专题04 角平分线模型的三种考法（原卷版）

专题04 角平分线模型的三种考法 类型一、角平分线上的点向两边作垂线 例1．已知，△B 中，∠B＝120°，D 平分∠B，∠BD＝60°，B＝2，＝3，则D 的长是 ． 【变式训练1】如图， 、 是四边形 的对角线， 平分 ， ，已知 ，则 ． 【变式训练2】已知： 是 的角平分线，且 ． （1）如图1，求证： ； （2）如图2， ，点E 在 上，连接 并延长交 于点 ， 交的延长线 于点 ，且 ，连接 ． ①求证： ； ②若 ，且 ，求 的长． 【变式训练3】在平面直角坐标系中，点的坐标是 ，点B 的坐标 且，b 满足 ． （1）求、B 两点的坐标； （2）如图（1），点为x 轴负半轴一动点， ， 于D，交y 轴于点E，求 证： 平分 ． （3）如图（2），点F 为 的中点，点G 为x 正半轴点 右侧的一动点，过点F 作 的 垂线 ，交y 轴的负半轴于点，那么当点G 的位置不断变化时， 的值是否 发生变化?若变化，请说明理由；若不变化，请求出相应结果． 类型二、过边上的点向角平分线作垂线构造等腰三角形 例．已知： 中， 为 的中点， 平分 于 ，连结 ，若 ，求 的长． 【变式训练1】已知：等腰直角三角形B 中，∠B=90°；=B；∠1= 3 ∠；BE D ⊥． 求证：BE= D． 【变式训练2】如图，在△B 中，∠=90°，B=，D 是上一点，E⊥BD 交BD 的延长线于E，E= BD，且DF⊥B 于F，求证：D=DF 类型三、利用角平分线的性质，在角两边截长补短 例．如图，在 中， ， 平分 交 于 ，求证： 【变式训练1】如图所示，在 中， ， 是 的角平分线， 交于点 ，求证： ． 【变式训练2】阅读下面材料：小明遇到这样一个问题: 如图一，△B 中，∠=90°，B=，BD 平分∠B，猜想线段D 与D 数量关系小明发现可以用下面 方法解决问题:作DE B ⊥交B 于点E： (1)根据阅读材料可得D 与D 的数量关系为__________ (2)如图二，△B 中，∠=120°，B=，BD 平分∠B，猜想线段D 与D 的数量关系，并证明你的猜 想 (3)如图三，△B 中，∠=100°，B=，BD 平分∠B，猜想线段D 与BD、B 的数量关系，并证明 你的猜想 【变式训练3】如图，已知B（-1，0），（1，0），为y 轴正半轴上一点，点D 为第二象 限一动点，E 在BD 的延长线上，D 交B 于F，且∠BD= B ∠． （1）求证：∠BD= D ∠； （2）求证：D 平分∠DE； （3）若在点D 运动的过程中，始终有D=D+DB，在此过程中，∠B 的度数是否变化？如果变 化，请说明理由；如果不变，请求出∠B 的度数． 【变式训练4】如图1，点、D 在y 轴正半轴上，点B、分别在x 轴上， 平分 与y 轴交于D 点， ． (1)求证： ； (2)在（1）中点的坐标为 ，点E 为 上一点，且 ，如图2，求 的长； (3)在（1）中，过D 作 于F 点，点为 上一动点，点G 为 上一动点，（如图 3），当点在 上移动、点G 在 上移动时，始终满足 ，试判断 、 、 这三者之间的数量关系，写出你的结论并加以证明． 课后训练 1．如图，在 中， ， 、 分别是 、 的平分线， 、 相交于点 ，试判断 和 之间的数量关系 2．如图，在 中， ， 平分 ，交 于 ， 于 ，求 证： 3．如图，在 中， ， ， 是 的平分线，延长 至点 ， ，试求 的度数． 4．如图1，在 中， 是 边的中线， 交 延长线于点 ， ． （1）求证 ； （2）如图2， 平分 交 于点 ，交 于点 ，若 ， ， 求 的值． 5．如图，在 中， 为 边上的高， 是 的角平分线，点F 为 上一点， 连接 ， ． (1)求证： 平分 ； (2)连接 交 于点G，若 ，求证： ； (3)在（2）的条件下，当 ， 时，求线段 的长． 6．已知 中， 平分 ， 交 于点 ， 平分 ，交 于点 ， 与 交于点 ． (1)如图，求证： ． (2)如图 ，连接 ，求证： 平分 ． (3)如图，若 ， ， ，求 的值． 7．已知：在 和 中， ， ， ． (1)如图1，，，D 在同一直线上，延长 交 于F，求证： ； (2)如图2， 与 交于F，G 在 上，若 平分 ，求证：点在直线 上．