专题14 三角形中的重要模型之帽子模型、等边截等长与等边内接等边模型解读与提分精练（全国通用）（解析版）

专题14 三角形中的重要模型之帽子模型、等边截等长与等边内接等边模型 等腰（等边）三角形是中学阶段非常重要三角形，具有许多独特的性质和判定定理。中考数学的常客， 并且形式多样，内容新颖，能较好地考查同学们的相关能力。本专题将把等腰三角形的三类重要模型作系 统的归纳与介绍，方便大家对它有个全面的了解与掌握。 .................................................................................................................................................2 模型1 等腰三角形中的重要模型-帽子模型（长短手模型）......................................................................2 模型2 等边截等长模型（定角模型）.........................................................................................................8 模型3 等边内接等边....................................................................................................................................12 ...............................................................................................................................................18 模型1 等腰三角形中的重要模型-帽子模型（长短手模型） 帽子模型，其实是等腰三角形独特性质的应用，因为模型很像帽子，学习知识点的同时也增加了趣味性。 条件：如图，已知B=，BD=E，DG⊥B 于G，结论：①DF=FE；② 。 证明：如图，过点D 作 交 于，则 ， ， ∵ ，∴ ，∴ ，∴ ，∵ ，∴ ， 在 和 中, ，∴ ，∴ ； ∵ ，∴ ，∵ ， ，∴ ， ∴ ，∴ ． 例1．（23-24 八年级上·广东中山·期末）如图， 中， ， ， 点P 从点B 出发沿线段 移动到点停止，同时点Q 从点出发沿 的延长线移动，并与点 P 同时停止． 已知点 P，Q 移动的速 度相同，连接 与线段 相交于点D(不考虑点 P 与点，B 重合时的情况)． (1)求证: ；(2)求证: ；(3)如图，过点P 作 于点E，在点P，Q 移动的过程 中，线段 的长度是否变化?如果不变，请求出这个长度；如果变化，请说明理由． 【答】(1)见解析(2)见解析(3) 为定值5，理由见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，平行线的性质，线段的和差， 准确作出辅助线找出全等三角形是解题关键． （1）利用 、 的移动速度相同，得到 ，利用线段间的关系即可推出 ；（2）过 点P 作 ，交 于点F，利用等边对等角结合已知可证 ，即可得出结论； （3）过点P 作 ，交 于点F，由（2）得 ，可知 为等腰三角形，结合 ， 可得出 即可得出 为定值． 【详解】（1）证明： 、 的移动速度相同， ， ， ； （2）如图，过点P 作 ，交 于点F， ， ， ， ， ， ，由（1）得 ， ， 在 与 中， ， ， ； （3）解： 为定值5，理由如下：如图，过点P 作 ，交 于点F， 由（2）得： ， 为等腰三角形， ， ，由（2）得 ， ， ， 为定值5． 例2．（24-25 九年级上·山西临汾·阶段练习）综合与探究 问题情境：在 中， ，在射线 上截取线段 ，在射线 上截取线段 ，连结 ， 所在直线交直线 于点M． 猜想判断：（1）当点D 在边 的延长线上，点E 在边 上时，过点E 作 交 于点F，如图 ①．若 ，则线段 、 的大小关系为_______． 深入探究：（2）当点D 在边 的延长线上，点E 在边 的延长线上时，如图②．若 ，判断线 段 、 的大小关系，并加以证明． 拓展应用：（3）当点D 在边 上（点D 不与 、 重合），点E 在边 的延长线上时，如图③．若 ， ， ，求 的长． 【答】（1） ；（2） ，理由见解析；（3） 【分析】（1）过点E 作 交 于点F，证明 即可得解； （2）过点E 作 交 的延长线于点F，证明 即可得解； （3）过点E 作 交 的延长线于点F，证明 ，由相似三角形的性质即可得解． 【详解】（1）解： ，理由如下：过点E 作 交 于点F， ∵ ， ，∵ ， ， ， ，∵ ，∴ ， 在 和 中， ，∴ ，∴ ； （2）解： 理由如下：如图，过点E 作 交 的延长线于点F， ∵ ， ， ， 在 和 中， ，∴ ， ； （3）解：如图，过点E 作 交 的延长线于点F ∵ ， ， ， ， ． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质、平 行线的性质等知识点，熟练掌握以上知识点并灵活运用，添加适当的辅助线是解此题的关键． 例3．（2024·贵州铜仁·模拟预测）如图，过边长为6 的等边△B 的边B 上一点P，作PE⊥于E，Q 为B 延 长线上一点，连PQ 交边于D，当P＝Q 时，DE 的长为（ ） ．1 B．2 ．3 D．4 【答】 【分析】根据题意过P 作B 的平行线，交于M；则△PM 也是等边三角形，在等边三角形PM 中，PE 是M 上的高，根据等边三角形三线合一的性质知E＝EM；易证得△PMD △ ≌QD，则DM＝D；此时发现DE 的长 正好是的一半，由此得解． 【详解】解：过P 作PM∥B，交于M， △ ∵B 是等边三角形，且PM∥B，∴△PM 是等边三角形； 又∵PE⊥M，∴E＝EM＝ M；（等边三角形三线合一） ∵PM∥Q，∴∠PMD＝∠QD，∠MPD＝∠Q； 又∵P＝PM＝Q，在△PMD 和△QD 中， ， △ ∴PMD △ ≌QD（S）；∴D＝DM＝ M； ∴DE＝DM+ME＝ （M+M）＝ ＝3．故选：． 【点睛】本题考查平行线的性质、等边三角形的性质、全等三角形的判定和性质；能够正确的构建出等边 三角形△PM 是解答此题的关键． 例4．（2024·河南·校考一模）问题背景：已知在 中，边B 上的动点D 由向B 运动(与，B 不重合)， 同时点E 由点沿B 的延长线方向运动(E 不与重合)，连接DE 交于点F，点是线段F 上一点，求 的值． （1）初步尝试：如图①，若 是等边三角形， ，且点D､E 的运动速度相等，小王同学发现 可以过点D 作 交于点G，先证 ，再证 ，从而求得 的值为________； （2）类比探究：如图②，若 中， ，且点D，E 的运动速度之比 是 ，求 的值； （3）延伸拓展：如图③，若在 中， ，记 ，且点D､E 的运动 速度相等，试用含m 的代数式表示 的值(直接写出结果，不必写解答过程)． 【答】（1）2；（2）2；（3） 【详解】解：（1）2； 【解法提示】如解图①，过点D 作 交于点G， 图① 图② 图③ △ ∵B 是等边三角形，∴△GD 是等边三角形， ∴ ，由题意知 ，∴ ， ∵ ，∴ ， 在 与 中， ，∴ ，∴ ， ∵ ，∴ ，∴ ， ，∴ ； （2）如解图②，过点D 作 交于点G，则 ， ∵ ，∴ ， ， ，∴△DG 为等边三角形，∴ ， ． 由题意可知， ．∴ ．∵ ，∴ ． 在 与 中， ，∴ ，∴ ． ，即 ，∴ ，即 ； （3） ．如解图③，过点D 作 交于点G， 易得 ， ， ． 在 中，∵ ， ， ∴ ， ， ，∴ ， ∵ ，∴ ． ∴ ，∴ ．由 可得 ． ∵ ，∴ ．∴ ． ∴ ，即 ．∴ ． 模型2 等边截等长模型（定角模型） 条件：如图，在等边 中，点 ， 分别在边 ， 上，且 ， 与 相交于点 ， 于点 ．结论：① ；②D=BE；③ ；④BQ=2PQ。 证明：在等边三角形 中， ， ， 在 和 中， ， ，∴D=BE，∠D=∠BE； ． ， ，∴BQ=2PQ． 例1．（2024·四川宜宾·中考真题）如图，点D、E 分别是等边三角形 边 、 上的点，且 ， 与 交于点F．求证： ． 【答】见解析 【分析】本题考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定与性质，根据等边三角形的性质得出 ， ，然后根据 证明 ，根据全等三角形的性质即可得证． 【详解】证明∶∵ 是等边三角形，∴ ， ， 又 ，∴ ，∴ ． 例2．（2024 八年级·重庆·培优）如图， 为等边三角形，且 与 相交于点 ，则 （ ）． ．等于 B．等于 ．等于 D．大小不确定 【答】B 【分析】本题考查了等边三角形的性质，三角形全等的判定和性质，三角形外角性质的应用，先证明 ，得到 ，在三角形外角性质求解即可． 【详解】∵等边 ，∴ ， ∵ ，∴ ，∴ ， ∵ ，∴ ，故选B． 例3．（23-24 八年级·广东中山·期中）如图，在等边 中，点 分别在边 上，且 ， 与 相交于点 ， 于点 ．(1)求证： ；(2)若 ，求 的长． 【答】(1)见解析(2)8 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质、含 角的直角三角形的性质、等边三角形的性质，熟练 掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键．（1）证明 即可得证； （2）求出 ，再根据含 角的直角三角形的性质即可得出答． 【详解】（1）证明：∵ 为等边三角形，∴ ， 在 和 中 ，∴ ，∴ ． （2）解：∵ ，∴ ，∴ ， 又∵ ，∴ ，∴ ，∴ ，又∵ ，∴ ． 例4．（2023·浙江杭州·模拟预测）如图，在等边三角形 的 ， 边上各取一点 ， （均不与端 点重合），且 ， ， 相交于点 ，下列结论不正确的是（ ） ． B． ．若 ， ，则 D．若 ， ，则 【答】D 【分析】先根据等边三角形的性质得 ， ，据此可判定 和 全等，从而 得 ，然后根据三角形的外角定理可求出 ，由此可求出 的度数，进而可对 结论 进行判定；由 和 全等可得出 ，据此可判定 和 相似，进而根 据相似的性质可对结论B 进行判定；过 作 于点 ，根据等边三角形的性质 ， ，然后分别用勾股定理求出 ，进而再求出 ，最后可求出 ，由此可对结论进行判定； 设 ， ，则 ， ， ， ，先由结论正确得出 ，过点 作 于点 ，则 ，然后在 中利用勾股定理求出 ，最后在 中再利用勾股定理可求出 ， 之间的关系，从而可对结论D 进行判定． 【详解】解： 为等边 ， ， ， 在 与 中， ， ， ， ， ，因此结论正确； ，即： ， 又 ， ， ， ，因此结论B 正确；过 作 于点 ， 为等边 ， ， ， ， ， 在 中， ， ，由勾股定理得： ， 在 中， ， ，由勾股定理得： ， ，因此结论正确；设 ， ，则 ， ， ， ， ， ，过点 作 于点 ， ， 在 中， ， ， 由勾股定理得： ， 在 中， ， ， 由勾股定理得： ，即： ， ， 将 代入上式得： ， 整理得： ，因此结论D 不正确．故选D． 【点睛】此题考查了相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，等边三角形的性质，勾股定理 的应用等，解答此题的关键是熟练掌握似三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，难点是灵活运 用勾股定理进行相关的计算． 模型3 等边内接等边 图1 图2 1）等边内接等边（截取型） 条件：如图1，等边三角形B 中，点D，E，F 分别在边B，B，上运动，且满足D=BE=F； 结论：三角形DEF 也是等边三角形。 证明：∵ 是等边三角形，∴ ， ． ∵ ，∴ ． 在 和 中， ∴ （ ）， ∴ ．同理 ，∴ ，∴ 是等边三角形． 2）等边内接等边（垂线型） 条件：如图，点 、 、 分别在等边 的各边上，且 于点 ， 于点 ， 于点 ，结论：三角形DEF 也是等边三角形。 证明： 是等边三角形， ， ， ， ， ， ， ， 是等边三角形， 例1．（2024 七年级下·成都·专题练习）如图，过等边三角形 的顶点 、 、 依次作 、 、 的垂线 、 ，三条垂线围成 ，若 ，则 的周长为（ ） ．12 B．18 ．20 D．24 【答】B 【分析】本题主要考查了等边三角形的判定和性质，三角形全等的判定和性质，含30 度的直角三角形的性 质，先证明 是等边三角形．得出 ．根据直角三角形的性质求出 ，证明 ，得出 ，求出 ，最后求出结果即可． 【详解】解：∵ ，∴ ， ∵ 是等边三角形，∴ ，∴ ， ∴ ，同理： ，∴ 是等边三角形．∴ ． 在 中， ，∴ ，∴ ，∵ ，∴ ， 在 与 中， ，∴ ∴ ，∴ ，∴ 的周长为 ．故选：B． 例2．（24-25 九年级上·四川成都·阶段练习）如图，已知等边三角形 ，点 ， ， 分别为边 上的黄金分割点（ ， ， ），连接 ， ， ，我们称 为 的“内含黄金三角形”，若在 中任意取点，则该点落在“内含黄金三角形”中的概 率是 ． 【答】 【分析】本题主要考查全等三角形的判定和性质，黄金分割点的计算，概率的计算方法， 根据题意，设 ，可得等边 的面积，根据黄金分割点可得 ， ，可证 ，可得 ，根据图形面积可得 ，再 根据概率的计算方法即可求解． 【详解】解：∵ 是等边三角形，∴ ，设 ， 如图所示，过点 作 于点 ， ∴在 中， ， ∴ ， ，∴ ， ∵点 分别是 的黄金分割点，∴ ， ∴ ，∴ ， ∴ ，则 ， 如图所示，过点P1作 于点 ，∴在 中， ， ∴ ，∴ ， ∴ ， ∴ ， ∴ ，故答为： ． 例3．（23-24 八年级下·广东云浮·期中）如图，点P，M，分别在等边三角形 的各边上，且 于点P， 于点M， 于点．(1)求证： 是等边三角形；(2)若 ，求 的长． 【答】(1)证明见解析(2) 【分析】（1）先求得 ． 得 ．则 ，再求得 ． 即可得到结论； （2）由 得到 ．由 得到 ，则 ．由 得到 ．即可得到答． 【详解】（1）证明：∵ 是等边三角形，∴ ． ∵ ，∴ ． ∴ ． ∴ ．∴ 是等边三角形． （2）解：∵ 是等边三角形，∴ ． 在 和 中， ，∴ ．∴ ． ∵ ，∴ ．∴ ． ∵ ，∴ ．∴ ． 【点睛】此题考查了等边三角形的判定和性质、全等三角形的判定和性质、含 角的直角三角形的性质 等知识，证明 是等边三角形是解题的关键． 例4．（2023·广西·中考真题）如图， 是边长为4 的等边三角形，点D，E，F 分别在边 ， ， 上运动，满足 ．(1)求证： ；(2)设 的长为x， 的面积为y，求y 关于x 的函数解析式；(3)结合（2）所得的函数，描述 的面积随 的增大如何变化． 【答】(1)见详解(2) (3)当 时， 的面积随 的增大而增大，当 时， 的面积随 的增大而减小 【分析】（1）由题意易得 ， ，然后根据“ ”可进行求证； （2）分别过点、F 作 ， ，垂足分别为点、G，根据题意可得 ， ， 然后可得 ，由（1）易得 ，则有 ， 进而问题可求解；（3）由（2）和二次函数的性质可进行求解． 【详解】（1）证明：∵ 是边长为4 的等边三角形， ∴ ， ，∵ ，∴ ， 在 和 中， ，∴ ； （2）解：分别过点、F 作 ， ，垂足分别为点、G，如图所示： 在等边 中， ， ， ∴ ，∴ ， 设 的长为x，则 ， ， ∴ ，∴ ， 同理（1）可知 ，∴ ， ∵ 的面积为y，∴ ； （3）解：由（2）可知： ，∴ ，对称轴为直线 ， ∴当 时，y 随x 的增大而增大，当 时，y 随x 的增大而减小； 即当 时， 的面积随 的增大而增大，当 时， 的面积随 的增大而减小． 【点睛】本题主要考查锐角三角函数、二次函数的综合及等边三角形的性质，熟练掌握锐角三角函数、二 次函数的综合及等边三角形的性质是解题的关键． 1．（23-24 九年级上·山西晋中·阶段练习）如图， 是等边三角形，点D，E 分别在 ， 上，且 ， ， 与 相交于点F，则下列结论：① ，② ， ③ ．其中正确的有（ ） ．3 个 B．2 个 ．1 个 D．0 个 【答】 【分析】由 是等边三角形，求得 ，证明 ，得到 ，即可求得 ，故①正确；由 ，证明 ，即可得到 ， 故②正确；由 ， ，证明 ，即可求得 ， 故③正确； 【详解】∵ 是等边三角形， ∴ ， ， ∵ ， ， ∴ ，且 ， ， ∴ ， ∴ ， ∵ ， ∴ ， ∵ 是 的外角， ∴ ， ∴①正确； ∵ ， ， ∴ ， ∴ ， ∴ ， ∴ ， ∴②正确； ∵ ， ， ∴ ， ∴ ， ∴ ， ∴ ， ∴③正确； 故选：． 【点睛】本题考查了等边三角形的性质、全等三角形的判定和性质及相似三角形的判定和性质，熟练掌握 相似三角形的判定和性质是解决问题的关键 2．（2024 广东九年级二模）如图，在等边三角形B 中，点P，Q 分别是，B 边上的动点（都不与线段端点 重合），且P=Q，Q、BP 相交于点．下列四个结论：①若P=2P，则B=6P；②若B=8，BP=7，则P=5； ③P2=P⋅Q；④若B=3，则的最小值为 ，其中正确的是（ ） ．①③④ B．①②④ ．②③④ D．①②③ 【答】 【分析】根据等边三角形的性质得到=B，根据线段的和差得到P=BQ，过P 作PD∥B 交Q 于D，根据相似 三角形的性质得到①正确；过B 作BE⊥于E，解直角三角形得到②错误；在根据全等三角形的性质得到 ∠BP=∠Q，PB=Q，根据相似三角形的性质得到③正确；以B 为边作等边三角形B，连接，证明点，，，B 四点共圆，且圆心即为等边三角形B 的中心M，设M 于圆M 交点′，′即为的最小值，根据30 度角的直角三 角形即可求出结果． 【详解】解：∵△B 是等边三角形，∴=B， ∵P=Q，∴P=BQ，∵P=2P，∴BQ=2Q， 如图，过P 作PD∥B 交Q 于D， △ ∴DP∽△Q，△PD∽△BQ，∴ ， ， ∴Q=3PD，∴BQ=6PD，∴B=6P；故①正确； 过B 作BE⊥于E，则E= =4，∵∠=60°，∴BE=4 ， ∴PE= =1，∴P=4+1=5，或P=4-1=3，故②错误； 在等边△B 中，B=，∠B=∠=60°， 在△BP 与△Q 中， ， △ ∴BP △ ≌Q（SS），∴∠BP=∠Q，PB=Q， ∠ ∵ P=∠BP，∴△P∽△BP，∴ ， ∴P2=P•PB，∴P2=P•Q．故③正确； 以B 为边作等边三角形B，连接，∴∠B=∠B=60°，=