、 ≌ （当 是等腰直角三角形时，还有 ） 证明：∵ ， 为 的角平分线， ， ∴ ，∠ED=∠D=90°，∵ ，∴ ≌ （L） 常见模型2（邻等对补型） 条件：如图3，是∠B 的角平分线，=B，过点作D⊥、E⊥B。 结论：① ；② ；③ 证明：∵是∠B 的角平分线，D⊥、E⊥B， ∴ ，∠D=∠EB=90°，=B，∴ ≌ （L），∴ ，∠D=∠BE； ∵ ，∴ ，∴ ， 同图1 中的证法易得： ≌ （L），∴ ， ∴ ， 例1．（2024·陕西·中考真题）如图，在 中， ，E 是边 上一点，连接 ，在 右侧作 ，且 ，连接 ．若 ， ，则四边形 的面积为 ． 【答】60 【分析】本题考查等边对等角，平行线的性质，角平分线的性质，勾股定理：过点 作 ， ，根据等边对等角结合平行线的性质，推出 ，进而得到 ，得到 ，进而得到四边形 的面积等于 ，设 ，勾股定理求出 的长，再利用面积 公式求出 的面积即可． 【详解】解：∵ ，∴ ， ∵ ，∴ ，∴ ，∴ 平分 ， 过点 作 ， ，则： ， ∵ ，且 ，∴ ， ∴四边形 的面积 ， ∵ ，∴ ，设 ，则： ， 由勾股定理，得： ， ∴ ，解： ，∴ ， ∴ ，∴四边形 的面积为60．故答为：60． 例2．（23-24 八年级上·江苏南通·阶段练习）如图， 的外角 ， 的平分线 ， 相交 于点 ， 于 ， 于 ，下列结论：（1） ；（2）点 在 的平分线上； （3） ；（4）若 ，则 ，其中正确的有（ ） ．1 个 B．2 个 ．3 个 D．4 个 【答】 【分析】过点P 作PG⊥B，由角平分线的性质定理，得到 ，可判断（1）（2）；由 ， 可得 ， ， ， ，得到 ，可判断（3）；根据 ， ,可判断（4），进而可得到答． 【详解】解：过点P 作PG⊥B，连接 ,如图： ∵P 平分∠B，BP 平分∠DB， ， ，PG⊥B， ∴ ；故（1）正确；∴点 在 的平分线上；故（2）正确； ， ， ， ， ， ， 又 ，∴ ；故（3）错误； , ， ， ， ， ， ∴正确的选项有3 个；故选． 【点睛】本题考查了角平分线的判定定理和性质定理，全等三角形的性质与判定，解题的关键是熟练掌握 角平分线的判定和性质进行解题． 例3．（2023 春·安徽宿州·八年级统考阶段练习）已知 ， 和 分别平分 和 ，点 E，F 分别在 和 上．(1)如图1， 过点P，且与 垂直，求证： ； (2)如图2， 为过点P 的任意一条线段，试猜想 还成立吗？请说明理由． 【答】(1)证明见详解(2) 成立，理由见详解 【分析】（1）过点P 作 于点M，由角平分线的性质定理即可得出结论； （2）过点P 作 于点G，交 于点，证明 ，即可得出结论． 【详解】（1）证明：如图，过点P 作 于点M， ∵ ， ， ． 和 分别是 和 的平分线， 且 ， ， ， ， ． ． （2） 成立．理由如下： 如图，过点P 作 于点G，交 于点， ， ， ， ， 由（1）得 ，在 和 中， ， ． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定及性质、角平分线的性质、平行线的性质等知识，熟练掌握角平分 线的性质，证明三角形全等是解题的关键． 例4．（23-24 九年级下·辽宁本溪·阶段练习）【问题初探】（1）在数学活动课上，姜老师给出如下问题： 如图1， 平分 ，M 为 上一点，为 上一点，连接线段 ，若 ． 求证： ． ①如图2，小文同学从已知一边一角构造全等进行转化的视角给出如下思路：在 上截取 ，连 接 ，易证 ，将线段 与 的数量关系转化为 与 的数量关系． ②如图3，小雅同学也是从已知一边一角构造全等的视角进行解题给出了另一种思路，过D 点向 的 两边分别作垂线，垂足分别为点E，F，易证 ，得到 ，接下来只需证 ，可得 ． 请你选择一名同学的解题思路，写出证明过程 【类比分析】（2）姜老师发现之前两名同学都采用了一边一角构造全等的视角，为了更好的感悟这种视 角，姜老师将共顶点的两个相等的角，变成了不共顶点的两个相等的角提出了如下问题，请你解答． 如图4，在 中， ， 平分 交 与点D，在线段 上有一点E，连接 交 与 点F，若 ．求证： ． 【学以致用】（3）如图5，在 中， ，垂足为点D，在 的延长线上取一点E， 使 ，在线段 上截取 ，点G 在线段 上，连接 ，使 ，若 ， ， ，求四边形 的面积． 【答】（1）①见解析；②见解析；（2）见解析；（3） 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定和性质、等腰三角形的性质、角平分线的定义、勾股定理等知 识点，添加恰当辅助线构造全等三角形是解题的关键．（1）①小文，由“ ”可证 ，可 得 ，由补角的性质可得 ，可证 即可求解；②小雅：由 “ ”可证 ，可得 ，由“ ”可证 ，可得 ；（2） 由“ ”可证 ，可得 ，由三角形内角和定理可求 ，可得 ；（3）由“ ”可证 ，可得 ，由等腰三角形的性质和勾股定理可求 的长， 的长，最后由三角形的面 积公式求解即可． 【详解】解：（1）①证明：如图2，在 上截取 ，连接 ， ∵ 平分 ，∴ ， 又∵ ，∴ ，∴ ， ∵ ，∴ ， ∵ ，∴ ，∴ ，∴ ； ②证明：如图3，过D 点向∠B 的两边分别作垂线，垂足分别为点E，F， ∵ 平分 ，∴ ， 又∵ ，∴ ， ∴ ，∴ ， ∵ ，∴ ， 又∵ ，∴ ，∴ ； （2）证明：延长 至点M 使 ，连接 ， 又∵ ，∴ ，∴ ， ∴ 为 的平分线，∴ ， 又∵ ，∴ ，∴ ，∴ ； （3）如图：在 上截取 ，连接 ， 又∵ ，∴ ，∴ ， ∵ ，∴ ， ∴ ，∴ ， ∵ ，∴ ，∴ ， ∵ ，∴ ，∴ ， ∴ ，∴ ．即△BE 的面积为 ． 模型2 角平分线垂中间（角平分线+内垂直） 角平分线垂中间模型是可以看作是等腰三角形“三线合一”的逆用，也可以得到两个全等的直角三角形， 进而得到对应边、对应角相等，这个模型巧妙的把三线合一和角平分线联系在一起。但同学们也需要注意， 在解答题中使用时不能利用角平分线+中线得高线，也不能利用角平分线+高线得中线。一定要通过证明全 等来得到结论。（因为正确的结论有很多，但只有作为定理的才可以在证明中直接使用哦！） 图1 图2 图3 条件：如图1， 为 的角平分线， ， 结论：△≌△B， 是等腰三角形， 是三线合一等。 证明：∵ 为 的角平分线，∴∠=∠B， ∵ ，∠B=∠=90°，∵ ，∴△≌△B（S）， ∴ ，∴ 是等腰三角形，∵ ，∴ 是三线合一。 条件：如图2， 为 的角平分线， ，延长B，E 交于点F 结论：△BE △ ≌BEF， 是等腰三角形、BE 是三线合一等。 证明：同图1 的证法， 例1．（23-24 八年级下·安徽马鞍山·期末）如图， 中， ， ，点 是 的中点， 若 平分 ， ，线段 的长为（ ） ． B． ． D． 【答】B 【分析】本题考查了三角形的中位线定理，全等三角形的判定与性质，延长 交 于 ，利用“角边 角”证明 和 全等，根据全等三角形对应边相等可得 ， ，再求出 并判 断出 是 的中位线，然后根据三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半可得 ， 熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】如图，延长 交 于 点， ∵ 平分 ，∴ ，∵ ，∴ ， 在 和 中， ，∴ ， ∴ ， ，∴ ， 又∵点 为 的中点，∴ 是 的中位线，∴ ，故选： ． 例2．（2024·广东深圳·八年级校考阶段练习）如图， 中， ， ， 是 的 角平分线， ，则 的最大值为 ． 【答】 【分析】延长 ， 交点于 ，可证 ，得出 ， ，则 ， 当 时， 取最大值，即 取最大值． 【详解】解：如图：延长 ， 交点于 ， 平分 ， ， ， ， 在 和 中， ， ， ， ； ， ，即 ； ， ， 当 时， 取最大值，即 取最大值． ．故答为： ． 【点睛】本题考查了角平分线定义、全等三角形的判定与性质等知识，解题的关键是利用三角形中线的性 质得到 ． 例3．（2024·广东·九年级期中）如图，在 中， ， ， （1）如图1, 平分 交 于点 ， 为 上一点，连接 交 于点 ． （）若 ，求证： 垂直平分 ；（）若 ,求证： ．（2）如图2， 平分 交 于点 ， ，垂足 在 的延长线上，试判断线段 和 的数量关系，并说明理 由． （3） 如图3， 为 上一点， ， ，垂足为 ， 与 交于点 ，写出线段 和 的数量关系．（不要求写出过程） 【答】（1）（ⅰ）见解析；（ⅱ）见解析；（2）BD＝2E，理由见解析；（3）E＝ FD． 【分析】（1）（ⅰ）由等腰三角形的性质即可证得结论； （ⅱ）过点作M⊥F 交F 的延长线于点M，如图1，先根据S 证明△BE △ ≌M，可得E＝M，然后根据角平分 线的定义、平行线的性质和等量代换可得∠FM＝∠ED，进而可根据S 证明△ED △ ≌MF，于是可得结论； （2）延长B、E 相交于点F，如图2，先利用S 证明△BE 和△BFE 全等，可得E＝EF，根据余角的性质可得 ∠BD＝∠F，然后利用S 可证明△BD 和△F 全等，进而可得BD＝F，进一步即得结论；（3）过点F 作 FG∥B，交于，交E 的延长线于点G，如图3，先利用S 证明△EF △ ≌GEF，可得E＝GE，然后根据平行线的 性质、等腰三角形的性质和S 证明△G △ ≌FD，于是可得G＝DF，从而可得结论． 【详解】（1）（ⅰ）证明：∵B＝BF，BD 平分∠B， ∴BE⊥F，E＝EF，即BD 垂直平分F； （ⅱ）证明：过点作M⊥F 交F 的延长线于点M，如图1， ∠ ∵ B＝90°，F⊥BD，∴∠BE+∠BE=90°，∠M+∠BE=90°，∴∠M＝∠BE， 在△BE 和△M 中， ，∴△BE △ ≌M（S），∴E＝M， ∵F⊥BD，F⊥M，∴BD∥M，∴∠FM＝∠BD， ∵BD 平分∠B，∴∠BD＝∠BD，∴∠FM＝∠BD，∴∠FM＝∠ED， 在△ED 和△MF 中， ，∴△ED △ ≌MF（S），∴D＝F； （2）解：BD＝2E．理由如下：如图2，延长B、E 相交于点F，∵BD 平分∠B，∴∠BD＝∠BD， 在△BE 和△BFE 中， ，∴△BE △ ≌BFE（S），∴E＝EF， ∠ ∵ B＝90°，E⊥BD，∴∠F+∠F＝90°，∠BD+∠F＝90°，∴∠BD＝∠F， 在△BD 和△F 中， ，∴△BD △ ≌F（S），∴BD＝F， ∵F＝E+EF＝2E，∴BD＝2E． （3）解：E＝ FD．过点F 作FG∥B，交于，交E 的延长线于点G，如图3， ∵FG∥B，∠EF＝ ∠B，∴∠EF＝∠GFE，又∵E⊥FE，∴∠EF＝∠GEF＝90°， 在△EF 和△GEF 中， ，∴△EF △ ≌GEF（S），∴E＝GE，即E＝ G， ∵FG∥B，∠＝90°，B＝，∴∠G＝∠DF＝90°，＝F． 又∵∠G＝∠DF，∴△G △ ≌FD（S），∴G＝DF．∴E＝ FD． 【点睛】本题是三角形综合题，考查了全等三角形的判定与性质、平行线的性质以及等腰三角形的性质等 知识，具有一定的难度，正确添加辅助线、熟练掌握三角形全等的判定和性质是解题的关键． 模型3 角平分线构造轴对称模型（角平分线+截线段相等） 角平分线构造轴对称模型是利用角平分线图形的对称性，在角的两边构造对称全等三角形，可以得到 对应边、对应角相等，利用对称性把一些线段或角进行转移，这是经常使用的一种解题技巧。 图1 图2 条件：如图1， 为 的角平分线，为任意一点，在 上截取 ，连结 结论： ≌ ，B=。 证明：∵ 为 的角平分线，∴∠=∠B， ∵ ， ，∴△≌△B（SS），∴B=。 条件：如图2，BE、E 分别为 和 的平分线， ，在 上截取 ，连结 。 结论： ≌ ， ≌ ，B+D=B。 证明：∵BE 为 的平分线，∴∠BE=∠FBE= ， ∵ ， ，∴ ≌ （SS），∴∠EB=∠FEB， ∵ ，∴∠B+∠BD=180°，∵E 为 的平分线，∴∠FE=∠DE= ， ∠ ∴ EB+∠BE= + =90°，∴∠FE+∠FEB=90°，∠EB+∠ED=90°， ∠ ∴ FE=∠ED，∵E=E，∴ ≌ ，∴F=D，∴B+D=BF+F=B。 例1．（2023·浙江·九年级专题练习）如图，在 中， ， ， 是 的平分线， 延长 至点 ， ，试求 的度数． 【答】40° 【分析】在 上截取 ，连接 ，通过证明 ，可得 ， 再通过证明 ，即可求得 【详解】解：如图，在 上截取 ，连接 ， 是 的平分线， ， 在 和 中， ， ， ， ∴DE=DF， ，又 ， ， ， ， 在 和 中， ，故 ． 【点睛】本题考查了全等三角形的问题，掌握全等三角形的性质以及判定定理是解题的关键． 例2．（2022·北京九年级专题练习）在四边形 中， 是 边的中点． （1）如图（1），若 平分 ， ，则线段 、 、 的长度满足的数量关系为____ __；（直接写出答）；（2）如图（2）， 平分 ， 平分 ，若 ，则线段 、 、 、 的长度满足怎样的数量关系？写出结论并证明． 【答】（1）E＝B＋DE；（2）E＝B＋DE＋ BD，证明见解析． 【分析】（1）在E 上取一点F，使F＝B，由三角形全等的判定可证得△B △ ≌F，根据全等三角形的性质可 得B＝F，∠B＝∠F，根据三角形全等的判定证得△EF △ ≌ED，得到EF＝ED，再由线段的和差可以得出结论； （2）在E 上取点F，使F＝B，连结F，在E 上取点G，使EG＝ED，连结G，根据全等三角形的判定证得 △B △ ≌F 和△ED △ ≌EG，由全等三角形的性质证得F＝G，进而证得△FG 是等边三角形，就有FG＝G＝ BD，从而可证得结论． 【详解】解：（1）如图（1），在E 上取一点F，使F＝B．∵平分∠BE，∴∠B＝∠F． 在△B 和△F 中， ∴△B △ ≌F（SS）．∴B＝F，∠B＝∠F． ∵是BD 边的中点，∴B＝D．∴F＝D． ∠ ∵ E＝90°，∴∠B＋∠DE＝90°，∠F＋∠EF＝90°．∴∠EF＝∠ED． 在△EF 和△ED 中， ∴△EF △ ≌ED（SS）．∴EF＝ED． ∵E＝F＋EF，∴E＝B＋DE．故答为：E＝B＋DE； （2）E＝B＋DE＋ BD． 证明：如图（2），在E 上取点F，使F＝B，连结F，在E 上取点G，使EG＝ED，连结G． ∵是BD 边的中点，∴B＝D＝ BD．∵平分∠BE，∴∠B＝∠F． 在△B 和△F 中， ∴△B △ ≌F（SS）．∴F＝B，∠B＝∠F． 同理可证：△ED △ ≌EG∴D＝G，∠DE＝∠GE．∵B＝D，∴G＝F． ∠ ∵ E＝120°，∴∠B＋∠DE＝180°−120°＝60°．∴∠F＋∠GE＝60°．∴∠FG＝60°． △ ∴FG 是等边三角形．∴FG＝F＝ BD．∵E＝F＋EG＋FG，∴E＝B＋DE＋ BD． 【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定与性质的运用，能熟练应用三角形全等的判定和性质是解决问 题的关键． 例3．（2023·山东烟台·九年级期末）已知在 中，满足 ， (1)【问题解决】如图1，当 ， 为 的角平分线时，在 上取一点 使得 ，连接 ，求证： ．(2)【问题拓展】如图2，当 ， 为 的角平分线时，在 上 取一点 使得 ，连接 ，（1）中的结论还成立吗？若成立，请你证明：