专题09 三角形中的重要模型之垂美四边形与378、578模型解读与提分精练（全国通用）（原卷版）

专题09 三角形中的重要模型之垂美四边形与378、578 模型 全等三角形在中考数学几何模块中占据着重要地位，也是学生必须掌握的一块内容，本专题就对角互 补模型进行梳理及对应试题分析，方便掌握。 大家在掌握几何模型时，多数同学会注重模型结论，而忽视几何模型的证明思路及方法，导致本末倒 置。要知道数学题目的考察不是一成不变的，学数学更不能死记硬背，要在理解的基础之上再记忆，这样 才能做到对于所学知识的灵活运用，并且更多时候能够启发我们解决问题的关键就是基于已有知识、方法 的思路的适当延伸、拓展，所以学生在学习几何模型要能够做到的就是：①认识几何模型并能够从题目中 提炼识别几何模型；②记住结论，但更为关键的是记住证明思路及方法；③ 明白模型中常见的易错点，因 为多数题目考察的方面均源自于易错点。当然，以上三点均属于基础要求，因为题目的多变性，若想在几 何学习中突出，还需做到的是，在平时的学习过程中通过大题量的训练，深刻认识几何模型，认真理解每 一个题型，做到活学活用！ .................................................................................................................................................2 模型1 垂美四边形模型................................................................................................................................... 2 模型2378 和578 模型....................................................................................................................................33 ...............................................................................................................................................42 模型1 垂美四边形模型 垂美四边形的定义：对角线互相垂直的四边形叫做“垂美”四边形。 图1 图2 图3 图4 条件：如图1，已知四边形BD，对角线、BD 交于点，且⊥BD； 结论：①B2+D2＝D2+B2；②“垂美”四边形的面积等于对角线乘积的一半，即S 四边形BD= ∙BD。 证明：∵⊥BD，∴∠D＝∠B＝∠B＝∠D＝90°， 由勾股定理得， ， ， ∴ ；∵⊥BD，∴S△B= ∙B ，S△D= ∙D ∴S 四边形BD=S△B+S△D= ∙B+ ∙D= ∙BD。 条件：如图2，在矩形BD 中，P 为D 边上有一点，连接P、BP； 结论：DP2+BP2=P2+P2 证明：∵四边形BD 是矩形，∴∠DP＝∠BP＝90°，D=B， 由勾股定理得，，，∴ ，∴ 。 条件：如图3（或图4），在矩形BD 中，P 为矩形内部（外部）任意一点，连接P、BP，P，DP； 结论：P2+P2=DP2+BP2 证明：过点 作 的垂线，交 于点 ，交 于点 ，则四边形 和 为矩形， ，由勾股定理得：则 ， ， ， ．（图4 的证明和图3 证明相同） 用处：①对角线垂直的四边形对边的平方和相等；②已知三边求一边的四边形，可以联想到垂美四边形。 例1．（23-24 八年级上·河北保定·期中）对角线互相垂直的四边形叫做“垂美”四边形，现有如图所示的 “垂美”四边形 ，对角线 交于点 ．若 ， ，则 等于（ ） ． B． ． D． 例2．（23-24 九年级上·天津·期末）如图，四边形 两条对角线 互相垂直，且 ． 设 ， (1)用含 的式子表示： _____________；(2)当 四边形的面积为 时，求 的长； 例3．（2023·江苏盐城·一模）如图，四边形 的对角线 和 互相垂直， ，则四边 形 面积最大值为 ． 例4．（2024·陕西·一模）已知矩形BD 中有一点P，满足P＝1，PB＝2，P＝3，则PD＝ ． 例5．（23-24 八年级下·浙江宁波·期中）定义：对角线互相垂直的四边形叫做“垂美”四边形． 了解性质：如图1：已知四边形 中， ．垂足为 ，则有： ； 性质应用：（1）如图1，四边形 是垂美四边形，若 ， ， ，则 ； 性质变式：（2）如图2，图3，P 是矩形 所在平面内任意一点，则有以下重要结论： ．请以图3 为例将重要结论证明出来． 应用变式：（3）①如图4，在矩形 中，为对角线交点，P 为 中点，则 ；（写出 证明过程）；②如图5，在 中， ， ，D 是 内一点，且 ， ，则 的最小值是 ． 例6．（23-24 八年级下·江西赣州·期末）如图1，对角线互相垂直的四边形叫做垂美四边形． （1）概念理解：如图2，在四边形BD 中，B＝D，B＝D，问四边形BD 是垂美四边形吗？请说明理由； （2）性质探究：如图1，四边形BD 的对角线、BD 交于点，⊥BD．经探究发现垂美四边形BD 的两组对 边B2，D2和D2，B2有一定的数量关系，请你猜想有何种数量关系？并证明． （3）解决问题：如图3，分别以Rt△B 的直角边和斜边B 为边向外作正方形FG 和正方形BDE，连结E、 BG、GE．已知＝4，B＝5，求GE 的长． 例7．（2024·山东德州·一模）我们把两条中线互相垂直的三角形称为“中垂三角形”．例如图1，图2， 图3 中， 是 的中线， ，垂足为 ．则称 为“中垂三角形”．设 ． (1)①如图1，当 ， 时， ______． ______． ②如图2，当 时，求 和 的值． (2)请猜想 、 和 三者之间的数量关系，并结合图3 写出证明过程． (3)如图4，在边长为3 的菱形 中， 为对角线 、 的交点， 分别为线段 的中点， 连接 并延长交于点 分别交 于点 ，求 的值． 模型2378 和578 模型 378 和578 模型：边长为3、7、8 或5、7、8 的三角形（如图1）。 当我们遇到两个三角形的三边长分别为 3，7，8 和 5，7，8 的时候，通常不会对它们进行处理，实际是因 为我们对于这两组数字不敏感，但如果将这两个三角形拼在一起，你将惊喜地发现这是一个边长为 8 的等 边三角形。 图1 图2 图3 图4 条件：当两个三角形的边长分别为3，7，8 和5，7，8 时； 结论：①这两个三角形的面积分别为 、 ；②3、8 与5、8 夹角都是60°；③将两个三角形长为7 的边拼在一起，恰好组成一个边长为8 的等边三角形。 证明：如图2，过点作M⊥B 于点M，设BM=x 则M=3+x，∴∠MB=90°， 在Rt∆M 中：M2 =2 - M2，在Rt∆BM 中：M2 =B2 - BM2， ∴2 - M2 = B2 - BM2，即82 -（3+x）2 = 72 - x2，解得x=1，∴M =4，∴M = ， ∴S∆B= B•M =1 2 •3• = ，∵M =4，=8，∠M=30°，∠M=60°。 如图3，过点F 作F⊥DE 于点，设D=x 则E=5-x，∴∠FD=90°， 在Rt∆DF 中：F2 =DF2 - D2， 在Rt∆EF 中：F2 =EF2 - E2， ∴DF2-D2 =EF2-E2，即72-x2 =82 -（5-x）2 ，解得x=1，E=4，∴F = ， ∴S∆DEF= •DE•F = •5• = ，∵E =4，EF=8，∠EF=30°，∠FE=60°。 ∴M =F = ，∠MB=∠FD=90°，∵B =DF=7，∴Rt∆BM ≌Rt∆DF，∴∠BM=∠FD， ∠ ∵ BM+∠B=180°，∴∠FD+∠B=180°，∵ =EF =8。 ∴将两个三角形长为7 的边拼在一起，恰好组成一个边长为8 的等边三角形（如图4）。 例1．（2023·浙江温州·九年级校考期末）边长为5，7，8 的三角形的最大角和最小角的和是（ ）． ．90° B．150° ．135° D．120° 例2．（2023·江苏·八年级专题练习）已知在△B 中，B＝8，＝7，B＝3，则∠B＝（ ）． ．45° B．37° ．60° D．90° 例3．（2023·绵阳市·八年级专题练习）如图，△B 的边B＝8，B＝5，＝7．求B 边上的高． 例4．（2023 八年级上·江苏·专题练习）已知在 中， ， ， ，则 的面积为 （ ） ． B． ． D． 例5．（23-24 九年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）在 中， ， ， ，则 的长 为 ． 1．（2023·湖北武汉·九年级校考阶段练习）如图，四边形 的两条对角线互相垂直，、BD 是方程 的两个解，则四边形 的面积是（ ） ．60 B．30 ．16 D．32 2．（23-24 八年级下·安徽合肥·期末）点P 是矩形 内一点，且满足 ， ， ，则 的值为（ ） ．3 B．5 ． D． 3．（2024·天津和平·二模）如图，四边形 的两条对角线 ，BD相交于点 ，点 在线段 上， 且 ，若 ．有下列结论：① 的取值范围是 ；② 的长有 两个不同的值满足四边形 的面积为12；③四边形 面积最大值为 ．其中，正确结论的个数 有（ ） ．0 个 B．1 个 ．2 个 D．3 个 4．（2023·山东八年级课时练习）已知在△B 中，B＝7，＝8，B＝5，则∠＝（ ）． ．45° B．37° ．60° D．90° 5．（2024·四川广元·二模）如图，在四边形 中， ，对角线 ，BD 互相垂直， ， ，则 的值是 6．（2022·山东枣庄·模拟预测）对角线互相垂直的四边形叫做“垂美”四边形，现有如图所示的“垂美” 四边形BD，对角线、BD 交于点．若D=3，B=5，则 ． 7．（23-24 九年级上·广东梅州·期中）四边形的对角线互相垂直且长分别为8 和12，则面积为 ． 8．（23-24 八年级·浙江·期末）当两个三角形的边长分别为3，7，8 和5，7，8 时，则这两个三角形的面 积之和是 ． 9．（23-24 八年级下·河北石家庄·阶段练习）已知对角线互相垂直的四边形叫做“垂美”四边形，现有如 图所示的“垂美”四边形BD，对角线，BD 交于点． （1）若 ， ， ，则 ；（2）若 ， ，则 ； （3）若 ， ， ， ，则m，，，d 之间的数量关系是 ． 10．（23-24 八年级下·广东广州·期末）已知三角形一边上的中线，与三角形三边有如下数量关系：三角形 两边的平方和等于第三边一半的平方与第三边中线平方之和的2 倍．即：如图，在 中， 是 边 上的中线，则有 ．请运用上述结论，解答下面问题．如图，点 为矩形 外部一点，已知 ，若 ，则 的取值范围为 ． 11．（2022·湖北·一模）如图，P 是矩形BD 外一点，有以下结论：①S△PB+S△PD= S 矩形 BD②S△PB=S△P+S△PD③P2+P2=PB2+PD2；④若PD⊥PB，则P、、B、、D 在同一个圆上其中正确的序号是 12．（23-24 九年级上·广东广州·期中）如图，四边形 的两条对角线 互相垂直，且 ，则四边形 面积的最大值为 ． 13．（23-24 九年级上·江苏宿迁·阶段练习）若一个四边形的两条对角线互相垂直且相等，则称这个四边形 为奇妙四边形．如图1，四边形 中，若 ， ，则称四边形 为奇妙四边形．根 据奇妙四边形对角线互相垂直的特征可得奇妙四边形的一个重要性质：奇妙四边形的面积等于两条对角线 乘积的一半．根据以上信息回答： (1)矩形________奇妙四边形（填“是”或“不是”）；(2)如图2，已知 的内接四边形 是奇妙四 边形，若 的半径为8， ．求奇妙四边形 的面积；(3)如图3，已知 的内接四边形 是奇妙四边形．请猜测 和 的位置关系，并证明你的结论． 14．（23-24 九年级上·广东东莞·期中）如图，四边形 中， ， ，我们把这种两组邻 边分别相等的四边形叫做“筝形” (1)试猜想筝形的对角线有什么位置关系，然后用全等三角形的知识证明你的猜想； (2)已知筝形 的对角线 的长度为整数值，且满足 ．设 的长为x，四边形 的面积为S，试求x 为多少时，S 有最大值，最大值是多少？ 15．（2024·山西晋城·三模）请阅读列材料，并完成相应的任务： 三角形中线定理 三角形中线定理又称阿波罗尼奥斯定理，是一种平面几何的定理之一，指三角形三边和中线长度关系． 阿波罗尼奥斯（约公元前262-190 年），古希腊数学家，与欧几里得、阿基米德合称为古希腊亚历山大前 期的三大数学家． 中线定理：三角形两边的平方和等于第三边的一半与第三边上的中线的平方和的两倍．如图1，在 中，点D 为B 的中点，根据“阿波罗尼奥斯”，可得 ．下面是该定理的证明过程 （部分）： 证明：过点作 于点E，如图2，在 中， ， 同理可得： ， ， 证明的方便，不妨设 ， ， … 任务：(1)按照上面的证明思路，完成该定理证明的剩余部分； (2)如图3，在 中，点 为 的中点， ， ， ，则AD的长为______； (3)如图4，已知平行四边形 中， 和BD相交于点 ，设 ， ，请直接用含 ， 的代 数式表示 的值；(4)如图5，已知平行四边形 内接于 ，点 为 内一点，若 ， ， ， ，请直接写出 的长． 16．（24-25 九年级上·广东深圳·月考）垂美四边形定义如下：对角线互相垂直的四边形叫做“垂美四边 形”． (1)如图1，四边形 是“垂美四边形”，猜想 与 之间的数量关系：______，并说 明理由． (2)如图2，分别以 的直角边 和斜边 为边向外作正方形 和正方形 ，连接 ，若 ，求 的长． (3)如图3，在 中， ，点P 是 外一点，连接 ， ，已知 ，若以、B、、P 为顶点的四边形为垂美四边形，请直接写出 的长． 17．（2024·山东德州·一模）我们把两条中线互相垂直的三角形称为“中垂三角形”．例如图1，图2，图 3 中， ， 是 的中线， ，垂足为 ．则称 为“中垂三角形”．设 ， ， ． (1)①如图1，当 ， 时， ____________． ②如图2，当 ， 时，求 和 的值． (2)请猜想 、 和 三者之间的数量关系，并结合图3 写出证明过程． (3)如图4，在边长为3 的菱形 中， 为对角线 ， 的交点， 分别为线段 ， 的中点， 连接 ， 并延长交于点 ， ， 分别交 于点 ，求 的值． 18．（2023·山东青岛·二模）如果一个三角形有两条互相垂直的中线，我们就把这样的三角形称为“中垂 三角形”，例如图1，图2，图3 中， ， 是 的中线， ，垂足为P，称 这样的三 角形为“中垂三角形”，设 ， ， ． (1)如图1，当 ， 时， ______， ______； 如图2，当 ， 时， ______， ． 归纳证明 (2)请你观察（1）中的计算结果，用等式表示对 ， ， 三者之间关系的猜想，并利用图3 证明 ， ， 三者之间的关系． 19．（2024·浙江·模拟预测）定义：若一个四边形的对角线互相垂直，且较长对角线的长度是较短对角线 长度的2 倍，则称这个四边形为“倍垂四边形”． （1）如图①，在菱形 中，对角线 与 相交于点， ，试判断菱形 是否为 “倍垂四边形”，并说明理由； （2）如图②，在 中， ，作 于点，问在射线 上是否存在着一点 D，使得四边形 是“倍垂四边形”．若存在，请求出此时线段 的长；若不存在，请说明理由； （3）如图③，在 中， ，且 ，分别以 的斜边 和直角边 为 边向外作 和 ，且 ，连接 ，当四边形 是“倍垂四边形”时， 求 的长． 20．（23-24 九年级上·浙江金华·期中）【概念认识】定义：对角线互相垂直且相等的四边形叫做垂等四边 形． （1）如图1，已知在垂等四边形 中，对角线 与 交于点 ，若 ， ， ，求 的长度． 【数学理解】（2）在探究如何画“圆内接垂等四边形”的活动中，小李与同学讨论出了如下方法：如图 2，在 中，已知 是 的弦，只需作 、 ，分别交 于点 和点 ，即可得到垂 等四边形 ，请你写出证明过程． 【问题解决】（3）如图3，已知是 上一定点， 为 上一动点，以 为一边作出 的内接垂等四 边形（、 不重合且、 、 三点不共线），对角线 与 交于点 ， 的半径为 ，当点 到 的距离为 时，求弦 的长度．