专题13 等腰（等边）三角形中的重要模型之维维尼亚模型解读与提分精练（全国通用）（原卷版）

专题13 等腰（等边）三角形中的重要模型之维维尼亚模型 维维亚尼定理（Vv's terem）：在等边三角形内任意一点P 到三边的垂直距离之和，等于该等边三角形 的高。这个定理可一般化为：等角多边形内任意一点P 跟各边的垂直距离之和，是不变的，跟该点的位置 无关。它以温琴佐·维维亚尼命名。 而今天我们要学习的维维亚尼模型就是维维亚尼定理及其拓展，它的证明主要利用了等面积法，消去 相等底边后得到高之间的关系，因此等腰三角形的维维亚尼模型动点只能在底边所在直线上运动，此时连 接点和底边所对顶点，能江原图分割成两个底相等的三角形。 .................................................................................................................................................2 模型1 等边三角形中维维尼亚模型...............................................................................................................2 模型2 等腰三角形中维维尼亚模型...............................................................................................................7 ...............................................................................................................................................14 模型1 等边三角形中维维尼亚模型 条件：在等边 中，P 是平面上一动点，过点P 作PE⊥，PF⊥B，PD⊥B，过点作M⊥B。 结论：①如图1，若动点P 在三角形B 内时，则PD+PE+PF=M； ②如图2，若动点P 在三角形B 外时，则PD+PE-PF=M。 （当点P 在三角形B 外时，受P 的位置影响，不同的位置结论稍有不同，但都可以使用等面积法证明）。 图1 图2 证明：①如图1，连结P，BP，P。∵ 是等边三角形，∴B=B=， 则 ， ∵ ； ∴PD+PE+PF=M。 ②如图3，连结P，BP，P。∵ 是等边三角形，∴B=B=， 则 ， ∵ ； ∴PD+PE-PF=M。 例1．（2024·河北·二模）如图，P 为边长为2 的等边三角形B 内任意一点，连接P、PB、P，过P 点分别 作B、、B 边的垂线，垂足分别为D、E、F，则PD+PE+PF 等于（ ） ． B． ．2 D． 例2．（2024 八年级·广东·培优）如图，点P 为等边 外一点，设点P 到三边的距离 ，且 ，则 的面积等于（ ） ． B． ． D． 例3．（23-24 八年级上·浙江宁波·期中）如图，P 是等边三角形 内一点，且 ， ， ，以下3 个结论：① ；② ；③ ；④若点P 到 三边的距离 分别为 ， ， ，则有 ，其中正确的有（ ） ．4 个 B．3 个 ．2 个 D．1 个 例4．（23-24 八年级上·云南昆明·期末）如图（1），已知在 中， 且 过作 于点P，点M 是直线 上一动点，设点M 到 两边 、 的距离分别为m，， 的高为． (1)当点M 运动到什么位置时， ，并说明理由． (2)如图（2），试判断m、、之间的关系，并证明你的结论． (3)如图（3），当点M 运动到 的延长线上时，求证： 模型2 等腰三角形中维维尼亚模型 条件：如图，等腰 （B=）中，点P 在B 上运动，过点P 作PD⊥B，P⊥，E⊥B， 结论：①如图1，若动点P 在边B 上时，则PE+PD=F。 ②如图2，若动点P 在B 延长线上时，则|PF-PE|=D。 图1 图2 证明：①如图1，连结P；∵ 是等边三角形，∴B=， 则 ，∵ ； ∴PE+PD=F。 ①如图2，连结P；∵ 是等边三角形，∴B=， 则 ，∵ ； ∴PF-PE=D。 例1．（23-24 八年级上·广西百色·期末）如图，已知△B 是等腰三角形，B=，点是B 上任意一点，E⊥B， F⊥，等腰三角形的腰长为4，面积为4 ，则E+F 的值为( ) ．15 B．2 ．25 D．3 例2．（23-24 九年级下·四川成都·阶段练习）如图，将矩形 沿EF 折叠，使点D 落在点B 处，P 为 折痕 上的任意一点，过点P 作 ，垂足分别为G，，若 ， ，则 ． 例3．（23-24 八年级下·江西吉安·阶段练习）数学课上，老师画出一等腰 并标注： ， ，然后让同学们提出有效问题并解决请你结合同学们提出的问题给予解答． (1)甲同学提出： ______度；(2)乙同学提出： 的面积为：______； (3)丙同学提出：点D 为边 的中点， ， ，垂足为E、F，请求出 的值； (4)丁同学说受丙同学启发，点D 为边 上任一点， ， ， ，垂足为E、F、， 则有 ．请你为丁同学说明理由． 例4．（23-24 山西八年级上期中）（1）如图（1），已知在等腰三角形 中， ，点 是底边 上的一点， ，垂足为点 ， ，垂足为点 ．求证： 为定长． （2）如图（2），已知在等腰三角形 中， ，点 是底边 的延长线上的一点， ， 垂足为点 ， ，垂足为点 ．求证： 为定长．（3）如图（3），已知：点 为等边三角 形 内任意一点，过 分别作三边的垂线，分别交三边与 、 、 ．求证： 为定长． 例5．（2024·江西·一模）我们定义：有一组邻角相等的凸四边形叫做“等邻角四边形”，例如：如图1， ∠B＝∠，则四边形BD 为等邻角四边形． (1)定义理解：已知四边形BD 为等邻角四边形，且∠＝130°，∠B＝120°，则∠D＝______度． (2)变式应用：如图2，在五边形BDE 中，ED∥B，对角线BD 平分∠B． ①求证：四边形BDE 为等邻角四边形；②若∠+∠+∠E＝300°，∠BD＝∠，请判断△BD 的形状，并明理由． (3)深入探究：如图3，在等邻角四边形BD 中，∠B＝∠BD，E⊥B，垂足为E，点P 为边B 上的一动点，过 点P 作PM⊥B，P⊥D，垂足分别为M，．在点P 的运动过程中，判断PM+P 与E 的数量关系？请说明理 由．(4)迁移拓展：如图4，是一个航模的截面示意图．四边形BD 是等邻角四边形，∠＝∠B，E 为B 边上的 一点，ED⊥D，E⊥B，垂足分别为D、，B＝2 dm，D＝3dm，BD＝ dm．M、分别为E、BE 的中 点，连接DM、，求△DEM 与△E 的周长之和． 1．（23-24 八年级上·浙江宁波·期末）如图，在等腰△ 中， ， ， 是△ 外一 点， 到三边的垂线段分别为 ， ， ，且 ，则 的长度为（ ） ．5 B．6 ． D． 2．（23-24 九年级上·重庆·期中）如图，在等腰△B 中，B＝，t＝2，BD⊥于点D，点G 是底边B 上一点， 过点G 向两腰作垂线段，垂足分别为E、F，若BD＝4，GE＝15，则BF 的长度为（ ） ．075 B．08 ．125 D．135 3．（23-24 八年级下·福建泉州·期中）如图， 是三角形内一点， ，若 ，且 是等边三角形，则 的周长为（ ） ．12 B．18 ．24 D．30 4．（23-24 八年级上·江苏常州·阶段练习）如图， 为等边三角形，点 是 边上异于B， 的任意 一点， 于点E． 于点F．若 边上的高线 ，则 ． 5．（2024·四川成都·模拟预测）如图，在 中， ， ， ，点 为此三角形内 部（包含三角形的边）的一点且 到三角形三边的距离和为7，则 的最小值为 ． 6．（2024 八年级·广东·培优）如图， 中， ，点P 是边 上任意一点，点Q 是 延长线 上任意一点，过点P 分别作 于点D， 于点E，过点Q 分别作 于点F， 于点G，则 ．（填“>”“<”或“=”） 7．（23-24 九年级上·山东青岛·期末）如图，将矩形 沿 折叠，使点D 落在点B 上，点落在点 处，点Р 为折痕 上的任一点，过点Р 作 ，垂足分别为G、，若 ， ， 则下列结论正确的有 （填正确结论的序号）① ② 的面积是 ③ ④ ． 8．（2024 八年级·广东·培优）如图，在 中，线段D 为中线，点为线段D 的中点，直线l 经过点，且 B，两点在l 的同侧，过点B，，D，作直线l 的垂线，垂足分别为点E，F，，G．则下列说法一定正确的 有 ． ① ；② ；③ ；④若点B，位于l 异侧，有 ． 9．（2023·四川内江·中考真题）出入相补原理是我国古代数学的重要成就之一，最早是由三国时期数学家 刘徽创建．“将一个几何图形，任意切成多块小图形，几何图形的总面积保持不变，等于所分割成的小图 形的面积之和”是该原理的重要内容之一、如图，在矩形 中， ， ，对角线 与 交于点，点E 为 边上的一个动点， ， ，垂足分别为点F，G，则 ． 10．（23-24 九年级上·江苏无锡·期末）如图，已知等腰 中， ， ，P 为三角形内 （含边）一点，过点P 分别作 、 、 的垂线，垂足分别为D、E、F．若 ，则 长 为 ；若 ，则点P 运动的路径长为 ． 11（23-24 八年级下·河南南阳·期中）在△B 中，B＝，点P 为△B 所在平面内一点过点P 分别作PE∥交B 于 点E，PF∥B 交B 于点D，交于点F． （1）观察猜想:如图1，当点P 在B 边上时，此时点P、D 重合，试猜想PD，PE，PF 与B 的数量关系： ． （2）类比探究:如图2，当点P 在△B 内时，过点P 作M∥B 交B 于点M，交于点，试写出PD，PE，PF 与B 的数量关系，并加以证明． （3）解决问题:如图3，当点P 在△B 外时，若B＝6，PD＝1，请直接写出平行四边形PEF 的周长 ． 12．（23-24 泰州八年级上期中）从特殊出发：如图1，在 B 中，B=，点P 为边B 上的任意一点，过点P 作PD⊥B，PE⊥，垂足分别为D、E，过点作F⊥B，垂足为F，求证：PD+PE=F．小明的证明思路：如图 2，连接P，由 BP 与 P 面积之和等于 B 的面积可以证得PD+PE=F（不需写出证明过程）． 变化一下：（1）如图3，当点P 在B 的延长线上时，其余条件不变，请运用上述解答中所积累的经验和方 法，猜想PD、PE 和F 的关系，并证明． 从几何到函数：如图4，在平面直角坐标系中有两条直线l1、l2，分别是函数 和 的图 像，l1、l2与x 轴的交点分别为、B． （2）两条直线恰好相交于y 轴上的点，点的坐标是 ；（3）说明 B 是等腰三角形； （4）若l2上的一点M 到l1的距离是1，运用上面的结论，求点M 的坐标． 13（23-24 九年级上·四川成都·期中）材再现：面积法是常用的求长度法，如例图中，等腰 中， ．即 ，∵ ，∴ 是个固 定值． (1)如图1，在矩形 中， 与 交于， ，P 是 上不与和D 重合的一个动点，过 点P 分别作 和 的垂线，垂足分别为E，F，则 的值为_________． 知识应用：(2)如图2，在矩形 中，点M，分别在边 ， 上，将矩形 沿直线 折叠，使 点D 恰好与点B 重合，点落在点 处．点P 为线段 上一动点（不与点M，重合），过点P 分别作直线 ， 的垂线，垂足分别为E 和F，以 ， 为邻边作平行四边形 ，若 的周长是否为定值？若是，请求出 的周长；若不是，请说明理由． (3)如图3，当点P 是等边． 外一点时，过点P 分别作直线 、 、 的垂线、垂足分别为点 E、D、F．若 ，请直接写出 的面积_________． 14．（23-24 八年级下·四川宜宾·阶段练习）阅读材料：如图， 中， ， 为底边 上任意 一点，点 到两腰的距离分别为 ，腰上的高为，连接 ，则 ，即： ，∴ （定值）． (1)理解与应用：如图，在边长为的正方形 中，点E 为对角线 上的一点，且 ， 为 上一点， 于 ， 于 ，试利用上述结论求出 的长． (2)类比与推理：如果把“等腰三角形”改成“等边三角形”，那么 的位置可以由“在底边上任一点”放 宽为“在三角形内任一点”，即：已知等边 内任意一点 到各边的距离分别为 ，等边 的高为，试证明 （定值）． (3)拓展与延伸：若正 边形 ，内部任意一点 到各边的距离为 ，请问 是否为 定值？如果是，请合理猜测出这个定值． 15．（2022·黑龙江绥化·中考真题）我们可以通过面积运算的方法，得到等腰三角形底边上的任意一点到 两腰的距离之和与一腰上的高之间的数量关系，并利用这个关系解决相关问题． (1)如图一，在等腰 中， ， 边上有一点D，过点D 作 于E， 于F，过 点作 于G 利用面积证明： ． (2)如图二，将矩形 沿着 折叠，使点与点重合，点B 落在 处，点G 为折痕 上一点，过点G 作 于M， 于若 ， ，求 的长． (3)如图三，在四边形 中，E 为线段 上的一点， ， ，连接 ，且 ， ， ， ，求 的长． 16．（2023·陕西渭南·二模）（1）【问题提出】 如图1，在等腰 中， ，P 是底边 上的任一点（不与B、重合）， 于E， 于F， 于D．求证： ； （2）【问题探究】如图2， 和 是两个含 的直角三角形，其中 ， ，连接 、 ， ，求 的长； （3）【问题解决】如图3，四边形 是某农业观光的部分平面示意图， 是一条灌溉水渠，E 为入 口，E 在线段 上，管理人员计划从入口E 处沿 、 分别修两条笔直的小路，将区分割为 、 和 三个区域，用来种植不同的农作物．根据设计要求， ， ，且 ， 米， 米， 米，已知修建小路 、 每米的造价为50 元，求所修小路 的总费用． 17．（23-24 八年级下·贵州遵义·期末）学完三角形的高后，小明对三角形与高线做了如下研究：如图，D 是 中B 边上的一点，过点D、分别作 、 、 ，，垂足分别为点E、F、 G，由 与 的面积之和等于 的面积，有等量关系式： ． 像这种利用同一平面图形的两种面积计算途径可以得出相关线段的数量关系式，从而用于解决数学问题的 方法称为“等积法”，下面请尝试用这种方法解决下列问题． (1)如图（1），矩形 中， ， ，点P 是 上一点，过点P 作 ， ，垂 足分别为点E、F，求 的值； (2)如图（2），在 中，角平分线 ， 相交于点，过点分别作 ， ，垂足分 别为点M，，若 ， ，求四边形 的周长． 18．（23-24 九年级上·江西鹰潭·期中）如图，点 是矩形 的对角线BD上的一点，且 ， ， ，点 为直线 上的一点，且 于点 ， 于点 ． (1)如图1，当点 为线段 中点时，易证： ； (2)如图2，当点 为线段 上的任意一点(不与点 、点 重合)时，其它条件不变，则 中的结论是否 仍然成立？若成立，请给予证明；若不成立，请说明理由． (3)如图3，当点 为线段 延长线上的任意一点时，其它条件不变，则 与 之间又具有怎样的数量 关系？请证明你的猜想．