模型16 全等三角形——半角模型-原卷版

全等三角形 模型（十六）——半角模型 一：正方形中的半角模型 【条件】如图①两个角共顶点，②其中一个角（45）是另一个角（90）的一半 【结论】①EF=BE+DF ①∶延长B 至点P，使得BP=DF 连接P, 第一次全等 第二次全等 在△BP 和△DF 中 在△EP 和△EF 中 B=D（正方形边长相等） P=F ∠BP=∠DF=90º ∠PE=∠FE BP=DF（构造） E=E △BP △DF ∴ ≌ （SS） ∴△EP △EF ≌ （SS） P=F ∴ ，∠1=∠2 PE=EF ∴ ∠2+∠3=45º ∵ 即PB+BE=EF ∠1+∠3=45º, DF+BE =EF ∴ ∴ ∠PE=∠FE ∴ E ② 平分∠BEF，F 平分∠DFE 由①得： △EP △EF ≌ ， 则∠4=∠5，∠FE=∠P 又△PB △FD ≌ ， ∠P=∠FD ∴ ， ∠FE=∠FD ∴ E ∴ 平分∠BEF，F 平分∠DFE △EF ③ 的周长等于正方形边长的2 倍 由①得：EF=BE+DF， △EF ∴ 的周长＝EF+E+F＝BE+DF+E+F =B+D， △EF ∴ 的周长等于正方形边长的 ④如图：作M⊥EF ,则M=B 过作M⊥EF， 则∠ME=∠B=90º。 由①得∠1=∠2，E=E， △BE △ME ∴ ≌ （S） M=B ∴ ⑤如图： ∠EF=45º，则EF²=BE²+F² 【证明】 如图，过点 作P⊥F 且P=F 连接PE ∠B= ∠PF=90º ∵ ，∠1=∠2 第一次全等 第二次全等 在△BP 和△F 中 在△EP 和△EF 中 B= P=F ∠2=∠1 ∠PE=∠FE P=F E=E △BP △F ∴ ≌ （SS） ∴△EP △EF ≌ （SS） BP=F ∴ ，∠BP=∠=45º PE=EF ∴ ∠EF=45º ∵ 在Rt△PBE 中，PE²=PB²+BE² ∠1+∠3=45º, ∴ 即EF²=F²+BE² ∠2+∠3 =45º ∴ 二：等腰三角形中的半角模型 【条件】 如图，△B 是等边三角形，△BD 是等腰三角形， 且∠BD=120°，∠MD=60， 【结论】①M= BM+; ②△M 的周长等于△B 边长的 2 倍; ③MD 是∠BM 的平分线，D 是∠M 的平分线 【证明】∵△BD 是等腰三角形，且∠BD=120°， ∴∠BD=∠DB=30° 见半角，旋全角，盖半角，得半角。 ∵△B 是等边三角形， ∴∠B = ∠B = ∠B=60°, ∴∠DB= ∠D=90° 延长 B 至点F，使BF=，连接DF， 如图在△BDF 和△D 中，DB=D,∠DBF=∠D,BF=, △BDF △D(SS ∴ ≌ ）， ∠BDF=∠D,∠F=∠D,DF=D ∴ ∠MD=60°, ∠BDM+∠D=60°, ∠BDM+∠BDF=60° ∵ ∴ ∴ ， 即∠FDM=60°=∠MD 在△DM 和△DMF 中，D=DF,∠MD= ∠MDF, DM=DM, △DM △DMF ∴ ≌ （SS）， M=MF=BM+, ∴ ∠F=∠MD=∠D，∠FMD=∠DM， △M ∴ 的周长是 M＋＋M=M＋MB＋＋=B＋=2 边长 三：对角互补且邻边相等的半角模型 【条件】如图，∠B＋∠D=180°，∠BD= 2∠EF，B=D， 【结论】①EF=BE+FD; ②E 是∠BEF 的平分线，F 是∠DFE 的平分线 1．（2022·山东·龙口市培基学校八年级期中）如图，正方形BD 的边长为6，点E，F 分别在边B，B 上，若F 是B 的中点，且∠EDF＝45°，则DE 的长为 _____． 2．（2021·全国·九年级专题练习）在 中， ，点 在 边上， ．若 ，则 的长为__________． 1．（2022·浙江·南海实验学校旌旗山初中校区八年级期末）已知：边长为4 的正方形BD，∠EF 的两边分别与射线 B、D 相交于点E、F，且∠EF＝45°，连接EF．求证：EF＝BE+DF． 思路分析： (1)如图1，∵正方形BD 中，B＝D，∠BD＝∠B＝∠D＝90°， ∴把△BE 绕点逆时针旋转90°至△DE'，则F、D、E'在一条直线上， ∠E'F＝ 度，…… 根据定理，可证：△EF≌△E'F． ∴EF＝BE+DF． 类比探究： (2)如图2，当点E 在线段B 的延长线上，探究EF、BE、DF 之间存在的数量关系，并写出证明过程； 拓展应用： (3)如图3，在△B 中，B＝，D、E 在B 上，∠B＝2∠DE．若S△B＝14，S△DE＝6，求线段BD、DE、E 围成的三角 形的面积． 2．（2022·陕西西安·七年级期末）问题背景： 如图1，在四边形BD 中 ， ， ，E、F 分别是B，D 上的点，且∠EF＝60°，探 究图中线段BE，EF，FD 之间的数量关系．小王同学探究此问题的方法是，延长FD 到点G，使DG＝BE，连接 G，先证明 ，再证明 ，可得出结论，他的结论应是______． 实际应用： 如图2，在新修的小区中，有块四边形绿化BD，四周修有步行小径，且B＝D，∠B＋∠D＝180°，在小径B，D 上 各修一凉亭E，F，在凉亭E 与F 之间有一池塘，不能直接到达，经测量得 ，BE＝10 米，DF＝15 米，试求两凉亭之间的距离EF． 3．（2022·江苏·八年级专题练习）问题情境 在等边△B 的两边B，上分别有两点M，，点D 为△B 外一点，且∠MD＝60°，∠BD＝120°，BD＝D． 特例探究 如图1，当DM＝D 时， （1）∠MDB＝ 度； （2）M 与BM，之间的数量关系为 ； 归纳证明 （3）如图2，当DM≠D 时，在的延长线上取点E，使E＝BM，连接DE，猜想M 与BM，之间的数量关系，并加 以证明． 拓展应用 （4）△M 的周长与△B 的周长的比为 ． 1．（1）如图①，在四边形 中， ， ， ， 分别是边 ， 上的点，且 ．请直接写出线段 ， ， 之间的数量关系：__________； （2）如图②，在四边形 中， ， ， ， 分别是边 ， 上的点，且 ，（1）中的结论是否仍然成立？请写出证明过程； （3）在四边形 中， ， ， ， 分别是边 ， 所在直线上的点，且 ．请画出图形（除图②外），并直接写出线段 ， ， 之间的数量关系． 2．如图，在等边三角形B 中，点E 是边上一定点，点D 是直线B 上一动点，以DE 为一边作等边三角形DEF，连 接F． （1）如图1，若点D 在边B 上，直接写出E，F 与D 之间的数量关系； （2）如图2，若点D 在边B 的延长线上，请探究线段E，F 与D 之间存在怎样的数量关系？并说明理由； （3）如图3，若点D 在边B 的延长线上，请直接写出E，F 与D 之间的数量关系．