专题09 三角形中的重要模型之垂美四边形与378、578模型解读与提分精练（全国通用）（解析版）

专题09 三角形中的重要模型之垂美四边形与378、578 模型 全等三角形在中考数学几何模块中占据着重要地位，也是学生必须掌握的一块内容，本专题就对角互 补模型进行梳理及对应试题分析，方便掌握。 大家在掌握几何模型时，多数同学会注重模型结论，而忽视几何模型的证明思路及方法，导致本末倒 置。要知道数学题目的考察不是一成不变的，学数学更不能死记硬背，要在理解的基础之上再记忆，这样 才能做到对于所学知识的灵活运用，并且更多时候能够启发我们解决问题的关键就是基于已有知识、方法 的思路的适当延伸、拓展，所以学生在学习几何模型要能够做到的就是：①认识几何模型并能够从题目中 提炼识别几何模型；②记住结论，但更为关键的是记住证明思路及方法；③ 明白模型中常见的易错点，因 为多数题目考察的方面均源自于易错点。当然，以上三点均属于基础要求，因为题目的多变性，若想在几 何学习中突出，还需做到的是，在平时的学习过程中通过大题量的训练，深刻认识几何模型，认真理解每 一个题型，做到活学活用！ .................................................................................................................................................2 模型1 垂美四边形模型................................................................................................................................... 2 模型2378 和578 模型....................................................................................................................................33 ...............................................................................................................................................42 模型1 垂美四边形模型 垂美四边形的定义：对角线互相垂直的四边形叫做“垂美”四边形。 图1 图2 图3 图4 条件：如图1，已知四边形BD，对角线、BD 交于点，且⊥BD； 结论：①B2+D2＝D2+B2；②“垂美”四边形的面积等于对角线乘积的一半，即S 四边形BD= ∙BD。 证明：∵⊥BD，∴∠D＝∠B＝∠B＝∠D＝90°， 由勾股定理得， ， ， ∴ ；∵⊥BD，∴S△B= ∙B ，S△D= ∙D ∴S 四边形BD=S△B+S△D= ∙B+ ∙D= ∙BD。 条件：如图2，在矩形BD 中，P 为D 边上有一点，连接P、BP； 结论：DP2+BP2=P2+P2 证明：∵四边形BD 是矩形，∴∠DP＝∠BP＝90°，D=B， 由勾股定理得， ， ， ∴ ，∴ 。 条件：如图3（或图4），在矩形BD 中，P 为矩形内部（外部）任意一点，连接P、BP，P，DP； 结论：P2+P2=DP2+BP2 证明：过点 作 的垂线，交 于点 ，交 于点 ，则四边形 和 为矩形， ，由勾股定理得：则 ， ， ， ．（图4 的证明和图3 证明相同） 用处：①对角线垂直的四边形对边的平方和相等；②已知三边求一边的四边形，可以联想到垂美四边形。 例1．（23-24 八年级上·河北保定·期中）对角线互相垂直的四边形叫做“垂美”四边形，现有如图所示的 “垂美”四边形 ，对角线 交于点 ．若 ， ，则 等于（ ） ． B． ． D． 【答】 【分析】根据垂美四边形的性质，勾股定理的运用即可求解，本题主要考查勾股定理的运用，掌握勾股定 理的计算是解题的关键． 【详解】解：∵四边形 是“垂美”四边形，即 ， ∴在 中， ，在 中， ， ∴ ， 在 中， ，在 中， ， ∴ ，∴ ，故选： ． 例2．（23-24 九年级上·天津·期末）如图，四边形 两条对角线 互相垂直，且 ． 设 ， (1)用含 的式子表示： _____________；(2)当 四边形的面积为 时，求 的长； 【答】(1) (2) 【分析】（1）根据 进行求解即可； （2）根据（1）所求，代入 进行求解即可． 【详解】（1）解：如图所示，设 交于点， ∵ ， ， ∴ ，∵四边形 两条对角线 互相垂直， ∴ ，故答为； ； （2）解：由题意得 ，∴ ，解得 或 （舍去） ∴ ． 【点睛】本题主要考查了三角形面积，一元二次方程的应用，正确列出四边形的面积关系式是解题的关键． 例3．（2023·江苏盐城·一模）如图，四边形 的对角线 和 互相垂直， ，则四边 形 面积最大值为 ． 【答】 【分析】本题考查了二次函数最值以及四边形面积求法．直接利用对角线互相垂直的四边形面积求法得出 ，再利用配方法求出二次函数最值． 【详解】解：设 ，四边形 的面积为S，∵ ，∴ ， ∵四边形 的对角线 和 互相垂直，∴ ， ∴当 时，S 取得最大值，最大值为 ，即四边形 面积最大值为 ．故答为： ． 例4．（2024·陕西·一模）已知矩形BD 中有一点P，满足P＝1，PB＝2，P＝3，则PD＝ ． 【答】 【分析】由BD 是矩形，过P 作G B 交B、D 于点G、，过P 作EF B 交D、B 于点E、F，在所形成的 直角三角形中，由勾股定理得出P2+P2=BP2+DP2，从而求出DP． 【详解】解：过点P 作G B 交B、D 于点G、，过点P 作EF B 交D、B 于点E、F， 设E=BF=，G=D=，GB==b，ED=F=d ， ， ， P＝1，PB＝2，P＝3， 即 （负值已舍去）故答为： ． 【点睛】本题考查了四边形的综合题，矩形的性质，勾股定理，关键是利用勾股定理列方程组． 例5．（23-24 八年级下·浙江宁波·期中）定义：对角线互相垂直的四边形叫做“垂美”四边形． 了解性质：如图1：已知四边形 中， ．垂足为 ，则有： ； 性质应用：（1）如图1，四边形 是垂美四边形，若 ， ， ，则 ； 性质变式：（2）如图2，图3，P 是矩形 所在平面内任意一点，则有以下重要结论： ．请以图3 为例将重要结论证明出来． 应用变式：（3）①如图4，在矩形 中，为对角线交点，P 为 中点，则 ；（写出 证明过程）；②如图5，在 中， ， ，D 是 内一点，且 ， ，则 的最小值是 ． 【答】（1） ；（2）证明见解析；（3）①证明见解析；② 【分析】本题是四边形综合题，考查了新定义“垂美”四边形、直角三角形的性质、勾股定理等知识； （1）由勾股定理可得出答；（2）过 作 于 ，交 的延长线于 ，由（1）性质可知： ，由勾股定理可得出答；（3）以 、 为边作矩形 ，连接 、 ， 由矩形的性质得出 ，由题意得 ，求出 ，当 、 、 三点共线 时， 最小，得出 的最小值 的最小值 ． 【详解】（1）解：如图1，四边形 是垂美四边形， ， ， ， ， ， ．故答为： ； （2）证明：过 作 于 ，交 的延长线于 ， 由（1）性质可知： ， 即： ， 又 由勾股定理可知： ， ，即 ； （3）解：①设 ，则 ，由（2）可得 ， ， ； ②以 、 为边作矩形 ，连接 、 ，如图所示： 则 ，由题意得： ，即 ，解得： ， 当 、 、 三点共线时， 最小， 的最小值 的最小值 ；故答为： ． 例6．（23-24 八年级下·江西赣州·期末）如图1，对角线互相垂直的四边形叫做垂美四边形． （1）概念理解：如图2，在四边形BD 中，B＝D，B＝D，问四边形BD 是垂美四边形吗？请说明理由； （2）性质探究：如图1，四边形BD 的对角线、BD 交于点，⊥BD．经探究发现垂美四边形BD 的两组对 边B2，D2和D2，B2有一定的数量关系，请你猜想有何种数量关系？并证明． （3）解决问题：如图3，分别以Rt△B 的直角边和斜边B 为边向外作正方形FG 和正方形BDE，连结E、 BG、GE．已知＝4，B＝5，求GE 的长． 【答】（1）四边形BD 是垂美四边形，证明见解析；（2）D2+B2＝B2+D2，证明见解析；（3）GE＝ 【分析】（1）根据垂直平分线的判定定理证明即可；（2）根据垂直的定义和勾股定理解答即可； （3）根据垂美四边形的性质、勾股定理、结合（2）的结论计算． 【详解】解：（1）四边形BD 是垂美四边形．证明：连接BD、 ∵B＝D，∴点在线段BD 的垂直平分线上， ∵B＝D，∴点在线段BD 的垂直平分线上， ∴直线是线段BD 的垂直平分线， ∴⊥BD，即四边形BD 是垂美四边形； （2）猜想：D2+B2＝B2+D2 证明：∵⊥BD， ∴∠D＝∠B＝∠B＝∠D＝90°， 由勾股定理得，D2+B2＝2+D2+B2+2，B2+D2＝2+B2+2+D2， ∴D2+B2＝B2+D2； （3）连接G、BE， ∵∠G＝∠BE＝90°，∴∠G+∠B＝∠BE+∠B，即∠GB＝∠E， 在△GB 和△E 中， ，∴△GB △ ≌E（SS）， ∠ ∴ BG＝∠E，又∠E+∠ME＝90°，∴∠BG+∠BM＝90°，即E⊥BG， ∴四边形GEB 是垂美四边形，由（2）得，G2+BE2＝B2+GE2， ∵＝4，B＝5，∴B＝3，G＝4 ，BE＝5 ， ∴GE2＝G2+BE2﹣B2＝73，∴GE ． 【点睛】本题考查正方形的性质、全等三角形的判定和性质、垂直的定义、勾股定理的应用，正确理解垂 美四边形的定义、灵活运用勾股定理是解题关键． 例7．（2024·山东德州·一模）我们把两条中线互相垂直的三角形称为“中垂三角形”．例如图1，图2， 图3 中， 是 的中线， ，垂足为 ．则称 为“中垂三角形”．设 ． (1)①如图1，当 ， 时， ______． ______． ②如图2，当 时，求 和 的值． (2)请猜想 、 和 三者之间的数量关系，并结合图3 写出证明过程． (3)如图4，在边长为3 的菱形 中， 为对角线 、 的交点， 分别为线段 的中点， 连接 并延长交于点 分别交 于点 ，求 的值． 【答】(1)① ；② (2)关系为： ，见解析证明(3)15 【分析】本题为四边形综合题，考查了三角形相似、中位线等知识，其中（3），直接利用（2）的结论是 本题的新颖点和突破点．（1）在图1 中， ，即可求解；同理可得： ； （2） ，则 ， 即可求解；（3）证明： ，则 ，即可求解． 【详解】（1）解：如图1、2、3、4，连接 ， ∵ 是 的中线，∴ 是 的中位线， ∴ ， ，∴ ， ∵ ，则在图1 中， ， 由此得： ， ； 在图2 中， ， ， 由此得： ， ， ， ，则 ； （2）关系为： ， 证明：如图3，设： ，则： ， 由（1）得： ， ， ， ， 则 ； （3）根据题意可得 ，∴ ，∴ ， ， ∵ 分别为线段 的中点，∴ 是 的中位线， ∴ ，则 ，∴ ， ∴ ，∴ ，∴ ，∴ 分别是 中点， ， ， ， ， ， ， ∵ 分别是 中点，∴ 是 的中线，∴ 是“中垂三角形”， 由（2）得 ，即 ，则 ． 模型2378 和578 模型 378 和578 模型：边长为3、7、8 或5、7、8 的三角形（如图1）。 当我们遇到两个三角形的三边长分别为 3，7，8 和 5，7，8 的时候，通常不会对它们进行处理，实际是因 为我们对于这两组数字不敏感，但如果将这两个三角形拼在一起，你将惊喜地发现这是一个边长为 8 的等 边三角形。 图1 图2 图3 图4 条件：当两个三角形的边长分别为3，7，8 和5，7，8 时； 结论：①这两个三角形的面积分别为 、 ；②3、8 与5、8 夹角都是60°；③将两个三角形长为7 的边拼在一起，恰好组成一个边长为8 的等边三角形。 证明：如图2，过点作M⊥B 于点M，设BM=x 则M=3+x，∴∠MB=90°， 在Rt∆M 中：M2 =2 - M2，在Rt∆BM 中：M2 =B2 - BM2， ∴2 - M2 = B2 - BM2，即82 -（3+x）2 = 72 - x2，解得x=1，∴M =4，∴M = ， ∴S∆B= B•M = 1 2 •3• = ，∵M =4，=8，∠M=30°，∠M=60°。 如图3，过点F 作F⊥DE 于点，设D=x 则E=5-x，∴∠FD=90°， 在Rt∆DF 中：F2 =DF2 - D2， 在Rt∆EF 中：F2 =EF2 - E2， ∴DF2-D2 =EF2-E2，即72-x2 =82 -（5-x）2 ，解得x=1，E=4，∴F = ， ∴S∆DEF= •DE•F = •5• = ，∵E =4，EF=8，∠EF=30°，∠FE=60°。 ∴M =F = ，∠MB=∠FD=90°，∵B =DF=7，∴Rt∆BM ≌Rt∆DF，∴∠BM=∠FD， ∠ ∵ BM+∠B=180°，∴∠FD+∠B=180°，∵ =EF =8。 ∴将两个三角形长为7 的边拼在一起，恰好组成一个边长为8 的等边三角形（如图4）。 例1．（2023·浙江温州·九年级校考期末）边长为5，7，8 的三角形的最大角和最小角的和是（ ）． ．90° B．150° ．135° D．120° 【答】D 【分析】法1：拼成一个边长为8 的等边三角形，即可求解。法2：设△B 的三边B=5，=7，B=8，过点作 D⊥B 于点D，设BD=x，分别在Rt△DB 和Rt△D 中，利用勾股定理求得D，从而可建立方程，求得x 的值， 可求得∠B，因此可得最大角和最小角的和． 【详解】法1：∵△B 的边长为5，7，8， ∴其可以和边长为3，7，8 的三角形拼成一个边长为8 的等边三角形， 又由三角形中大边对大角，可知边长为7 的边所对的角为 60°， 所以最大角和最小角的和是 120°故选D 法2：设△B 的三边B=5，=7，B=8，过点作D⊥B 于点D，如图 设BD=x，则D=8-x 在Rt△DB 中，由勾股定理得： ；在Rt△D 中，由勾股定理得： 则得方程： 解得： 即 ∵ ，D⊥B ∠ ∴ BD=30゜∴∠BD=90゜-∠BD=60゜∴∠B+∠=180゜-∠BD=120゜ ∵B>>B ∠ ∴ B>∠BD>∠故最大角与最小角的和为120゜故选：D． 【点睛】本题考查了勾股定理，解一元一次方程，大角对大边等知识，关键是作最大边上的高，从而为勾 股定理的使用创造了条件． 例2．（2023·江苏·八年级专题练习）已知在△B 中，B＝8，＝7，B＝3，则∠B＝（ ）． ．45° B．37° ．60° D．90° 【答】 【分析】法1：拼成一个边长为8 的等边三角形，即可求解。法2：过点作 交B 延长线于点D， 设D=x，则B=3+x，在 和 中，利用勾股定理求出 ，可求出D 的长，从而得到BD 的 长，然后利用直角三角形的性质即可求解． 【详解】法1：∵△B 的边长为3，7，8， ∴其可以和边长为5，7，8 的三角形拼成一个边长为8 的等边三角形， 如图，观察图形可知∠B 为等边三角形的一个内角，所以∠B=60°故选 法2：如图，过点作 交B 延长线于点D， ∵在△B 中，B＝8，＝7，B＝3，可设D=x，则B=3+x， 在 中， ，在 中， ， ∴ ，解得： ，∴B=3+x=4， ∴在 中， ，∴ ，∴ ．故选 ． 【定睛】本题主要考查了勾股定理及直角三角形的性质，熟练掌握直角三角形中若一条直角边等于斜边的 一半，则这条直角边所对的锐角等于 是解题的关键． 例3．（2023·绵阳市·八年级专题练习）如图，△B 的边B＝8，B＝5，＝7．求B 边上的高． 解：作D⊥B 于D， 由勾股定理得，D2＝B2﹣BD2，D2＝2﹣D2， ∴B2﹣BD2＝2﹣D2，即82﹣（5﹣D）2＝72﹣D2，解得，D＝1， 则B 边上的高D＝ ＝4 ． 另解：可以和三边长为 3，7，8 的三角形拼成一个边长为8 的等边三角形，从而求解。 例4．（2023 八年级上·江苏·专题练习）已知在 中， ， ， ，则 的面积为 （ ） ． B． ． D． 【答】 【分析】设 ，在 和 中根据勾股定理表示出 和 ，列 出方程求出 ，代入求出 的值，再根据三角形的面积公式求出面积即可． 【详解】解：如图，过 作 ，垂足为 ．设 ，则 ， ∵在 和 中， ， ，解得 ， ． ．故选：． 另解：可以和三边长为 3，7，8 的三角形拼成一个边长为8 的等边三角形，从而求解。 【点睛】本题考查了勾股定理以及三角形的面积公式，熟练掌握利用勾股定理表示相应线段之间的关系是 解题的关键． 例5．（23-24 九年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）在 中， ， ， ，则 的长 为 ． 【答】5 或3 【分析】分当 是锐角三角形时，当 是钝角三角形时两种情况，过点作 于D，利用含 30 度角的直角三角形的性质和勾股定理分别求出 的长即可得到答． 【详解】解：如图所示，当 是锐角三角形时，过点作 于D， ∵ ，∴ ，∴ ，∴ ， ∴ ，∴ ； 如图所示，当 是钝角三角形时，过点作 于D， ∵ ，∴ ，∴ ， ∴ ，∴ ，∴ ； 综上所述， 的长为5 或3，故答为：5 或3． 【点睛】本题考查了勾股定理，含30 度角的直角三角形的性质，利用分类讨论的思想求解是解题的关键． 1．（2023·湖北武汉·九年级校考阶段练习）如图，四边形 的两条对角线互相垂直，、BD 是方程 的两个解，则四边形 的面积是（ ） ．60 B．30 ．16 D．32 【答】B 【分析】对角线互相垂直的四边形的面积等于对角线乘积的一半，二次方程的两根乘积可以利用韦达定理 快速求解即可． 【详解】由题意可知：四边形 的面积 ∵、BD 是方程 的两个解， ∴ ，四边形 的面积 ， 故答为：B． 【点睛】本题考查对角线互相垂直的四边形的面积计算及二次方程根与系数的关系，知道利用对角线的成 绩计算面积是解题关键． 2．（23-24 八年级下·安徽合肥·期末）点P 是矩形 内一点，且满足 ， ， ，则 的值为（ ） ．3 B．5 ． D． 【答】D 【分析】本题考查了矩形的性质与判定，勾股定理，正确的添加辅助线是解题的关键． 过点 向矩形的四边分别作垂线，垂直分别为 ，根据题意，设